Seria Furiere është një paraqitje e një funksioni të marrë në mënyrë arbitrare me një periudhë specifike si seri. Në terma të përgjithshëm, kjo zgjidhje quhet zbërthim i një elementi në një bazë ortogonale. Zgjerimi i funksioneve në një seri Fourier është një mjet mjaft i fuqishëm për zgjidhjen e problemeve të ndryshme për shkak të vetive të këtij transformimi gjatë integrimit, diferencimit, si dhe zhvendosjes së një shprehjeje në një argument dhe konvolucion.
Një person që nuk është i njohur me matematikën e lartë, si dhe me veprat e shkencëtarit francez Fourier, me shumë mundësi nuk do të kuptojë se çfarë janë këto "rreshta" dhe për çfarë shërbejnë. Ndërkohë, ky transformim është bërë mjaft i dendur në jetën tonë. Përdoret jo vetëm nga matematikanët, por edhe nga fizikanët, kimistët, mjekët, astronomët, sizmologët, oqeanografët dhe shumë të tjerë. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt veprave të shkencëtarit të madh francez, i cili bëri një zbulim përpara kohës së tij.
Njeriu dhe transformimi Furier
Seritë Furier janë një nga metodat (së bashku me analizën dhe të tjera) të transformimit Furier. Ky proces ndodh sa herë që një person dëgjon një tingull. Veshi ynë konverton automatikisht tingullinvalët. Lëvizjet osciluese të grimcave elementare në një mjedis elastik zbërthehen në rreshta (përgjatë spektrit) të vlerave të njëpasnjëshme të nivelit të vëllimit për tonet me lartësi të ndryshme. Më pas, truri i kthen këto të dhëna në tinguj të njohur për ne. E gjithë kjo ndodh përveç dëshirës apo vetëdijes sonë, në vetvete, por për të kuptuar këto procese, do të duhen disa vite për të studiuar matematikën e lartë.
Më shumë rreth Transformës Furier
Transformimi Furier mund të kryhet me metoda analitike, numerike dhe metoda të tjera. Seritë Fourier i referohen mënyrës numerike të zbërthimit të çdo procesi oscilues - nga baticat e oqeanit dhe valët e dritës deri te ciklet e aktivitetit diellor (dhe objekteve të tjera astronomike). Duke përdorur këto teknika matematikore, është e mundur të analizohen funksionet, duke përfaqësuar çdo proces oscilues si një seri përbërësish sinusoidalë që shkojnë nga minimumi në maksimum dhe anasjelltas. Transformimi Fourier është një funksion që përshkruan fazën dhe amplituda e sinusoideve që korrespondojnë me një frekuencë specifike. Ky proces mund të përdoret për të zgjidhur ekuacione shumë komplekse që përshkruajnë procese dinamike që ndodhin nën ndikimin e energjisë termike, të dritës ose elektrike. Gjithashtu, seritë Fourier bëjnë të mundur izolimin e komponentëve konstante në sinjalet komplekse osciluese, gjë që bëri të mundur interpretimin e saktë të vëzhgimeve eksperimentale të marra në mjekësi, kimi dhe astronomi.
Sfondi historik
Babai themelues i kësaj teorieJean Baptiste Joseph Fourier është një matematikan francez. Ky transformim u emërua më pas pas tij. Fillimisht, shkencëtari aplikoi metodën e tij për të studiuar dhe shpjeguar mekanizmat e përcjelljes së nxehtësisë - përhapjen e nxehtësisë në trupat e ngurtë. Fourier sugjeroi që shpërndarja fillestare e parregullt e një valë të nxehtë mund të zbërthehet në sinusoidet më të thjeshta, secila prej të cilave do të ketë minimumin dhe maksimumin e vet të temperaturës, si dhe fazën e vet. Në këtë rast, çdo komponent i tillë do të matet nga minimumi në maksimum dhe anasjelltas. Funksioni matematik që përshkruan majat e sipërme dhe të poshtme të kurbës, si dhe fazën e secilës prej harmonikave, quhet transformimi Furier i shprehjes së shpërndarjes së temperaturës. Autori i teorisë reduktoi funksionin e përgjithshëm të shpërndarjes, i cili është i vështirë për t'u përshkruar matematikisht, në një seri shumë të lehtë për t'u trajtuar funksionesh periodike kosinus dhe sinus që shtohen në shpërndarjen origjinale.
Parimi i transformimit dhe pikëpamjet e bashkëkohësve
Bashkëkohësit e shkencëtarit - matematikanët kryesorë të fillimit të shekullit të nëntëmbëdhjetë - nuk e pranuan këtë teori. Kundërshtimi kryesor ishte pohimi i Furierit se një funksion i ndërprerë që përshkruan një vijë të drejtë ose një kurbë të ndërprerë mund të përfaqësohet si një shumë e shprehjeve sinusoidale që janë të vazhdueshme. Si shembull, merrni parasysh "hapin" e Heaviside: vlera e tij është zero në të majtë të hendekut dhe një në të djathtë. Ky funksion përshkruan varësinë e rrymës elektrike nga ndryshorja e kohës kur qarku është i mbyllur. Bashkëkohësit e teorisë në atë kohë nuk e kishin hasur kurrë një të tillënjë situatë ku shprehja e ndërprerë do të përshkruhet nga një kombinim i funksioneve të vazhdueshme, të zakonshme, të tilla si eksponenciale, sinusoidale, lineare ose kuadratike.
