Disa probleme matematikore kërkojnë aftësinë për të llogaritur rrënjën katrore. Këto probleme përfshijnë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë. Në këtë artikull, ne paraqesim një metodë efektive për llogaritjen e rrënjëve katrore dhe e përdorim atë kur punoni me formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik.
Çfarë është rrënja katrore?
Në matematikë, ky koncept korrespondon me simbolin √. Të dhënat historike thonë se ajo filloi të përdoret për herë të parë rreth gjysmës së parë të shekullit të 16-të në Gjermani (vepra e parë gjermane mbi algjebrën nga Christoph Rudolf). Shkencëtarët besojnë se ky simbol është një shkronjë latine e transformuar r (radix do të thotë "rrënjë" në latinisht).
Rrënja e çdo numri është e barabartë me një vlerë të tillë, katrori i së cilës korrespondon me shprehjen rrënjësore. Në gjuhën e matematikës, ky përkufizim do të duket kështu: √x=y nëse y2=x.
Rrënja e një numri pozitiv (x > 0) është gjithashtunjë numër pozitiv (y > 0), por nëse rrënja merret nga një numër negativ (x < 0), atëherë rezultati i tij do të jetë tashmë një numër kompleks, duke përfshirë njësinë imagjinare i.
Këtu janë dy shembuj të thjeshtë:
√9=3 sepse 32 =9; √(-9)=3i sepse i2=-1.
Formula përsëritëse e Heronit për gjetjen e rrënjëve katrore
Shembujt e mësipërm janë shumë të thjeshtë, dhe llogaritja e rrënjëve në to nuk është e vështirë. Vështirësitë fillojnë të shfaqen tashmë kur gjenden vlerat rrënjësore për çdo vlerë që nuk mund të përfaqësohet si katror i një numri natyror, për shembull √10, √11, √12, √13, për të mos përmendur faktin që në praktikë është e nevojshme për të gjetur rrënjët për numrat jo të plotë: për shembull √(12, 15), √(8, 5) dhe kështu me radhë.
Në të gjitha rastet e mësipërme, duhet të përdoret një metodë e veçantë e llogaritjes së rrënjës katrore. Aktualisht, njihen disa metoda të tilla: për shembull, zgjerimi në një seri Taylor, ndarja me një kolonë dhe disa të tjera. Nga të gjitha metodat e njohura, ndoshta më e thjeshta dhe më efektive është përdorimi i formulës iterative të Heronit, e cila njihet edhe si metoda babilonase për përcaktimin e rrënjëve katrore (ka dëshmi se babilonasit e lashtë e përdornin atë në llogaritjet e tyre praktike).
Le të jetë e nevojshme të përcaktohet vlera e √x. Formula për gjetjen e rrënjës katrore është si më poshtë:
an+1=1/2(a+x/a), ku kufirin->∞(a)=> x.
Deshifroni këtë shënim matematikor. Për të llogaritur √x, duhet të merrni një numër a0 (mund të jetë arbitrar, por për një rezultat të shpejtë, duhet ta zgjidhni atë në mënyrë që (a0) 2 ishte sa më afër x, më pas zëvendësojeni atë në formulën e specifikuar të rrënjës katrore dhe merrni një numër të ri a1, i cili tashmë do të të jetë më afër vlerës së dëshiruar, është e nevojshme të zëvendësohet një 1 në shprehje dhe të merret një2 Kjo procedurë duhet të përsëritet derisa të arrihet saktësia e kërkuar.
Një shembull i aplikimit të formulës përsëritëse të Heronit
Algoritmi i përshkruar më sipër për marrjen e rrënjës katrore të një numri të caktuar mund të duket mjaft i ndërlikuar dhe konfuz për shumë njerëz, por në realitet gjithçka rezulton shumë më e thjeshtë, pasi kjo formulë konvergon shumë shpejt (veçanërisht nëse një numër me fat është zgjedhur një0).
Le të marrim një shembull të thjeshtë: duhet të llogarisim √11. Ne zgjedhim një0=3, pasi 32=9, që është më afër 11 se 42=16. Duke zëvendësuar në formulë, marrim:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nuk ka kuptim të vazhdojmë llogaritjet, pasi kemi marrë që një 2 dhe një3 fillojnë të ndryshojnë vetëm në dhjetorin e 5-të vend. Kështu, mjaftonte të aplikohej vetëm 2 herë formula përllogarit √11 brenda 0,0001.
