Georg Kantor (foto është dhënë më vonë në artikull) është një matematikan gjerman që krijoi teorinë e grupeve dhe prezantoi konceptin e numrave transfinite, pafundësisht të mëdhenj, por të ndryshëm nga njëri-tjetri. Ai gjithashtu përcaktoi numrat rendorë dhe kardinalë dhe krijoi aritmetikën e tyre.
Georg Kantor: biografi e shkurtër
Lindur në Shën Petersburg më 1845-03-03. Babai i tij ishte një danez i besimit protestant, Georg-Valdemar Kantor, i cili merrej me tregti, përfshirë në bursë. Nëna e tij Maria Bem ishte katolike dhe vinte nga një familje muzikantësh të shquar. Kur babai i Georg u sëmur në 1856, familja u zhvendos fillimisht në Wiesbaden dhe më pas në Frankfurt në kërkim të një klime më të butë. Talentet matematikore të djalit u shfaqën edhe para ditëlindjes së tij të 15-të, ndërsa studionte në shkolla dhe gjimnaze private në Darmstadt dhe Wiesbaden. Në fund, Georg Cantor e bindi babanë e tij për qëllimin e tij të vendosur për t'u bërë një matematikan, jo një inxhinier.
Pas një studimi të shkurtër në Universitetin e Cyrihut, në 1863 Kantor u transferua në Universitetin e Berlinit për të studiuar fizikë, filozofi dhe matematikë. Atje aimësoi:
- Karl Theodor Weierstrass, specializimi i të cilit në analizë ndoshta kishte ndikimin më të madh te Georg;
- Ernst Eduard Kummer, i cili mësoi aritmetikë të lartë;
- Leopold Kronecker, teoricien i numrave që më vonë kundërshtoi Cantor.
Pasi kaloi një semestër në Universitetin e Göttingen në 1866, vitin e ardhshëm Georg shkroi disertacionin e doktoraturës me titull "Në matematikë, arti i pyetjeve është më i vlefshëm se zgjidhja e problemeve", në lidhje me një problem që kishte Carl Friedrich Gauss. mbetur i pazgjidhur në Disquisitiones Arithmeticae (1801). Pasi dha një mësim të shkurtër në Shkollën e Vajzave në Berlin, Kantor filloi të punojë në Universitetin e Halle, ku qëndroi deri në fund të jetës së tij, fillimisht si mësues, nga viti 1872 si asistent profesor dhe nga viti 1879 si profesor.
Kërkim
Në fillim të një serie prej 10 punimesh nga 1869 deri në 1873, Georg Cantor mori në konsideratë teorinë e numrave. Puna pasqyronte pasionin e tij për këtë temë, studimet e Gausit dhe ndikimin e Kronecker. Me sugjerimin e Heinrich Eduard Heine, kolegut të Cantorit në Halle, i cili njohu talentin e tij matematikor, ai iu drejtua teorisë së serive trigonometrike, në të cilën zgjeroi konceptin e numrave realë.
Bazuar në punën mbi funksionin e një ndryshoreje komplekse nga matematikani gjerman Bernhard Riemann në 1854, në 1870 Kantor tregoi se një funksion i tillë mund të përfaqësohet vetëm në një mënyrë - me seri trigonometrike. Shqyrtimi i një grupi numrash (pikësh) qënuk do të kundërshtonte një pikëpamje të tillë, së pari, në 1872, e çoi atë në përcaktimin e numrave irracionalë në terma të sekuencave konvergjente të numrave racionalë (fraksione të numrave të plotë) dhe më tej në fillimin e punës për veprën e tij jetësore, teorinë e grupeve dhe konceptin. të numrave transfinit.