Çfarë i ngatërroi matematikanët francezë në teorinë e Furierit?
Në fund të fundit, nëse matematikani kishte të drejtë në deklaratat e tij, atëherë duke përmbledhur serinë e pafundme trigonometrike të Furierit, mund të merrni një paraqitje të saktë të shprehjes së hapit edhe nëse ajo ka shumë hapa të ngjashëm. Në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, një deklaratë e tillë dukej absurde. Por pavarësisht nga të gjitha dyshimet, shumë matematikanë e kanë zgjeruar fushën e studimit të këtij fenomeni, duke e nxjerrë atë përtej fushës së studimeve të përçueshmërisë termike. Megjithatë, shumica e shkencëtarëve vazhduan të ankohen për pyetjen: "A mund të konvergojë shuma e një serie sinusoidale në vlerën e saktë të një funksioni të ndërprerë?"
Konvergjenca e serive Furier: shembull
Çështja e konvergjencës ngrihet sa herë që është e nevojshme të përmbledhen seritë e pafundme të numrave. Për të kuptuar këtë fenomen, merrni parasysh një shembull klasik. A mund ta arrini ndonjëherë murin nëse çdo hap i njëpasnjëshëm është sa gjysma e madhësisë së hapit të mëparshëm? Supozoni se jeni dy metra larg qëllimit, hapi i parë ju afron në gjysmë të rrugës, tjetri në pikën treçerekëshe dhe pas të pestës do të përshkoni pothuajse 97 për qind të rrugës. Sidoqoftë, sado hapa të ndërmerrni, nuk do ta arrini qëllimin e synuar në një kuptim të rreptë matematikor. Duke përdorur llogaritjet numerike, mund të vërtetohet se në fund mund të afrohet sa të dojë.distancë e vogël e specifikuar. Kjo provë është ekuivalente me demonstrimin se vlera e shumës së gjysmës, një të katërtës, etj. do të priret në një.
Pyetja e Konvergjencës: Ardhja e Dytë, ose Pajisja e Lordit Kelvin
Në mënyrë të përsëritur kjo pyetje u ngrit në fund të shekullit të nëntëmbëdhjetë, kur seritë Fourier u përpoqën të përdoreshin për të parashikuar intensitetin e zbaticës dhe rrjedhës. Në këtë kohë, Lord Kelvin shpiku një pajisje, e cila është një pajisje llogaritëse analoge që lejoi marinarët e flotës ushtarake dhe tregtare të gjurmonin këtë fenomen natyror. Ky mekanizëm përcaktoi grupet e fazave dhe amplitudave nga një tabelë e lartësive të baticës dhe momenteve kohore përkatëse të tyre, të matura me kujdes në një port të caktuar gjatë vitit. Çdo parametër ishte një komponent sinusoidal i shprehjes së lartësisë së baticës dhe ishte një nga komponentët e rregullt. Rezultatet e matjeve u futën në kalkulatorin e Lord Kelvin, i cili sintetizoi një kurbë që parashikonte lartësinë e ujit në funksion të kohës për vitin e ardhshëm. Shumë shpejt kthesa të ngjashme u hartuan për të gjitha portet e botës.
Dhe nëse procesi prishet nga një funksion i ndërprerë?
Në atë kohë, dukej e qartë se një parashikues i valëve të baticës me një numër të madh elementësh numërues mund të llogariste një numër të madh fazash dhe amplituda dhe kështu të siguronte parashikime më të sakta. Megjithatë, rezultoi se kjo rregullsi nuk vërehet në rastet kur shprehja baticore, e cila vijonsintetizoj, përmbante një kërcim të mprehtë, domethënë ishte i ndërprerë. Në rast se të dhënat futen në pajisje nga tabela e momenteve kohore, atëherë ajo llogarit disa koeficientë Furier. Funksioni origjinal rikthehet falë përbërësve sinusoidalë (sipas koeficientëve të gjetur). Mospërputhja midis shprehjes origjinale dhe të rivendosur mund të matet në çdo pikë. Gjatë kryerjes së llogaritjeve dhe krahasimeve të përsëritura, mund të shihet se vlera e gabimit më të madh nuk zvogëlohet. Megjithatë, ato janë të lokalizuara në rajonin që korrespondon me pikën e ndërprerjes dhe priren në zero në çdo pikë tjetër. Në 1899, ky rezultat u konfirmua teorikisht nga Joshua Willard Gibbs nga Universiteti Yale.
