Rrënja katrore aritmetike dhe vetitë e saj

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Të gjithë kemi studiuar rrënjët katrore aritmetike në klasën e algjebrës në shkollë. Ndodh që nëse dija nuk rifreskohet, atëherë harrohet shpejt, e njëjta gjë me rrënjët. Ky artikull do të jetë i dobishëm për nxënësit e klasës së tetë që duan të rifreskojnë njohuritë e tyre në këtë fushë, si dhe për nxënësit e tjerë të shkollës, sepse ne punojmë me rrënjë në klasat 9, 10 dhe 11.

Historia e rrënjës dhe shkallës

Edhe në kohët e lashta, dhe veçanërisht në Egjiptin e lashtë, njerëzit kishin nevojë për gradë për të kryer veprime me numra. Kur nuk ekzistonte një koncept i tillë, egjiptianët e shënuan produktin e të njëjtit numër njëzet herë. Por së shpejti u shpik një zgjidhje për problemin - numri i herëve që numri duhet të shumëzohet me vetveten filloi të shkruhet në këndin e sipërm djathtas sipër tij, dhe kjo formë regjistrimi ka mbijetuar deri më sot.

Dhe historia e rrënjës katrore filloi rreth 500 vjet më parë. Ajo u caktua në mënyra të ndryshme, dhe vetëm në shekullin e shtatëmbëdhjetë Rene Descartes prezantoi një shenjë të tillë, të cilën ne e përdorim deri më sot.

Çfarë është një rrënjë katror

Le të fillojmë duke shpjeguar se çfarë është rrënja katrore. Rrënja katrore e një numri c është një numër jo negativ që, kur të jetë në katror, do të jetë i barabartë me c. Në këtë rast, c është më i madh ose i barabartë me zero.

Për të futur një numër nën rrënjë, e vendosim në katror dhe vendosim shenjën e rrënjës mbi të:

32=9, 3=√9

Gjithashtu, nuk mund të marrim vlerën e rrënjës katrore të një numri negativ, pasi çdo numër në një katror është pozitiv, domethënë:

c² ≧ 0, nëse √c është një numër negativ, atëherë c^{2 < 0 - në kundërshtim me rregullin.}

Për të llogaritur shpejt rrënjët katrore, duhet të dini tabelën e katrorëve të numrave.

Properties

Le të shqyrtojmë vetitë algjebrike të rrënjës katrore.

1) Për të nxjerrë rrënjën katrore të produktit, duhet të merrni rrënjën e secilit faktor. Kjo do të thotë, mund të shkruhet si prodhim i rrënjëve të faktorëve:

√ac=√a × √c, për shembull:

√36=√4 × √9

2) Kur nxirret një rrënjë nga një thyesë, është e nevojshme të nxirret rrënja veçmas nga numëruesi dhe emëruesi, domethënë të shkruhet si herësi i rrënjëve të tyre.

3) Vlera e përftuar duke marrë rrënjën katrore të një numri është gjithmonë e barabartë me modulin e këtij numri, pasi moduli mund të jetë vetëm pozitiv:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Për të ngritur një rrënjë në çdo fuqi, ne ngremë në tëshprehje radikale:

(√с)⁴=√с^{4, për shembull:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Katrori i rrënjës aritmetike të c është i barabartë me vetë këtë numër:

(√s)2=s.

Rrënjët e numrave irracional

Le të themi se rrënja e gjashtëmbëdhjetë është e lehtë, por si të marrim rrënjën e numrave si 7, 10, 11?

Një numër rrënja e të cilit është një thyesë e pafundme jo periodike quhet irracional. Ne nuk mund ta nxjerrim rrënjën prej saj vetë. Mund ta krahasojmë vetëm me numra të tjerë. Për shembull, merrni rrënjën e 5 dhe krahasoni atë me √4 dhe √9. Është e qartë se √4 < √5 < √9, pastaj 2 < √5 < 3. Kjo do të thotë se vlera e rrënjës së pesë është diku midis dy dhe tre, por ka shumë thyesa dhjetore midis tyre, dhe marrja e secilës është një mënyrë e dyshimtë për të gjetur rrënjën.

Këtë operacion mund ta bëni në një kalkulator - kjo është mënyra më e lehtë dhe më e shpejtë, por në klasën e 8-të nuk do t'ju kërkohet kurrë të nxirrni numra irracionalë nga rrënja katrore aritmetike. Ju vetëm duhet të mbani mend vlerat e përafërta të rrënjës së dy dhe rrënjës së tre:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Shembuj

Tani, bazuar në vetitë e rrënjës katrore, do të zgjidhim disa shembuj:

1) √17² - 8²

Mos harroni formulën për diferencën e katrorëve:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Ne e dimë vetinë e rrënjës aritmetike katrore - për të nxjerrë rrënjën nga produkti, duhet ta nxjerrësh nga secili faktor:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Zbato një veçori tjetër të rrënjës - katrori i rrënjës aritmetike të një numri është i barabartë me vetë këtë numër:

2 × 3 + 6=12

E rëndësishme! Shpesh, kur fillojnë të punojnë dhe zgjidhin shembuj me rrënjë katrore aritmetike, nxënësit bëjnë gabimin e mëposhtëm:

√12 + 3=√12 + √3 - nuk mund ta bësh këtë!

Ne nuk mund të hedhim rrënjën e çdo termi. Nuk ka një rregull të tillë, por ngatërrohet me marrjen e rrënjëve të secilit faktor. Nëse do të kishim këtë hyrje:

√12 × 3, atëherë do të ishte e drejtë të shkruanim √12 × 3=√12 × √3.

Dhe kështu ne mund të shkruajmë vetëm:

√12 + 3=√15