Në algjebër ekziston një koncept i dy llojeve të barazive - identiteteve dhe ekuacioneve. Identitetet janë barazi të tilla që janë të realizueshme për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në to. Ekuacionet janë gjithashtu barazi, por ato janë të realizueshme vetëm për vlera të caktuara të shkronjave të përfshira në to.
Shkronjat zakonisht janë të pabarabarta për sa i përket detyrës. Kjo do të thotë që disa prej tyre mund të marrin çdo vlerë të lejuar, të quajtur koeficient (ose parametra), ndërsa të tjerët - quhen të panjohur - marrin vlera që duhet të gjenden në procesin e zgjidhjes. Si rregull, sasitë e panjohura shënohen në ekuacione me shkronja, ato të fundit në alfabetin latin (x.y.z, etj.), ose me të njëjtat shkronja, por me një indeks (x1, x 2, etj.), dhe koeficientët e njohur jepen nga shkronjat e para të të njëjtit alfabet.
Në bazë të numrit të të panjohurave dallohen ekuacionet me një, dy dhe disa të panjohura. Kështu, të gjitha vlerat e të panjohurave për të cilat ekuacioni që zgjidhet kthehet në identitet quhen zgjidhje ekuacionesh. Një ekuacion mund të konsiderohet i zgjidhur nëse gjenden të gjitha zgjidhjet e tij ose vërtetohet se nuk ka asnjë. Detyra "zgjidhni ekuacionin" në praktikë është e zakonshme dhe do të thotë që ju duhet të gjeni rrënjën e ekuacionit.
Përkufizim: rrënjët e një ekuacioni janë ato vlera të të panjohurave nga diapazoni i vlerave të pranueshme në të cilat ekuacioni që zgjidhet bëhet identitet.
Algoritmi për zgjidhjen absolutisht të të gjitha ekuacioneve është i njëjtë dhe kuptimi i tij është të zvogëlohet kjo shprehje në një formë më të thjeshtë duke përdorur transformime matematikore. Ekuacionet që kanë të njëjtat rrënjë quhen ekuivalente në algjebër.
Shembulli më i thjeshtë: 7x-49=0, rrënja e ekuacionit x=7;x-7=0, në mënyrë të ngjashme, rrënja x=7, pra, ekuacionet janë ekuivalente. (Në raste të veçanta, ekuacionet ekuivalente mund të mos kenë rrënjë fare.)
Nëse rrënja e një ekuacioni është gjithashtu rrënja e një ekuacioni tjetër, më të thjeshtë të përftuar nga ai origjinal me transformime, atëherë ky i fundit quhet pasojë e ekuacionit të mëparshëm.
Nëse njëri nga dy ekuacionet është pasojë e tjetrit, atëherë ato konsiderohen ekuivalente. Ato quhen gjithashtu ekuivalente. Shembulli i mësipërm e ilustron këtë.
Zgjidhja edhe e ekuacioneve më të thjeshta në praktikë është shpesh e vështirë. Si rezultat i zgjidhjes, mund të merrni një rrënjë të ekuacionit, dy ose më shumë, madje edhe një numër të pafund - kjo varet nga lloji i ekuacioneve. Ka edhe nga ato që nuk kanë rrënjë, quhen të pavendosur.
Shembuj:
1) 15x -20=10; x=2. Kjo është rrënja e vetme e ekuacionit.
2) 7x - y=0. Ekuacioni ka një numër të pafund rrënjësh, pasi çdo variabël mund të ketë të panumërtnumri i vlerave.
3) x2=- 16. Një numër i ngritur në fuqinë e dytë jep gjithmonë një rezultat pozitiv, kështu që është e pamundur të gjesh rrënjën e ekuacionit.. Ky është një nga ekuacionet e pazgjidhshme të përmendura më sipër.
Kontrollohet korrektësia e zgjidhjes duke zëvendësuar rrënjët e gjetura në vend të shkronjave dhe duke zgjidhur shembullin që rezulton. Nëse identiteti qëndron, zgjidhja është e saktë.