Konvergjenca e serive Furier dhe zhvillimi i matematikës në përgjithësi
Analiza Fourier nuk zbatohet për shprehjet që përmbajnë një numër të pafund të shpërthimeve në një interval të caktuar. Në përgjithësi, seritë Furier, nëse funksioni origjinal është rezultat i një matjeje fizike reale, gjithmonë konvergojnë. Pyetjet e konvergjencës së këtij procesi për klasa të veçanta funksionesh kanë çuar në shfaqjen e seksioneve të reja në matematikë, për shembull, teoria e funksioneve të përgjithësuara. Ajo lidhet me emra të tillë si L. Schwartz, J. Mikusinsky dhe J. Temple. Brenda kuadrit të kësaj teorie, u krijua një bazë teorike e qartë dhe e saktë për shprehje të tilla si funksioni i deltës Dirac (ai përshkruan një zonë të një zone të vetme të përqendruar në një lagje pafundësisht të vogël të një pike) dhe Heaviside hap”. Falë kësaj pune, seritë Fourier u bënë të zbatueshmezgjidhja e ekuacioneve dhe problemeve që përfshijnë koncepte intuitive: ngarkesa pika, masa e pikës, dipolet magnetike, si dhe një ngarkesë e përqendruar në një rreze.
Metoda Furier
Seritë Furiere, në përputhje me parimet e interferencës, fillojnë me zbërthimin e formave komplekse në më të thjeshta. Për shembull, një ndryshim në rrjedhën e nxehtësisë shpjegohet me kalimin e tij nëpër pengesa të ndryshme të bëra nga materiali izolues termik me formë të parregullt ose një ndryshim në sipërfaqen e tokës - një tërmet, një ndryshim në orbitën e një trupi qiellor - ndikimi i planetët. Si rregull, ekuacione të ngjashme që përshkruajnë sisteme të thjeshta klasike zgjidhen në mënyrë elementare për secilën valë individuale. Fourier tregoi se zgjidhjet e thjeshta gjithashtu mund të përmblidhen për të dhënë zgjidhje për probleme më komplekse. Në gjuhën e matematikës, seria Fourier është një teknikë për paraqitjen e një shprehjeje si shumë harmonike - kosinus dhe sinusoid. Prandaj, kjo analizë njihet edhe si "analizë harmonike".
Seria Fourier - teknika ideale para "epokës së kompjuterit"
Para krijimit të teknologjisë kompjuterike, teknika Fourier ishte arma më e mirë në arsenalin e shkencëtarëve kur punonin me natyrën valore të botës sonë. Seria Fourier në një formë komplekse lejon zgjidhjen jo vetëm të problemeve të thjeshta që mund të zbatohen drejtpërdrejt në ligjet e mekanikës së Njutonit, por edhe ekuacioneve themelore. Shumica e zbulimeve të shkencës njutoniane në shekullin e nëntëmbëdhjetë u bënë të mundura vetëm nga teknika e Furierit.
Seria Fourier sot
Me zhvillimin e kompjuterëve të transformimit Fourierngritur në një nivel krejtësisht të ri. Kjo teknikë është e ngulitur fort në pothuajse të gjitha fushat e shkencës dhe teknologjisë. Një shembull është një sinjal dixhital audio dhe video. Realizimi i tij u bë i mundur vetëm falë teorisë së zhvilluar nga një matematikan francez në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë. Kështu, seria Fourier në një formë komplekse bëri të mundur arritjen e një përparimi në studimin e hapësirës së jashtme. Përveç kësaj, ai ndikoi në studimin e fizikës së materialeve gjysmëpërçuese dhe plazmës, akustikën me mikrovalë, oqeanografinë, radarin, sizmologjinë.
Seri Trigonometrike Furier
Në matematikë, një seri Fourier është një mënyrë për të paraqitur funksionet komplekse arbitrare si një shumë e atyre më të thjeshta. Në raste të përgjithshme, numri i shprehjeve të tilla mund të jetë i pafund. Për më tepër, sa më shumë të merret parasysh numri i tyre në llogaritje, aq më i saktë është rezultati përfundimtar. Më shpesh, funksionet trigonometrike të kosinusit ose sinusit përdoren si më të thjeshtat. Në këtë rast, seritë Furier quhen trigonometrike, dhe zgjidhja e shprehjeve të tilla quhet zgjerimi i harmonikës. Kjo metodë luan një rol të rëndësishëm në matematikë. Para së gjithash, seria trigonometrike siguron një mjet për imazhin, si dhe studimin e funksioneve, është aparati kryesor i teorisë. Për më tepër, ai lejon zgjidhjen e një numri problemesh të fizikës matematikore. Së fundi, kjo teori kontribuoi në zhvillimin e analizës matematikore, dha shkas për një numër seksionesh shumë të rëndësishme të shkencës matematikore (teoria e integraleve, teoria e funksioneve periodike). Përveç kësaj, ai shërbeu si pikënisje për zhvillimin e teorive të mëposhtme: grupe, funksionevariabël reale, analiza funksionale dhe gjithashtu hodhi themelet për analizën harmonike.
