Ekuacione të planit. Këndi ndërmjet dy rrafsheve

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Një plan, së bashku me një pikë dhe një vijë të drejtë, është një element gjeometrik bazë. Me përdorimin e tij ndërtohen shumë figura në gjeometrinë hapësinore. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë më në detaje pyetjen se si të gjejmë një kënd midis dy planeve.

Koncept

Para se të flisni për këndin ndërmjet dy rrafsheve, duhet të kuptoni mirë për cilin element të gjeometrisë po flasim. Le të kuptojmë terminologjinë. Një aeroplan është një koleksion i pafund pikash në hapësirë, duke i lidhur të cilat marrim vektorë. Ky i fundit do të jetë pingul me një vektor të vetëm. Zakonisht quhet normale në aeroplan.

Figura e mësipërme tregon një plan dhe dy vektorë normalë për të. Mund të shihet se të dy vektorët shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Këndi ndërmjet tyre është 180o.

Ekuacione

Këndi ndërmjet dy rrafsheve mund të përcaktohet nëse dihet ekuacioni matematik i elementit gjeometrik të konsideruar. Ekzistojnë disa lloje të ekuacioneve të tilla,emrat e të cilëve janë renditur më poshtë:

• lloji i përgjithshëm;
• vektor;
• në segmente.

Këto tre lloje janë më të përshtatshmet për zgjidhjen e llojeve të ndryshme të problemeve, prandaj ato përdoren më shpesh.

Një ekuacion i tipit të përgjithshëm duket kështu:

Ax + By + Cz + D=0.

Këtu x, y, z janë koordinatat e një pike arbitrare që i përket rrafshit të dhënë. Parametrat A, B, C dhe D janë numra. Lehtësia e këtij shënimi qëndron në faktin se numrat A, B, C janë koordinatat e një vektori normal me rrafshin.

Forma vektoriale e planit mund të përfaqësohet si më poshtë:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Këtu (a₂, b₂, c₂) dhe (a ₁, b₁, c₁) - parametrat e dy vektorëve të koordinatave që i përkasin rrafshit të konsideruar. Pika (x₀, y₀, z_{0) qëndron gjithashtu në këtë plan. Parametrat α dhe β mund të marrin vlera të pavarura dhe arbitrare.}

Më në fund, ekuacioni i rrafshit në segmente paraqitet në formën e mëposhtme matematikore:

x/p + y/q + z/l=1.

Këtu p, q, l janë numra specifikë (përfshirë ata negativë). Ky lloj ekuacioni është i dobishëm kur është e nevojshme të përshkruhet një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor, pasi numrat p, q, l tregojnë pikat e kryqëzimit me boshtet x, y dhe z.aeroplan.

Vini re se çdo lloj ekuacioni mund të konvertohet në ndonjë tjetër duke përdorur veprime të thjeshta matematikore.

Formula për këndin ndërmjet dy planeve

Tani merrni parasysh nuancën e mëposhtme. Në hapësirën tre-dimensionale, dy aeroplanë mund të vendosen vetëm në dy mënyra. Ose të kryqëzohen ose të jenë paralele. Midis dy planeve, këndi është ai që ndodhet midis vektorëve të tyre udhëzues (normal). Duke u kryqëzuar, 2 vektorë formojnë 2 kënde (akute dhe të mpirë në rastin e përgjithshëm). Këndi ndërmjet avionëve konsiderohet të jetë akut. Merrni parasysh ekuacionin.

Formula për këndin ndërmjet dy planeve është:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Është e lehtë të merret me mend se kjo shprehje është një pasojë e drejtpërdrejtë e produktit skalar të vektorëve normalë n₁¯ dhe n₂ ¯ për aeroplanët e konsideruar. Moduli i produktit me pika në numërues tregon se këndi θ do të marrë vetëm vlera nga 0^o deri në 90^{o. Prodhimi i moduleve të vektorëve normalë në emërues nënkupton prodhimin e gjatësive të tyre.}

Vini re, nëse (n₁¯n_{2¯)=0, atëherë aeroplanët kryqëzohen në një kënd të drejtë.}

Shembull problem

Pasi të kuptojmë se çfarë quhet këndi ndërmjet dy rrafsheve, do të zgjidhim problemin e mëposhtëm. Si nje shembull. Pra, është e nevojshme të llogaritet këndi midis planeve të tilla:

2x - 3v + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Për të zgjidhur problemin, duhet të dini vektorët e drejtimit të planeve. Për planin e parë, vektori normal është: n₁¯=(2, -3, 0). Për të gjetur vektorin normal të planit të dytë, duhet të shumëzohen vektorët pas parametrave α dhe β. Rezultati është një vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Për të përcaktuar këndin θ, përdorim formulën nga paragrafi i mëparshëm. Ne marrim:

θ=harqe (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Këndi i llogaritur në radianë korrespondon me 31,26^o. Kështu, planet nga kushti i problemit kryqëzohen në një kënd prej 31, 26^o.