Sipërfaqet e rendit të dytë: shembuj

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Nxënësi më së shpeshti ndeshet me sipërfaqe të rendit të dytë në vitin e parë. Në fillim, detyrat për këtë temë mund të duken të thjeshta, por ndërsa studioni matematikën e lartë dhe thelloheni në anën shkencore, më në fund mund të ndaloni së orientuari veten në atë që po ndodh. Për të parandaluar që kjo të ndodhë, është e nevojshme jo vetëm të mësoni përmendësh, por të kuptoni se si përftohet kjo ose ajo sipërfaqe, si ndikon ndryshimi i koeficientëve në të dhe vendndodhjen e tij në lidhje me sistemin origjinal të koordinatave dhe si të gjeni një sistem të ri. (njëra në të cilën qendra e saj përkon me koordinatat e origjinës, dhe boshti i simetrisë është paralel me një nga boshtet e koordinatave). Le të fillojmë nga fillimi.

Përkufizim

GMT quhet një sipërfaqe e rendit të dytë, koordinatat e së cilës plotësojnë ekuacionin e përgjithshëm të formës së mëposhtme:

F(x, y, z)=0.

Është e qartë se çdo pikë që i përket sipërfaqes duhet të ketë tre koordinata në një bazë të caktuar. Edhe pse në disa raste vendndodhja e pikave mund të degjenerojë, për shembull, në një aeroplan. Do të thotë vetëm se njëra nga koordinatat është konstante dhe është e barabartë me zero në të gjithë gamën e vlerave të pranueshme.

Forma e plotë e pikturuar e barazisë së përmendur më sipër duket kështu:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A₂₃ yz+2A₁₃xz+2A₁₄x+2A₂₄y+2A ₃₄z+A_44=0.

A_{nm – disa konstante, x, y, z – variabla që korrespondojnë me koordinatat afine të një pike. Në këtë rast, të paktën një nga faktorët konstant nuk duhet të jetë i barabartë me zero, domethënë asnjë pikë nuk do t'i korrespondojë ekuacionit.}

Në shumicën dërrmuese të shembujve, shumë faktorë numerikë janë ende identikisht të barabartë me zero, dhe ekuacioni është shumë i thjeshtuar. Në praktikë, përcaktimi nëse një pikë i përket një sipërfaqeje nuk është e vështirë (mjafton të zëvendësoni koordinatat e saj në ekuacion dhe të kontrolloni nëse identiteti është respektuar). Pika kyçe në një punë të tillë është ta sjellësh këtë të fundit në një formë kanonike.

Ekuacioni i shkruar më sipër përcakton çdo sipërfaqe (të gjitha të listuara më poshtë) të rendit të dytë. Ne do të shqyrtojmë shembuj më poshtë.

Llojet e sipërfaqeve të rendit të dytë

Ekuacionet e sipërfaqeve të rendit të dytë ndryshojnë vetëm në vlerat e koeficientëve A_{nm. Nga pikëpamja e përgjithshme, për vlera të caktuara të konstanteve, mund të merren sipërfaqe të ndryshme, të klasifikuara si më poshtë:}

Cilindrat.
Lloji eliptik.
Lloji hiperbolik.
Lloji konik.
Lloji parabolik.
Aeroplanët.

Secili nga llojet e listuara ka një formë natyrore dhe imagjinare: në formën imagjinare, vendndodhja e pikave reale ose degjeneron në një figurë më të thjeshtë, ose mungon fare.

Cilindrat

Ky është lloji më i thjeshtë, pasi një kurbë relativisht komplekse shtrihet vetëm në bazë, duke vepruar si udhëzues. Gjeneratorët janë vija të drejta pingul me rrafshin në të cilin shtrihet baza.

Grafiku tregon një cilindër rrethor, një rast i veçantë i një cilindri eliptik. Në rrafshin XY, projeksioni i tij do të jetë një elips (në rastin tonë, një rreth) - një udhëzues, dhe në XZ - një drejtkëndësh - pasi gjeneratorët janë paralel me boshtin Z. Për ta marrë atë nga ekuacioni i përgjithshëm, ju duhet për t'i dhënë koeficientëve vlerat e mëposhtme:

Në vend të simboleve të zakonshme përdoret x, y, z, x me një numër serial - nuk ka rëndësi.

Në fakt, 1/a2dhe konstantet e tjera të treguara këtu janë të njëjtët koeficientë të treguar në ekuacionin e përgjithshëm, por është e zakonshme t'i shkruani ato në këtë formë - kjo është përfaqësimi kanonik. Më tej, vetëm një shënim i tillë do të përdoret.

Kështu përcaktohet një cilindër hiperbolik. Skema është e njëjtë - hiperbola do të jetë udhëzues.

y2=2px

Një cilindër parabolik përcaktohet disi ndryshe: forma e tij kanonike përfshin një koeficient p, të quajtur parametër. Në fakt, koeficienti është i barabartë me q=2p, por është zakon që të ndahet në dy faktorët e paraqitur.