Teoria e grupeve
Georg Cantor, teoria e grupeve të të cilit e ka origjinën në korrespondencë me matematikanin e Institutit Teknik të Braunschweig Richard Dedekind, ishte mik i tij që nga fëmijëria. Ata arritën në përfundimin se bashkësitë, qofshin të fundme apo të pafundme, janë koleksione elementesh (p.sh. numra, {0, ±1, ±2…}) që kanë një veti të caktuar duke ruajtur individualitetin e tyre. Por kur Georg Cantor përdori një korrespondencë një-për-një (për shembull, {A, B, C} me {1, 2, 3}) për të studiuar karakteristikat e tyre, ai shpejt kuptoi se ato ndryshojnë në shkallën e tyre të anëtarësimit, madje nëse do të ishin grupe të pafundme, pra grupe, një pjesë ose nëngrup i të cilave përfshin aq objekte sa ajo vetë. Metoda e tij shpejt dha rezultate të mahnitshme.
Në 1873, Georg Cantor (matematicien) tregoi se numrat racionalë, edhe pse të pafundëm, janë të numërueshëm, sepse ata mund të vendosen në korrespondencë një-për-një me numrat natyrorë (d.m.th. 1, 2, 3, etj.). d.). Ai tregoi se grupi i numrave realë, i përbërë nga numra iracionalë dhe racionalë, është i pafund dhe i panumërueshëm. Në mënyrë më paradoksale, Cantor vërtetoi se grupi i të gjithë numrave algjebrikë përmban aq elementë sasa është bashkësia e të gjithë numrave të plotë dhe se numrat transcendental, të cilët nuk janë algjebrikë, të cilët janë një nëngrup i numrave iracionalë, janë të panumërueshëm dhe, për rrjedhojë, numri i tyre është më i madh se numrat e plotë dhe duhet të konsiderohen si të pafund.
Kundërshtarët dhe mbështetësit
Por punimi i Kantorit, në të cilin ai parashtroi për herë të parë këto rezultate, nuk u botua në Krell, pasi një nga recensentët, Kronecker, u kundërshtua ashpër. Por pas ndërhyrjes së Dedekindit, ai u botua në 1874 me titullin "Mbi vetitë karakteristike të të gjithë numrave algjebrikë realë."
Shkenca dhe jeta private
Në të njëjtin vit, ndërsa ishte në muajin e mj altit me gruan e tij Wally Gutman në Interlaken, Zvicër, Kantor takoi Dedekind, i cili foli pozitivisht për teorinë e tij të re. Rroga e Gjergjit ishte e vogël, por me paratë e babait, i cili vdiq në 1863, ai ndërtoi një shtëpi për gruan dhe pesë fëmijët e tij. Shumë nga letrat e tij u botuan në Suedi në revistën e re Acta Mathematica, redaktuar dhe themeluar nga Gesta Mittag-Leffler, i cili ishte ndër të parët që njohu talentin e matematikanit gjerman.
Lidhja me metafizikën
Teoria e Cantor-it u bë një lëndë krejtësisht e re studimi në lidhje me matematikën e së pafundmes (p.sh. seritë 1, 2, 3, etj., dhe grupe më komplekse), e cila varej shumë nga korrespondenca një-me-një. Zhvillimi i metodave të reja të skenës nga Kantorpyetjet në lidhje me vazhdimësinë dhe pafundësinë, i dhanë kërkimit të tij një karakter të paqartë.
Kur ai argumentoi se numrat e pafundmë ekzistojnë, ai iu drejtua filozofisë antike dhe mesjetare në lidhje me pafundësinë aktuale dhe potenciale, si dhe te edukimi i hershëm fetar që i dhanë prindërit e tij. Në 1883, në librin e tij Bazat e Teorisë së Përgjithshme të Kompleteve, Kantor kombinoi konceptin e tij me metafizikën e Platonit.
Kronecker, i cili pretendoi se vetëm numrat e plotë "ekzistojnë" ("Zoti krijoi numrat e plotë, pjesa tjetër është vepër e njeriut"), për shumë vite e hodhi poshtë me forcë arsyetimin e tij dhe e pengoi emërimin e tij në Universitetin e Berlinit.