Aktualisht, llogaritësit dhe kompjuterët përdoren gjerësisht për të llogaritur rrënjët, megjithatë, është e dobishme të mbani mend formulën e shënuar në mënyrë që të mund të llogarisni manualisht vlerën e saktë të tyre.
ekuacionet e rendit të dytë
Të kuptuarit se çfarë është rrënja katrore dhe aftësia për ta llogaritur atë përdoret gjatë zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike. Këto ekuacione janë barazi me një të panjohur, forma e përgjithshme e së cilës është paraqitur në figurën më poshtë.
Këtu c, b dhe a janë disa numra, dhe a nuk duhet të jetë e barabartë me zero, dhe vlerat e c dhe b mund të jenë plotësisht arbitrare, duke përfshirë zeron.
Çdo vlerë e x që plotëson barazinë e treguar në figurë quhen rrënjët e saj (ky koncept nuk duhet të ngatërrohet me rrënjën katrore √). Meqenëse ekuacioni në shqyrtim ka rendin e dytë (x2), atëherë nuk mund të ketë më shumë se dy numra për rrënjët e tij. Le të shohim se si t'i gjejmë këto rrënjë më vonë në artikull.
Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik (formula)
Kjo metodë e zgjidhjes së llojit të konsideruar të barazive quhet edhe universale, ose metoda përmes diskriminuesit. Mund të zbatohet për çdo ekuacion kuadratik. Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit kuadratik është si më poshtë:
Tregon se rrënjët varen nga vlera e secilit prej tre koeficientëve të ekuacionit. Për më tepër, llogaritjax1 ndryshon nga llogaritja x2 vetëm me shenjën përpara rrënjës katrore. Shprehja radikale, e cila është e barabartë me b2 - 4ac, nuk është gjë tjetër veçse diskriminues i barazisë së konsideruar. Diskriminuesi në formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik luan një rol të rëndësishëm sepse përcakton numrin dhe llojin e zgjidhjeve. Pra, nëse është zero, atëherë do të ketë vetëm një zgjidhje, nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, më në fund, diskriminuesi negativ çon në dy rrënjë komplekse x1 dhe x 2.
Teorema e Vietës ose disa veti të rrënjëve të ekuacioneve të rendit të dytë
Në fund të shekullit të 16-të, një nga themeluesit e algjebrës moderne, francezi Francois Viet, duke studiuar ekuacionet e rendit të dytë, ishte në gjendje të merrte vetitë e rrënjëve të saj. Matematikisht, ato mund të shkruhen kështu:
x1 + x2=-b / a dhe x1 x 2=c / a.
Të dyja barazitë mund të merren lehtësisht nga kushdo, për këtë është e nevojshme vetëm të kryhen veprimet e duhura matematikore me rrënjët e marra nëpërmjet formulës me diskriminues.
Kombinimi i këtyre dy shprehjeve me të drejtë mund të quhet formula e dytë e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik, e cila bën të mundur hamendjen e zgjidhjeve të tij pa përdorur diskriminuesin. Duhet të theksohet këtu se megjithëse të dyja shprehjet janë gjithmonë të vlefshme, është e përshtatshme që ato të përdoren për të zgjidhur një ekuacion vetëm nëse mund të faktorizohet.
Detyra e konsolidimit të njohurive të marra
Le të zgjidhim një problem matematikor në të cilin do të demonstrojmë të gjitha teknikat e diskutuara në artikull. Kushtet e problemit janë si më poshtë: ju duhet të gjeni dy numra për të cilët produkti është -13, dhe shuma është 4.
Ky kusht të kujton menjëherë teoremën e Vietës, duke zbatuar formulat për shumën e rrënjëve katrore dhe produktin e tyre, shkruajmë:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Duke supozuar a=1, pastaj b=-4 dhe c=-13. Këta koeficientë na lejojnë të shkruajmë një ekuacion të rendit të dytë:
x2 - 4x - 13=0.
Përdor formulën me diskriminuesin, marrim rrënjët e mëposhtme:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Dmth, detyra u reduktua në gjetjen e numrit √68. Vini re se 68=417, më pas duke përdorur veçorinë e rrënjës katrore, marrim: √68=2√17.
Tani le të përdorim formulën e konsideruar të rrënjës katrore: a0=4, pastaj:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nuk ka nevojë të llogaritet një3 sepse vlerat e gjetura ndryshojnë vetëm me 0,02. Kështu, √68=8,246. Duke e zëvendësuar atë në formulën për x 1, 2, marrim:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 dhe x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Siç mund ta shihni, shuma e numrave të gjetur është me të vërtetë 4, por nëse gjeni produktin e tyre, ai do të jetë i barabartë me -12,999, e cila plotëson kushtin e problemit me një saktësi prej 0,001.
