Në matematikë ekziston koncepti i "bashkësisë", si dhe shembuj të krahasimit të këtyre grupeve me njëra-tjetrën. Emrat e llojeve të krahasimit të grupeve janë fjalët e mëposhtme: bijeksion, injeksion, surjeksion. Secila prej tyre përshkruhet më në detaje më poshtë.
Një bijeksion është… çfarë është?
Një grup elementësh të grupit të parë përputhet me grupin e dytë të elementeve nga grupi i dytë në këtë formë: secili element i grupit të parë përputhet drejtpërdrejt me një element tjetër të grupit të dytë, dhe aty nuk është një situatë me mungesë ose numërim të elementeve të ndonjë ose nga dy grupe grupesh.
Formulimi i vetive kryesore:
- Një element në një.
- Nuk ka elemente shtesë kur përputhen dhe vetia e parë ruhet.
- Është e mundur të ndryshosh hartën duke ruajtur pamjen e përgjithshme.
- Një bijeksion është një funksion që është njëkohësisht injektiv dhe surjektiv.
Bijeksion nga pikëpamja shkencore
Funksionet bijektive janë pikërisht izomorfizma në kategorinë "bashkësia dhe bashkësia e funksioneve". Sidoqoftë, bijeksionet nuk janë gjithmonë izomorfizma për kategoritë më komplekse. Për shembull, në një kategori të caktuar grupesh, morfizmat duhet të jenë homomorfizma, pasi ato duhet të ruajnë strukturën e grupit. Prandaj, izomorfizmat janë izomorfizma grupore, të cilat janë homomorfizma bijektive.
Koncepti i "korrespondencës një me një" përgjithësohet në funksione të pjesshme, ku ato quhen bijeksione të pjesshme, megjithëse një bijeksion i pjesshëm është ajo që duhet të jetë një injeksion. Arsyeja për këtë relaksim është se funksioni i pjesshëm (i duhur) nuk është më i përcaktuar për një pjesë të domenit të tij. Kështu, nuk ka asnjë arsye të mirë për të kufizuar funksionin e tij të kundërt në një të plotë, d.m.th., të përcaktuar kudo në domenin e tij. Bashkësia e të gjitha bijeksioneve të pjesshme në një grup të caktuar bazë quhet gjysmëgrup inversi simetrik.
Një mënyrë tjetër për të përcaktuar të njëjtin koncept: vlen të thuhet se një bijeksion i pjesshëm i bashkësive nga A në B është çdo relacion R (funksion i pjesshëm) me vetinë që R është një grafik bijeksion f:A'→B 'ku A' është një nëngrup i A dhe B' është një nëngrup i B.
Kur një bijeksion i pjesshëm është në të njëjtin grup, ai nganjëherë quhet një transformim i pjesshëm një me një. Një shembull është transformimi i Möbius-it i sapopërcaktuar në planin kompleks, jo përfundimi i tij në planin kompleks të zgjeruar.
Injeksion
Një grup elementësh të grupit të parë përputhet me grupin e dytë të elementeve nga grupi i dytë në këtë formë: secili element i grupit të parë përputhet me një element tjetër të grupit të dytë, por jo të gjithë ato shndërrohen në çifte. Numri i elementeve të paçiftuar varet nga ndryshimi në numrin e këtyre elementeve në secilën prej grupeve: nëse një grup përbëhet nga tridhjetë e një elementë, dhe tjetri ka shtatë të tjerë, atëherë numri i elementeve të paçiftuar është shtatë. Injeksion i drejtuar në komplet. Bijeksioni dhe injeksioni janë të ngjashëm, por asgjë më shumë se të ngjashme.
Surjeksion
Një grup elementësh të grupit të parë përputhet me grupin e dytë të elementeve nga grupi i dytë në këtë mënyrë: çdo element i çdo grupi formon një çift, edhe nëse ka një ndryshim midis numrit të elementeve. Nga kjo rrjedh se një element nga një grup mund të çiftohet me disa elementë nga një grup tjetër.
As funksion bijektiv, as injektiv, as mbijetar
Ky është një funksion i formës bijektive dhe surjektive, por me një mbetje (të paçiftuar)=> injeksion. Në një funksion të tillë, ekziston qartë një lidhje midis bijeksionit dhe surjeksionit, pasi ai përfshin drejtpërdrejt këto dy lloje krahasimesh të grupeve. Pra, tërësia e të gjitha llojeve të këtyre funksioneve nuk është një prej tyre në izolim.
Shpjegimi i të gjitha llojeve të funksioneve
Për shembull, vëzhguesi është i magjepsur nga sa vijon. Ka gara të gjuajtjes me hark. Secili prejpjesëmarrësit duan të godasin objektivin (për të lehtësuar detyrën: nuk merret parasysh saktësisht vendi ku godet shigjeta). Vetëm tre pjesëmarrës dhe tre objektiva - kjo është faqja (faqja) e parë për turneun. Në seksionet pasuese, numri i harkëtarëve është ruajtur, por numri i objektivave është ndryshuar: në të dytin - katër objektiva, në tjetrin - gjithashtu katër, dhe në të katërtin - pesë. Secili pjesëmarrës qëllon në çdo objektiv.
- Vendi i parë për turneun. Shigjetari i parë godet vetëm një objektiv. I dyti godet vetëm një objektiv. I treti përsëritet pas të tjerëve dhe të gjithë harkëtarët godasin objektiva të ndryshëm: ato që janë përballë tyre. Si rezultat, 1 (shigjetari i parë) goditi objektivin (a), 2 - në (b), 3 - në (c). Vërehet varësia e mëposhtme: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Përfundimi do të jetë gjykimi se një krahasim i tillë i grupeve është një bijeksion.
- Platforma e dytë për turneun. Shigjetari i parë godet vetëm një objektiv. I dyti gjithashtu godet vetëm një objektiv. I treti nuk provon vërtet dhe përsërit gjithçka pas të tjerëve, por gjendja është e njëjtë - të gjithë harkëtarët godasin objektiva të ndryshëm. Por, siç u përmend më herët, tashmë ka katër objektiva në platformën e dytë. Varësia: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - element i paçiftuar i grupit. Në këtë rast, përfundimi do të jetë gjykimi se një krahasim i tillë i vendosur është një injeksion.
- Vendi i tretë për turneun. Shigjetari i parë godet vetëm një objektiv. I dyti godet sërish vetëm një objektiv. I treti vendos të tërhiqet dhe godet objektivin e tretë dhe të katërt. Si rezultat, varësia: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Këtu, përfundimi do të jetë gjykimi se një krahasim i tillë i grupeve është një supozim.
- Platforma e katërt për turneun. Me të parën, gjithçka tashmë është e qartë, ai godet vetëm një objektiv, në të cilin së shpejti nuk do të ketë vend për goditje tashmë të mërzitshme. Tani i dyti merr rolin e të tretit ende të fundit dhe sërish godet vetëm një objektiv, duke përsëritur pas të parit. I treti vazhdon të kontrollojë veten dhe nuk ndalon së futur shigjetën e tij në objektivin e tretë dhe të katërt. E pesta, megjithatë, ishte ende jashtë kontrollit të tij. Pra, varësia: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - element i paçiftuar i grupit të objektivave. Përfundim: një krahasim i tillë i grupeve nuk është një surjeksion, as një injeksion dhe as një bijeksion.
Tani ndërtimi i një bijeksioni, injeksioni ose surjeksioni nuk do të jetë problem, si dhe gjetja e dallimeve mes tyre.
