Matematika nuk është një shkencë e mërzitshme, siç duket ndonjëherë. Ka shumë interesante, edhe pse ndonjëherë të pakuptueshme për ata që nuk janë të etur për ta kuptuar atë. Sot do të flasim për një nga temat më të zakonshme dhe më të thjeshta në matematikë, ose më saktë, për zonën e saj që është në prag të algjebrës dhe gjeometrisë. Le të flasim për linjat dhe ekuacionet e tyre. Duket se kjo është një temë e mërzitshme shkollore që nuk premton asgjë interesante dhe të re. Sidoqoftë, nuk është kështu, dhe në këtë artikull ne do të përpiqemi t'ju vërtetojmë këndvështrimin tonë. Përpara se të kalojmë në më interesantet dhe të përshkruajmë ekuacionin e një vije të drejtë përmes dy pikave, ne do t'i drejtohemi historisë së të gjitha këtyre matjeve dhe më pas do të zbulojmë pse ishte e gjitha e nevojshme dhe pse tani njohja e formulave të mëposhtme nuk do të lënduar ose.
Histori
Edhe në kohët e lashta, matematikanët ishin të dashur për ndërtimet gjeometrike dhe të gjitha llojet e grafikëve. Sot është e vështirë të thuhet se kush ishte i pari që doli me ekuacionin e një drejtëze përmes dy pikave. Por mund të supozohet se ky person ishte Euklidi -shkencëtar dhe filozof i lashtë grek. Ishte ai që në traktatin e tij "Fillimet" krijoi bazën e gjeometrisë së ardhshme Euklidiane. Tani ky seksion i matematikës konsiderohet baza e paraqitjes gjeometrike të botës dhe mësohet në shkollë. Por vlen të thuhet se gjeometria Euklidiane vepron vetëm në nivelin makro në dimensionin tonë tredimensional. Nëse marrim parasysh hapësirën, atëherë nuk është gjithmonë e mundur të imagjinojmë me ndihmën e saj të gjitha fenomenet që ndodhin atje.
Pas Euklidit kishte shkencëtarë të tjerë. Dhe ata e përsosën dhe e kuptuan atë që ai zbuloi dhe shkroi. Në fund, doli një zonë e qëndrueshme gjeometrie, në të cilën gjithçka mbetet ende e palëkundur. Dhe është vërtetuar për mijëra vjet se ekuacioni i një drejtëze nëpër dy pika është shumë i lehtë dhe i thjeshtë për t'u hartuar. Por përpara se të fillojmë të shpjegojmë se si ta bëjmë këtë, le të diskutojmë disa teori.
Teori
Një drejtëz është një segment i pafund në të dy drejtimet, i cili mund të ndahet në një numër të pafund segmentesh të çdo gjatësie. Për të paraqitur një vijë të drejtë, më shpesh përdoren grafikët. Për më tepër, grafikët mund të jenë në të dy sistemet e koordinatave dy-dimensionale dhe tre-dimensionale. Dhe ato ndërtohen sipas koordinatave të pikave që u përkasin. Në fund të fundit, nëse marrim parasysh një vijë të drejtë, mund të shohim se ajo përbëhet nga një numër i pafund pikësh.
Megjithatë, ka diçka në të cilën një vijë e drejtë është shumë e ndryshme nga llojet e tjera të vijave. Ky është ekuacioni i saj. Në terma të përgjithshëm, është shumë e thjeshtë, në kontrast me, të themi, ekuacionin e një rrethi. Sigurisht, secili prej nesh e ka kaluar atë në shkollë. Pormegjithatë, le të shkruajmë formën e përgjithshme të tij: y=kx+b. Në pjesën tjetër, ne do të analizojmë në detaje se çfarë do të thotë secila prej këtyre shkronjave dhe si të zgjidhim këtë ekuacion të thjeshtë të një drejtëze që kalon nëpër dy pika.
Ekuacioni i linjës
Barazia që u prezantua më sipër është ekuacioni i vijës së drejtë që na nevojitet. Vlen të shpjegohet se çfarë nënkuptohet këtu. Siç mund ta merrni me mend, y dhe x janë koordinatat e secilës pikë në vijë. Në përgjithësi, ky ekuacion ekziston vetëm sepse çdo pikë e çdo vije të drejtë priret të jetë në lidhje me pika të tjera, dhe për këtë arsye ekziston një ligj që lidh një koordinatë me një tjetër. Ky ligj përcakton se si duket ekuacioni i një drejtëze nëpër dy pika të dhëna.
