Çfarë është një polinom dhe pse është i dobishëm

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Polinom, ose polinom - një nga strukturat bazë algjebrike, që gjendet në matematikën shkollore dhe të lartë. Studimi i një polinomi është tema më e rëndësishme në një kurs algjebër, pasi, nga njëra anë, polinomet janë mjaft të thjeshtë në krahasim me llojet e tjera të funksioneve dhe, nga ana tjetër, ato përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve të analizës matematikore.. Pra, çfarë është një polinom?

Përkufizim

Përkufizimi i termit polinom mund të jepet nëpërmjet konceptit të një monomi, ose monomi.

Një monom është një shprehje e formës cx₁ⁱ¹x₂ i2 ^…x në^{. Këtu c është një konstante, x}1_{, x}2_{, … x - variabla, i1, i2, … në - eksponentë të ndryshoreve. Atëherë një polinom është çdo shumë e fundme monomësh.}

Për të kuptuar se çfarë është një polinom, mund të shikoni shembuj të veçantë.

Trinomi katror, i diskutuar në detaje në lëndën e matematikës së klasës së 8-të, është një polinom: ax²+bx+c.

Një polinom me dy ndryshore mund të duket kështu: x²-xy+y². Të tillënjë polinom quhet gjithashtu një katror jo i plotë i diferencës midis x dhe y.

Klasifikimet polinomiale

Shkallë polinomi

Për çdo monom në polinom, gjeni shumën e eksponentëve i1+i2+…+in. Më e madhja nga shumat quhet eksponent i polinomit dhe monomi që i përgjigjet kësaj shume quhet termi më i lartë.

Meqë ra fjala, çdo konstante mund të konsiderohet një polinom i shkallës zero.

Polinome të reduktuar dhe jo të reduktuar

Nëse koeficienti c është i barabartë me 1 për termin më të lartë, atëherë polinomi është dhënë, përndryshe nuk është.

Për shembull, shprehja x²+2x+1 është një polinom i reduktuar dhe 2x²+2x+1 nuk është reduktuar.

Polinomet homogjene dhe johomogjene

Nëse shkallët e të gjithë anëtarëve të një polinomi janë të barabarta, atëherë themi se një polinom i tillë është homogjen. Të gjithë polinomet e tjerë konsiderohen jo-homogjenë.

Polinomet homogjene: x²-xy+y², xyz+x³ +y ³. Hetergjene: x+1, x²+y.

Ka emra të veçantë për një polinom me dy dhe tre terma: përkatësisht binom dhe trinom.

Polinomet e një ndryshoreje ndahen në një kategori të veçantë.

Zbatimi i një polinomi të një ndryshore

Polinomet e një ndryshoreje përafrojnë funksione të vazhdueshme me kompleksitet të ndryshëm nga një argument.

Fakti është se polinome të tilla mund të konsiderohen si shuma të pjesshme të një serie fuqie dhe një funksion i vazhdueshëm mund të përfaqësohet si një seri me një gabim arbitrar të vogël. Seritë e zgjerimit të një funksioni quhen seri Taylor dhe atoshumat e pjesshme në formën e polinomeve - polinomet e Taylor.

Të studiosh grafikisht sjelljen e një funksioni duke e përafruar atë me disa polinom është shpesh më e lehtë sesa të hetosh drejtpërdrejt të njëjtin funksion ose të përdorësh një seri.

Është e lehtë të kërkosh derivate të polinomeve. Për të gjetur rrënjët e polinomeve të shkallës 4 e më poshtë, ekzistojnë formula të gatshme dhe për të punuar me shkallë më të larta përdoren algoritme të përafërta me precizion të lartë.

Ekziston gjithashtu një përgjithësim i polinomeve të përshkruara për funksionet e disa ndryshoreve.

binomi i Njutonit

Polinomet e famshme janë polinomet e Njutonit, të nxjerra nga shkencëtarët për të gjetur koeficientët e shprehjes (x + y).

Mjafton të shikojmë disa fuqitë e para të zbërthimit binomial për t'u siguruar që formula nuk është e parëndësishme:

(x+y)²=x²+2xy+y²;

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³;

(x+y)⁴=x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴;

(x+y)⁵=x⁵+5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴+y⁵.

Për çdo koeficient ka një shprehje që ju lejon ta llogaritni atë. Megjithatë, memorizimi i formulave të rënda dhe kryerja e veprimeve të nevojshme aritmetike çdo herë do të ishte jashtëzakonisht e papërshtatshme për ata matematikanë që shpesh kanë nevojë për zgjerime të tilla. Trekëndëshi i Paskalit e bëri jetën shumë më të lehtë për ta.

Figura është ndërtuar sipas parimit të mëposhtëm. 1 shkruhet në krye të trekëndëshit dhe në çdo rresht tjetër bëhet një shifër më shumë, 1 vihet në skajet dhe mesi i rreshtit mbushet me shumat e dy numrave ngjitur nga ai i mëparshmi.

Kur shikoni ilustrimin, gjithçka bëhet e qartë.

Sigurisht, përdorimi i polinomeve në matematikë nuk kufizohet vetëm në shembujt e dhënë, më të njohurit.