Numra transfinit
Në 1895-97. Georg Cantor e formoi plotësisht nocionin e tij të vazhdimësisë dhe pafundësisë, duke përfshirë numrat rendorë dhe kardinalë të pafundëm, në veprën e tij më të famshme, të botuar si Kontribute në Themelimin e Teorisë së Numrave Transfinite (1915). Kjo ese përmban konceptin e tij, tek i cili ai u drejtua duke demonstruar se një grup i pafundëm mund të vendoset në një korrespondencë një-për-një me një nga nëngrupet e tij.
Nën numrin kardinal më pak transfinit, ai nënkuptonte kardinalitetin e çdo grupi që mund të vendoset në korrespondencë një-për-një me numrat natyrorë. Cantor e quajti atë aleph-null. Bashkësitë e mëdha transfinite shënohen aleph-një, aleph-dy, etj. Ai zhvilloi më tej aritmetikën e numrave transfinite, e cila ishte analoge me aritmetikën e fundme. kështu që aipasuroi konceptin e pafundësisë.
Kundërshtimi me të cilin u përball dhe koha që iu desh që idetë e tij të pranoheshin plotësisht është për shkak të vështirësisë së rivlerësimit të pyetjes së lashtë se çfarë është një numër. Cantor tregoi se grupi i pikave në një vijë ka një kardinalitet më të lartë se aleph-zero. Kjo çoi në problemin e njohur të hipotezës së vazhdimësisë - nuk ka numra kardinal midis alef-zeros dhe fuqisë së pikave në vijë. Ky problem në gjysmën e parë dhe të dytë të shekullit të 20-të zgjoi interes të madh dhe u studiua nga shumë matematikanë, duke përfshirë Kurt Gödel dhe Paul Cohen.
Depresioni
Biografia e Georg Kantor që nga viti 1884 u la në hije nga sëmundja e tij mendore, por ai vazhdoi të punonte në mënyrë aktive. Në 1897 ai ndihmoi në mbajtjen e kongresit të parë ndërkombëtar matematikor në Cyrih. Pjesërisht për shkak se ai kundërshtohej nga Kronecker, ai shpesh simpatizonte matematikanët e rinj aspirues dhe kërkonte të gjente një mënyrë për t'i shpëtuar ata nga ngacmimet e mësuesve që ndiheshin të kërcënuar nga idetë e reja.
Njohje
Në fund të shekullit, puna e tij u njoh plotësisht si bazë për teorinë, analizën dhe topologjinë e funksionit. Për më tepër, librat e Cantor Georg shërbyen si një shtysë për zhvillimin e mëtejshëm të shkollave intuitioniste dhe formaliste të themeleve logjike të matematikës. Kjo ndryshoi ndjeshëm sistemin e mësimdhënies dhe shpesh lidhet me "matematikën e re".
Në vitin 1911, Kantor ishte ndër të ftuaritkremtimi i 500-vjetorit të Universitetit të St. Andrews në Skoci. Ai shkoi atje me shpresën për të takuar Bertrand Russell, i cili, në veprën e tij të botuar së fundmi Principia Mathematica, i referohej vazhdimisht matematikanit gjerman, por kjo nuk ndodhi. Universiteti i dha Kantorit një diplomë nderi, por për shkak të sëmundjes ai nuk mundi ta pranonte çmimin personalisht.
Kantor doli në pension në vitin 1913, jetoi në varfëri dhe vuante nga uria gjatë Luftës së Parë Botërore. Festimet për nder të ditëlindjes së tij të 70-të në 1915 u anuluan për shkak të luftës, por një ceremoni e vogël u zhvillua në shtëpinë e tij. Vdiq më 1918-06-01 në Halle, në një spital psikiatrik, ku kaloi vitet e fundit të jetës.
Georg Kantor: biografi. Familja
9 gusht 1874, një matematikan gjerman u martua me Wally Gutmann. Çifti kishte 4 djem dhe 2 vajza. Fëmija i fundit lindi në 1886 në një shtëpi të re të blerë nga Kantor. Trashëgimia e të atit e ndihmoi atë të mbante familjen. Shëndeti i Kantorit u ndikua shumë nga vdekja e djalit të tij më të vogël në 1899 dhe depresioni nuk e ka lënë atë që atëherë.
