Njohja e distancës nga një pikë në një plan ose në një vijë të drejtë ju lejon të llogaritni vëllimin dhe sipërfaqen e figurave në hapësirë. Llogaritja e kësaj distancë në gjeometri kryhet duke përdorur ekuacionet përkatëse për objektet gjeometrike të specifikuara. Në artikull do të tregojmë se cilat formula mund të përdoren për ta përcaktuar atë.
Ekuacionet e vijës dhe planit
Para se të japim formulat për përcaktimin e distancës nga një pikë në një plan dhe në një vijë, le të tregojmë se cilat ekuacione përshkruajnë këto objekte.
Për të përcaktuar një pikë, përdoret një grup koordinatash në sistemin e dhënë të boshteve të koordinatave. Këtu do të shqyrtojmë vetëm sistemin drejtkëndor kartezian në të cilin boshtet kanë vektorë të njëjtë njësi dhe janë reciprokisht pingul. Në një aeroplan, një pikë arbitrare përshkruhet nga dy koordinata, në hapësirë - me tre.
Lloje të ndryshme ekuacionesh përdoren për të përcaktuar një vijë të drejtë. Në përputhje me temën e artikullit, ne paraqesimvetëm dy prej tyre, të cilat përdoren në hapësirën dydimensionale për të përcaktuar linjat.
Ekuacioni vektorial. Ka shënimin e mëposhtëm:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Termi i parë këtu përfaqëson koordinatat e një pike të njohur që shtrihet në vijë. Termi i dytë është koordinatat e vektorit të drejtimit të shumëzuara me një numër arbitrar λ.
Ekuacion i përgjithshëm. Shënimi i tij është si më poshtë:
Ax + By + C=0;
ku A, B, C janë disa koeficientë.
Ekuacioni i përgjithshëm përdoret më shpesh për të përcaktuar linjat në një plan, megjithatë, për të gjetur distancën nga një pikë në një vijë në një plan, është më e përshtatshme të punohet me një shprehje vektoriale.
Një plan në hapësirën tredimensionale mund të shkruhet gjithashtu në disa mënyra matematikore. Sidoqoftë, më shpesh në problem ekziston një ekuacion i përgjithshëm, i cili shkruhet si më poshtë:
Ax + By + Cz + D=0.
Përparësia e këtij shënimi në raport me të tjerët është se ai përmban në mënyrë eksplicite koordinatat e një vektori pingul me planin. Ky vektor quhet udhëzues për të, përkon me drejtimin e normales dhe koordinatat e tij janë të barabarta me (A; B; C).
Vini re se shprehja e mësipërme përkon me formën e shkrimit të një ekuacioni të përgjithshëm për një vijë të drejtë në hapësirën dydimensionale, kështu që kur zgjidhni probleme, duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni këto objekte gjeometrike.
Distanca ndërmjet pikës dhe vijës
Le të tregojmë se si të llogarisim distancën midis një drejtëze dhepikë në hapësirën dydimensionale.
Le të ketë një pikë Q(x1; y1) dhe një rresht i dhënë nga:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Distanca midis një drejtëze dhe një pike kuptohet si gjatësia e një segmenti pingul me këtë drejtëz, të ulur mbi të nga pika Q.
Përpara se të llogaritni këtë distancë, duhet të zëvendësoni koordinatat Q në këtë ekuacion. Nëse e plotësojnë atë, atëherë Q i përket vijës së dhënë dhe distanca përkatëse është e barabartë me zero. Nëse koordinatat e pikës nuk çojnë në barazi, atëherë distanca midis objekteve gjeometrike është jo zero. Mund të llogaritet duke përdorur formulën:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Këtu P është një pikë arbitrare e drejtëzës, e cila është fillimi i vektorit PQ¯. Vektori u¯ është një segment udhëzues për një vijë të drejtë, domethënë, koordinatat e tij janë (a; b).
Përdorimi i kësaj formule kërkon aftësinë për të llogaritur prodhimin e kryqëzuar në numërues.
Problem me një pikë dhe një vijë
Le të themi se duhet të gjesh distancën midis Q(-3; 1) dhe një vijë të drejtë që plotëson ekuacionin:
y=5x -2.
Duke zëvendësuar koordinatat e Q në shprehje, mund të sigurohemi që Q të mos shtrihet në vijë. Ju mund të aplikoni formulën për d të dhënë në paragrafin e mësipërm nëse e përfaqësoni këtë ekuacion në formë vektoriale. Le ta bëjmë kështu:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Tani le të marrim çdo pikë në këtë rresht, për shembull (0; -2), dhe të ndërtojmë një vektor që fillon në të dhe mbaron në Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Tani aplikoni formulën për të përcaktuar distancën, marrim:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distanca nga pika në aeroplan
Ashtu si në rastin e një drejtëze, distanca midis një rrafshi dhe një pike në hapësirë kuptohet si gjatësia e segmentit, i cili nga një pikë e caktuar ulet pingul me rrafshin dhe e pret atë.
Në hapësirë, një pikë jepet me tre koordinata. Nëse ato janë të barabarta me (x1; y1; z1), atëherë distanca ndërmjet plani dhe kjo pikë mund të llogaritet duke përdorur formulën:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Vini re se përdorimi i formulës ju lejon të gjeni vetëm distancën nga avioni në vijë. Për të gjetur koordinatat e pikës në të cilën një segment pingul pret një rrafsh, është e nevojshme të shkruhet një ekuacion për drejtëzën së cilës i përket ky segment dhe më pas të gjendet një pikë e përbashkët për këtë drejtëz dhe një plan të caktuar.
Problem me një aeroplan dhe një pikë
Gjeni distancën nga një pikë në një plan nëse dihet se pika ka koordinata (3; -1; 2) dhe plani jepet nga:
-y + 3z=0.
Për të përdorur formulën përkatëse, fillimisht shkruajmë koeficientët përaeroplan i dhënë. Meqenëse variabla x dhe termi i lirë mungojnë, koeficientët A dhe D janë të barabartë me zero. Ne kemi:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Është e lehtë të tregohet se ky aeroplan kalon përmes origjinës dhe boshti x i përket atij.
Zëvendësojmë koordinatat e pikës dhe koeficientët e planit në formulën për distancën d, marrim:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Vini re se nëse ndryshoni koordinatën x të një pike, atëherë distanca d nuk do të ndryshojë. Ky fakt do të thotë se bashkësia e pikave (x; -1; 2) formon një vijë të drejtë paralele me rrafshin e dhënë.