Pse pikërisht dy pika? E gjithë kjo për shkak se numri minimal i pikave të nevojshme për të ndërtuar një vijë të drejtë në hapësirën dydimensionale është dy. Nëse marrim një hapësirë tre-dimensionale, atëherë numri i pikave të nevojshme për të ndërtuar një vijë të vetme të drejtë do të jetë gjithashtu i barabartë me dy, pasi tre pika tashmë përbëjnë një plan.
Ekziston gjithashtu një teoremë që vërteton se është e mundur të vizatoni një drejtëz të vetme nëpër çdo dy pika. Ky fakt mund të kontrollohet në praktikë duke lidhur dy pika të rastësishme në tabelë me një vizore.
Tani le të shohim një shembull specifik dhe të tregojmë se si të zgjidhim këtë ekuacion famëkeq të një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.
Shembull
Mendoni dy pikatë cilat ju duhet për të ndërtuar një vijë të drejtë. Le të vendosim koordinatat e tyre, për shembull, M1(2;1) dhe M2(3;2). Siç dihet nga kursi i shkollës, koordinata e parë është vlera përgjatë boshtit OX, dhe e dyta është vlera përgjatë boshtit OY. Më lart, u dha ekuacioni i një drejtëze nëpër dy pika, dhe në mënyrë që ne të gjejmë parametrat që mungojnë k dhe b, duhet të përpilojmë një sistem prej dy ekuacionesh. Në fakt, ai do të përbëhet nga dy ekuacione, secila prej të cilave do të përmbajë dy konstantet tona të panjohura:
1=2k+b
2=3k+b
Tani gjëja më e rëndësishme mbetet: të zgjidhet ky sistem. Kjo bëhet mjaft thjesht. Së pari, le të shprehim b nga ekuacioni i parë: b=1-2k. Tani duhet të zëvendësojmë barazinë që rezulton në ekuacionin e dytë. Kjo bëhet duke zëvendësuar b me barazinë që kemi marrë:
2=3k+1-2k
1=k;
Tani që e dimë se cila është vlera e koeficientit k, është koha të zbulojmë vlerën e konstantës tjetër - b. Kjo është bërë edhe më e lehtë. Meqenëse e dimë varësinë e b nga k, mund ta zëvendësojmë vlerën e kësaj të fundit në ekuacionin e parë dhe të gjejmë vlerën e panjohur:
b=1-21=-1.
Duke ditur të dy koeficientët, tani mund t'i zëvendësojmë ata në ekuacionin e përgjithshëm origjinal të një drejtëze përmes dy pikave. Kështu, për shembullin tonë, marrim ekuacionin e mëposhtëm: y=x-1. Kjo është barazia e dëshiruar, të cilën duhej ta merrnim.
Para se të kalojmë në përfundim, le të diskutojmë zbatimin e kësaj pjese të matematikës në jetën e përditshme.
Aplikacion
Si i tillë, ekuacioni i një drejtëze nëpër dy pika nuk gjen zbatim. Por kjo nuk do të thotë se ne nuk kemi nevojë për të. Në fizikë dhe matematikëpërdoren në mënyrë shumë aktive ekuacionet e drejtëzave dhe vetitë që rrjedhin prej tyre. Mund edhe të mos e vini re, por matematika është kudo rreth nesh. Dhe madje edhe tema të tilla në dukje të pavërejshme si ekuacioni i një vije të drejtë përmes dy pikave rezultojnë të jenë shumë të dobishme dhe shumë shpesh zbatohen në një nivel themelor. Nëse në shikim të parë duket se kjo nuk mund të jetë e dobishme askund, atëherë gaboheni. Matematika zhvillon të menduarit logjik, i cili nuk do të jetë kurrë i tepërt.
Përfundim
Tani që kemi kuptuar se si të vizatojmë vija nga dy pika të dhëna, është e lehtë për ne t'i përgjigjemi çdo pyetjeje në lidhje me këtë. Për shembull, nëse mësuesi ju thotë: "Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nga dy pika", atëherë nuk do ta keni të vështirë ta bëni këtë. Shpresojmë që të keni gjetur të dobishëm këtë artikull.
