Vetitë dhe metodat për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Bota është e rregulluar në atë mënyrë që zgjidhja e një numri të madh problemesh zbret në gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Rrënjët e ekuacioneve janë të rëndësishme për përshkrimin e modeleve të ndryshme. Këtë e dinin edhe topografët e Babilonisë së lashtë. Astronomët dhe inxhinierët gjithashtu u detyruan të zgjidhnin probleme të tilla. Në shekullin e 6 pas Krishtit, shkencëtari indian Aryabhata zhvilloi bazat për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Formulat u plotësuan në shekullin e 19-të.

Koncepte të përgjithshme

Ju ftojmë të njiheni me rregullsitë bazë të barazive kuadratike. Në përgjithësi, barazia mund të shkruhet si më poshtë:

ax2 + bx + c=0, Numri i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik mund të jetë i barabartë me një ose dy. Një analizë e shpejtë mund të bëhet duke përdorur konceptin e diskriminuesit:

D=b2 - 4ac

Në varësi të vlerës së llogaritur, marrim:

• Kur D > 0 ka dy rrënjë të ndryshme. Formula e përgjithshme për përcaktimin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si (-b± √D) / (2a).
• D=0, në këtë rast rrënja është një dhe korrespondon me vlerën x=-b / (2a)
• D < 0, për një vlerë negative të diskriminuesit, nuk ka zgjidhje për ekuacionin.

Shënim: nëse diskriminuesi është negativ, ekuacioni nuk ka rrënjë vetëm në rajonin e numrave realë. Nëse algjebra shtrihet në konceptin e rrënjëve komplekse, atëherë ekuacioni ka një zgjidhje.

Le të japim një zinxhir veprimesh që konfirmojnë formulën për gjetjen e rrënjëve.

Nga forma e përgjithshme e ekuacionit, rrjedh:

ax2 + bx=-c

Ne shumëzojmë pjesën e djathtë dhe të majtë me 4a dhe mbledhim b2, marrim

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Transformoni anën e majtë në katrorin e polinomit (2ax + b)². Ne nxjerrim rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), transferojmë koeficientin b në anën e djathtë, marrim:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Nga vijon:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Çfarë kërkohej të shfaqej.

Rast special

Në disa raste, zgjidhja e problemit mund të thjeshtohet. Pra, për një koeficient b të barabartë marrim një formulë më të thjeshtë.

Shënoni k=1/2b, atëherë formula e formës së përgjithshme të rrënjëve të ekuacionit kuadratik merr formën:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Kur D=0, marrim x=-k / a

Një rast tjetër i veçantë është zgjidhja e ekuacionit me a=1.

Për formën x² + bx + c=0 rrënjët do të jenë x=-k ± √(k^{2 - c) me diskriminues më të madh se 0. Për rastin kur D=0, rrënja do të përcaktohet me një formulë të thjeshtë: x=-k.}

Përdor grafikët

Çdo person, pa e ditur as vetë, ballafaqohet vazhdimisht me dukuri fizike, kimike, biologjike, madje edhe sociale që përshkruhen mirë nga një funksion kuadratik.

Shënim: kurba e ndërtuar mbi bazën e një funksioni kuadratik quhet parabolë.

Këtu janë disa shembuj.

1. Kur llogaritet trajektorja e një predhe, përdoret vetia e lëvizjes përgjatë një parabole të një trupi të shkrepur në një kënd me horizontin.
2. Vetia e një parabole për të shpërndarë në mënyrë të barabartë ngarkesën përdoret gjerësisht në arkitekturë.

Duke kuptuar rëndësinë e funksionit parabolik, le të kuptojmë se si të përdorim grafikun për të eksploruar vetitë e tij, duke përdorur konceptet e "diskriminues" dhe "rrënjët e një ekuacioni kuadratik".

Në varësi të vlerës së koeficientëve a dhe b, ekzistojnë vetëm gjashtë opsione për pozicionin e kurbës:

1. Diskriminuesi është pozitiv, a dhe b kanë shenja të ndryshme. Degët e parabolës shikojnë lart, ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje.
2. Diskriminuesi dhe koeficienti b janë të barabartë me zero, koeficienti a është më i madh se zero. Grafiku është në zonën pozitive, ekuacioni ka 1 rrënjë.
3. Diskriminuesi dhe të gjithë koeficientët janë pozitiv. Ekuacioni kuadratik nuk ka zgjidhje.
4. Diskriminuesi dhe koeficienti a janë negativ, b është më i madh se zero. Degët e grafikut janë të drejtuara poshtë, ekuacioni ka dy rrënjë.
5. Diskriminues dhekoeficienti b janë të barabartë me zero, koeficienti a është negativ. Parabola shikon poshtë, ekuacioni ka një rrënjë.
6. Vlerat e diskriminuesit dhe të gjithë koeficientët janë negative. Nuk ka zgjidhje, vlerat e funksionit janë plotësisht në zonën negative.

Shënim: opsioni a=0 nuk merret parasysh, pasi në këtë rast parabola degjeneron në një vijë të drejtë.

Të gjitha sa më sipër janë ilustruar mirë nga figura më poshtë.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Kushti: duke përdorur vetitë e përgjithshme, bëni një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Zgjidhja:

sipas kushtit të problemit x₁ =x₂, ose -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Thjeshtimi i shënimit:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm. Ekuacioni bëhet 2√(b² - 4ac)=0. Ky pohim është i vërtetë kur b² - 4ac=0, pra b ^{2=4ac, atëherë vlera b=2√(ac) zëvendësohet në ekuacionin}

ax² + 2√(ac)x + c=0, në formën e reduktuar marrim x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Përgjigje:

për një jo të barabartë me 0 dhe çdo c, ka vetëm një zgjidhje nëse b=2√(c / a).

Ekuacionet kuadrike, me gjithë thjeshtësinë e tyre, kanë një rëndësi të madhe në llogaritjet inxhinierike. Pothuajse çdo proces fizik mund të përshkruhet me një përafrim duke përdorurFunksionet e fuqisë të rendit n. Ekuacioni kuadratik do të jetë përafrimi i parë i tillë.