Ka një lloj tjetër cilindri: imagjinar. Asnjë pikë e vërtetë nuk i përket një cilindri të tillë. Ai përshkruhet nga ekuacionicilindër eliptik, por në vend të njësisë është -1.

Lloji eliptik

Një elipsoid mund të shtrihet përgjatë njërit prej boshteve (përgjatë të cilit varet nga vlerat e konstanteve a, b, c, të treguara më sipër; është e qartë se një koeficient më i madh do të korrespondojë me boshtin më të madh).

Ekziston edhe një elipsoid imagjinar - me kusht që shuma e koordinatave e shumëzuar me koeficientët të jetë -1:

Hiperboloids

Kur një minus shfaqet në një nga konstantet, ekuacioni elipsoid kthehet në ekuacion të një hiperboloidi me një fletë. Duhet të kuptohet se ky minus nuk duhet të vendoset përpara koordinatës x₃! Ai përcakton vetëm se cili nga boshtet do të jetë boshti i rrotullimit të hiperboloidit (ose paralel me të, pasi kur termat shtesë shfaqen në katror (për shembull, (x-2)^{2) qendra e figurës zhvendoset, si rezultat, sipërfaqja lëviz paralelisht me boshtet e koordinatave). Kjo vlen për të gjitha sipërfaqet e rendit të dytë.}

Ekuacionet e sipërfaqes së rendit të dytë

Përveç kësaj, duhet të kuptoni se ekuacionet janë paraqitur në formë kanonike dhe ato mund të ndryshohen duke ndryshuar konstantet (me shenjën e ruajtur!); ndërsa forma e tyre (hiperboloid, kon, e kështu me radhë) do të mbetet e njëjtë.

Ky ekuacion është dhënë tashmë nga një hiperboloid me dy fletë.

Sipërfaqja konike

Nuk ka asnjë njësi në ekuacionin e konit - barazi me zero.

Vetëm një sipërfaqe konike e kufizuar quhet kon. Fotografia më poshtë tregon se, në fakt, do të ketë dy të ashtuquajturat kone në grafik.

Shënim i rëndësishëm: në të gjitha ekuacionet kanonike të konsideruara, konstantet merren si parazgjedhje pozitive. Përndryshe, shenja mund të ndikojë në grafikun përfundimtar.

Rafshët e koordinatave bëhen plane të simetrisë së konit, qendra e simetrisë ndodhet në origjinë.

Ka vetëm pluse në ekuacionin e konit imagjinar; zotëron një pikë të vetme reale.

Paraboloids

Sipërfaqet e rendit të dytë në hapësirë mund të marrin forma të ndryshme edhe me ekuacione të ngjashme. Për shembull, ekzistojnë dy lloje të paraboloideve.

x²/a²+y²/b^2=2z

Një paraboloid eliptik, kur boshti Z është pingul me vizatimin, do të projektohet në një elips.

Ndërtoni një sipërfaqe të rendit të dytë

x²/a²-y²/b^2=2z

Paraboloidi hiperbolik: seksionet me rrafshe paralele me ZY do të prodhojnë parabola dhe seksionet me plane paralele me XY do të prodhojnë hiperbola.

Aeroplanët kryqëzues

Ka raste kur sipërfaqet e rendit të dytë degjenerojnë në një rrafsh. Këta avionë mund të organizohen në mënyra të ndryshme.

Së pari merrni parasysh planet kryqëzuese:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Ky modifikim i ekuacionit kanonik rezulton në vetëm dy plane të kryqëzuara (imagjinare!); të gjitha pikat reale janë në boshtin e koordinatës që mungon në ekuacion (në boshtin kanonik - Z).

Aeroplanët paralel

y²=a²

Kur ka vetëm një koordinatë, sipërfaqet e rendit të dytë degjenerojnë në një palë planesh paralele. Mbani mend, çdo variabël tjetër mund të zërë vendin e Y; atëherë do të fitohen plane paralele me boshtet e tjera.

y²=−a²

Në këtë rast, ato bëhen imagjinare.

Aeroplanët që përkonin

y2=0

Me një ekuacion kaq të thjeshtë, një palë rrafshe degjenerojnë në një - ato përkojnë.

Mos harroni se në rastin e një baze tredimensionale, ekuacioni i mësipërm nuk përcakton drejtëzën y=0! I mungojnë dy variablat e tjerë, por kjo thjesht do të thotë se vlera e tyre është konstante dhe e barabartë me zero.

Ndërtesa

Një nga detyrat më të vështira për një student është ndërtimi i sipërfaqeve të rendit të dytë. Është edhe më e vështirë të kalosh nga një sistem koordinativ në tjetrin, duke pasur parasysh këndet e kurbës në lidhje me boshtet dhe zhvendosjen e qendrës. Le të përsërisim se si të përcaktojmë vazhdimisht pamjen e ardhshme të vizatimit me një analitikmënyrë.

