Sipërfaqja e një koni të cunguar. Shembull i formulave dhe problemit

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Figurave të revolucionit në gjeometri i kushtohet vëmendje e veçantë kur studiohen karakteristikat dhe vetitë e tyre. Njëri prej tyre është një kon i cunguar. Ky artikull synon t'i përgjigjet pyetjes se cila formulë mund të përdoret për të llogaritur sipërfaqen e një koni të cunguar.

Për cilën figurë po flasim?

Para se të përshkruani zonën e një koni të cunguar, është e nevojshme të jepni një përkufizim të saktë gjeometrik të kësaj figure. I cunguar është një kon i tillë, i cili përftohet si rezultat i prerjes së kulmit të një koni të zakonshëm nga një aeroplan. Në këtë përkufizim, duhet të theksohen një sërë nuancash. Së pari, rrafshi i seksionit duhet të jetë paralel me rrafshin e bazës së konit. Së dyti, figura origjinale duhet të jetë një kon rrethore. Sigurisht, mund të jetë një figurë eliptike, hiperbolike dhe një lloj tjetër, por në këtë artikull ne do të kufizojmë veten të marrim parasysh vetëm një kon rrethor. Kjo e fundit është paraqitur në figurën më poshtë.

Është e lehtë të merret me mend se mund të merret jo vetëm me ndihmën e një seksioni nga një aeroplan, por edhe me ndihmën e një operacioni rrotullimi. PërPër ta bërë këtë, ju duhet të merrni një trapez që ka dy kënde të drejta dhe ta rrotulloni rreth anës që është ngjitur me këto kënde të drejta. Si rezultat, bazat e trapezit do të bëhen rrezet e bazave të konit të cunguar dhe ana e pjerrët anësore e trapezit do të përshkruajë sipërfaqen konike.

Zhvillimi i formës

Duke marrë parasysh sipërfaqen e një koni të cunguar, është e dobishme të sillni zhvillimin e tij, domethënë imazhin e sipërfaqes së një figure tre-dimensionale në një aeroplan. Më poshtë është një skanim i figurës së studiuar me parametra arbitrare.

Mund të shihet se zona e figurës formohet nga tre përbërës: dy rrathë dhe një segment rrethor i cunguar. Natyrisht, për të përcaktuar zonën e kërkuar, është e nevojshme të mblidhen sipërfaqet e të gjitha figurave të përmendura. Le ta zgjidhim këtë problem në paragrafin tjetër.

Zona e konit e cunguar

Për ta bërë më të lehtë për të kuptuar arsyetimin e mëposhtëm, ne prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

• r1, r2 - rrezet e bazave të mëdha dhe të vogla përkatësisht;
• h - lartësia e figurës;
• g - gjenerata e konit (gjatësia e anës së zhdrejtë të trapezit).

Sipërfaqja e bazave të një koni të cunguar është e lehtë për t'u llogaritur. Le të shkruajmë shprehjet përkatëse:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Sipërfaqja e një pjese të një segmenti rrethor është disi më e vështirë për t'u përcaktuar. Nëse imagjinojmë që qendra e këtij sektori rrethor nuk është e prerë, atëherë rrezja e tij do të jetë e barabartë me vlerën G. Nuk është e vështirë ta llogarisim atë nëse marrim parasysh përkatësinëtrekëndëshat e ngjashëm të konit kënddrejtë. Është e barabartë me:

G=r₁g/(r₁-r₂1

-r2).

Atëherë sipërfaqja e të gjithë sektorit rrethor, i cili është ndërtuar në rreze G dhe që mbështetet në një hark me gjatësi 2pir₁, do të jetë e barabartë tek:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Tani le të përcaktojmë sipërfaqen e sektorit të vogël rrethor S₂, i cili do të duhet të zbritet nga S₁. Është e barabartë me:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Sipërfaqja e sipërfaqes së cunguar konike S_b është e barabartë me diferencën midis S₁ dhe S ₂. Ne marrim:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Megjithë disa llogaritje të rënda, ne morëm një shprehje mjaft të thjeshtë për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të figurës.

Duke shtuar zonat e bazave dhe S_b, arrijmë në formulën për sipërfaqen e një koni të cunguar:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Kështu, për të llogaritur vlerën e S të figurës së studiuar, duhet të dini tre parametrat linearë të saj.

Shembull problem

Koni i drejtë rrethorme një rreze prej 10 cm dhe një lartësi prej 15 cm u pre me një aeroplan në mënyrë që të fitohej një kon i rregullt i cunguar. Duke ditur se distanca ndërmjet bazave të figurës së cunguar është 10 cm, është e nevojshme të gjendet sipërfaqja e saj.

Për të përdorur formulën për sipërfaqen e një koni të cunguar, duhet të gjeni tre nga parametrat e tij. Një që dimë:

r₁=10 cm.

Dy të tjerët janë të lehtë për t'u llogaritur nëse marrim parasysh trekëndëshat e ngjashëm kënddrejtë, të cilët përftohen si rezultat i seksionit boshtor të konit. Duke marrë parasysh gjendjen e problemit, marrim:

r₂=105/15=3,33 cm.

Më në fund, udhëzuesi i konit të cunguar g do të jetë:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Tani mund të zëvendësoni vlerat r₁, r₂ dhe g në formulën për S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Sipërfaqja e dëshiruar e figurës është afërsisht 852 cm².