Për të ndërtuar një sipërfaqe të rendit të dytë, ju duhet:

sjelle ekuacionin në formën kanonike;
përcaktoni llojin e sipërfaqes në studim;
ndërtim bazuar në vlerat e koeficientëve.

Më poshtë janë të gjitha llojet e konsideruara:

Për ta konsoliduar, le të përshkruajmë në detaje një shembull të këtij lloji detyre.

Shembuj

Supozoni se ekziston një ekuacion:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60v+144=0}

Ta sjellim në formën kanonike. Le të veçojmë katrorët e plotë, domethënë, termat e disponueshëm i renditim në atë mënyrë që të jenë zgjerimi i katrorit të shumës ose diferencës. Për shembull: nëse (a+1)²=a²+2a+1 atëherë a²+2a +1=(a+1)^{2. Ne do të kryejmë operacionin e dytë. Në këtë rast, nuk është e nevojshme të hapni kllapat, pasi kjo vetëm do të komplikojë llogaritjet, por është e nevojshme të hiqni faktorin e përbashkët 6 (në kllapa me katrorin e plotë të Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Ndryshorja z shfaqet në këtë rast vetëm një herë - mund ta lini të qetë për momentin.

Ne e analizojmë ekuacionin në këtë fazë: të gjitha të panjohurat paraprihen nga një shenjë plus; kur ndahet me gjashtë, mbetet një. Prandaj, ne kemi një ekuacion që përcakton një elipsoid.

Vini re se 144 u faktorizua në 150-6, pas së cilës -6 u zhvendos në të djathtë. Pse duhej të bëhej në këtë mënyrë? Natyrisht, pjesëtuesi më i madh në këtë shembull është -6, kështu që pas pjesëtimit me tënjëri është lënë në të djathtë, është e nevojshme të "shtyhet" saktësisht 6 nga 144 (fakti që dikush duhet të jetë në të djathtë tregohet nga prania e një termi të lirë - një konstante e pa shumëzuar me një të panjohur).

Pjestoni gjithçka me gjashtë dhe merrni ekuacionin kanonik të elipsoidit:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Në klasifikimin e përdorur më parë të sipërfaqeve të rendit të dytë, një rast i veçantë konsiderohet kur qendra e figurës është në origjinën e koordinatave. Në këtë shembull, është kompensuar.

Supozojmë se çdo kllapa me të panjohura është një ndryshore e re. Domethënë: a=x-1, b=y+5, c=z. Në koordinatat e reja qendra e elipsoidit përkon me pikën (0, 0, 0), pra a=b=c=0, prej nga: x=1, y=-5, z=0. Në koordinatat fillestare, qendra e figurës shtrihet në pikën (1, -5, 0).

Elipsoidi do të merret nga dy elipsa: e para në rrafshin XY dhe e dyta në rrafshin XZ (ose YZ - nuk ka rëndësi). Koeficientët me të cilët ndahen variablat janë në katror në ekuacionin kanonik. Prandaj, në shembullin e mësipërm, do të ishte më e saktë të ndahej me rrënjën e dy, një dhe rrënjën e tre.

Aksi i vogël i elipsit të parë, paralel me boshtin Y, është dy. Boshti kryesor paralel me boshtin x është dy rrënjë të dy. Boshti i vogël i elipsit të dytë, paralel me boshtin Y, mbetet i njëjtë - është i barabartë me dy. Dhe boshti kryesor, paralel me boshtin Z, është i barabartë me dy rrënjët e tre.

Me ndihmën e të dhënave të marra nga ekuacioni origjinal duke u kthyer në formën kanonike, mund të vizatojmë një elipsoid.

Përmbledhje

Mbuluar në këtë artikulltema është mjaft e gjerë, por, në fakt, siç mund ta shihni tani, jo shumë e ndërlikuar. Zhvillimi i tij, në fakt, përfundon në momentin kur mësoni përmendësh emrat dhe ekuacionet e sipërfaqeve (dhe, natyrisht, si duken ato). Në shembullin e mësipërm, ne kemi diskutuar çdo hap në detaje, por sjellja e ekuacionit në formën kanonike kërkon njohuri minimale të matematikës së lartë dhe nuk duhet të shkaktojë ndonjë vështirësi për studentin.

Analiza e planit të ardhshëm mbi barazinë ekzistuese është tashmë një detyrë më e vështirë. Por për zgjidhjen e suksesshme të tij, mjafton të kuptojmë se si ndërtohen kthesat përkatëse të rendit të dytë - elipset, parabolat dhe të tjera.

Rastet e degjenerimit - një seksion edhe më i thjeshtë. Për shkak të mungesës së disa variablave, jo vetëm llogaritjet janë thjeshtuar, siç u përmend më herët, por edhe vetë ndërtimi.

Sapo të mund të emërtoni me siguri të gjitha llojet e sipërfaqeve, ndryshoni konstantet, duke e kthyer grafikun në një formë ose në një tjetër - tema do të zotërohet.

Suksese në studimet tuaja!