Pabarazitë algjebrike ose sistemet e tyre me koeficientë racionalë, zgjidhjet e të cilëve kërkohen në numra integralë ose të plotë. Si rregull, numri i të panjohurave në ekuacionet Diofantine është më i madh. Kështu, ato njihen edhe si pabarazi të pacaktuara. Në matematikën moderne, koncepti i mësipërm zbatohet për ekuacionet algjebrike, zgjidhjet e të cilave kërkohen në numra të plotë algjebrikë të një farë shtrirjeje të fushës së ndryshoreve Q-racionale, fushës së ndryshoreve p-adike, etj.
Origjina e këtyre pabarazive
Studimi i ekuacioneve Diofantine është në kufirin midis teorisë së numrave dhe gjeometrisë algjebrike. Gjetja e zgjidhjeve në variabla me numër të plotë është një nga problemet më të vjetra matematikore. Tashmë në fillim të mijëvjeçarit të dytë para Krishtit. babilonasit e lashtë arritën të zgjidhnin sisteme ekuacionesh me dy të panjohura. Kjo degë e matematikës lulëzoi më shumë në Greqinë e lashtë. Aritmetika e Diofantit (rreth shekulli III pas Krishtit) është një burim domethënës dhe kryesor që përmban lloje dhe sisteme të ndryshme ekuacionesh.
Në këtë libër, Diofanti parashikoi një sërë metodash për studimin e pabarazive të së dytës dhe të tretësshkallë që u zhvilluan plotësisht në shekullin e 19-të. Krijimi i teorisë së numrave racionalë nga ky studiues i Greqisë antike çoi në analizën e zgjidhjeve logjike të sistemeve të pacaktuara, të cilat ndiqen sistematikisht në librin e tij. Megjithëse puna e tij përmban zgjidhje për ekuacionet specifike të Diofantinës, ka arsye për të besuar se ai ishte gjithashtu i njohur me disa metoda të përgjithshme.
Studimi i këtyre pabarazive zakonisht shoqërohet me vështirësi serioze. Për shkak të faktit se ato përmbajnë polinome me koeficientë të plotë F (x, y1, …, y). Bazuar në këtë, u nxorrën përfundime se nuk ka asnjë algoritëm të vetëm që mund të përdoret për të përcaktuar për çdo x të dhënë nëse ekuacioni F (x, y1, …., y ). Situata është e zgjidhshme për y1, …, y . Mund të shkruhen shembuj të polinomeve të tillë.
Pabarazia më e thjeshtë
ax + me=1, ku a dhe b janë numra relativisht të plotë dhe të thjeshtë, ai ka një numër të madh ekzekutimesh (nëse x0, y0 formohet rezultati, pastaj çifti i variablave x=x0 + b dhe y=y0 -an, ku n është arbitrare, do të konsiderohet gjithashtu si një pabarazi). Një shembull tjetër i ekuacioneve Diofantine është x2 + y2 =z2. Zgjidhjet integrale pozitive të kësaj pabarazie janë gjatësitë e brinjëve të vogla x, y dhe trekëndëshat kënddrejtë, si dhe hipotenuza z me përmasa të anës së plotë. Këta numra njihen si numra të Pitagorës. Tregohen të gjitha trinjakët në lidhje me primvariablat e mësipërme jepen nga x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, ku m dhe n janë numra të plotë dhe numra të thjeshtë (m>n>0).
Diofanti në kërkimet e tij Aritmetike për zgjidhje racionale (jo domosdoshmërisht integrale) të llojeve të veçanta të pabarazive të tij. Një teori e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve diofantine të shkallës së parë u zhvillua nga C. G. Baschet në shekullin e 17-të. Shkencëtarë të tjerë në fillim të shekullit të 19-të kryesisht studiuan pabarazi të ngjashme si ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, ku a, b, c, d, e dhe f janë të përgjithshme, heterogjene, me dy të panjohura të shkallës së dytë. Lagranzhi përdori fraksione të vazhdueshme në studimin e tij. Gausi për format kuadratike zhvilloi një teori të përgjithshme që qëndron në themel të disa llojeve të zgjidhjeve.
Në studimin e këtyre pabarazive të shkallës së dytë, përparim i rëndësishëm u bë vetëm në shekullin e 20-të. A. Thue zbuloi se ekuacioni i Diofantinës a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, ku n≧3, a0, …, a , c janë numra të plotë dhe a0tn + …+ a nuk mund të ketë një numër të pafund zgjidhjesh me numra të plotë. Megjithatë, metoda e Thue nuk u zhvillua siç duhet. A. Baker krijoi teorema efektive që japin vlerësime mbi performancën e disa ekuacioneve të këtij lloji. BN Delaunay propozoi një metodë tjetër hetimi të zbatueshme për një klasë më të ngushtë të këtyre pabarazive. Në veçanti, forma ax3 + y3 =1 është plotësisht e zgjidhshme në këtë mënyrë.
Ekuacionet diofantine: metodat e zgjidhjes
Teoria e Diofantit ka shumë drejtime. Kështu, një problem i njohur në këtë sistem është hipoteza se nuk ka zgjidhje jo të parëndësishme të ekuacioneve diofantine xn + y =z n nëse n ≧ 3 (pyetja e Fermatit). Studimi i plotësimeve të numrave të plotë të pabarazisë është një përgjithësim i natyrshëm i problemit të trinjakëve të Pitagorës. Euler mori një zgjidhje pozitive të problemit të Fermatit për n=4. Për shkak të këtij rezultati, ai i referohet vërtetimit të numrit të plotë që mungon, studimet jozero të ekuacionit nëse n është një numër i thjeshtë tek.
Studimi në lidhje me vendimin nuk ka përfunduar. Vështirësitë me zbatimin e tij lidhen me faktin se faktorizimi i thjeshtë në unazën e numrave të plotë algjebrikë nuk është unik. Teoria e pjesëtuesve në këtë sistem për shumë klasa të eksponentëve të thjeshtë n bën të mundur konfirmimin e vlefshmërisë së teoremës së Fermatit. Kështu, ekuacioni linear i Diofantinës me dy të panjohura plotësohet nga metodat dhe mënyrat ekzistuese.
Llojet dhe llojet e detyrave të përshkruara
Aritmetika e unazave të numrave të plotë algjebrikë përdoret gjithashtu në shumë probleme të tjera dhe zgjidhje të ekuacioneve diofantine. Për shembull, metoda të tilla zbatoheshin kur plotësoheshin pabarazitë e formës N(a1 x1 +…+ a x)=m, ku N(a) është norma e a, dhe x1, …, xn Gjenden variabla racionale integrale. Kjo klasë përfshin ekuacionin Pell x2–dy2=1.
Vlerat a1, …, a që shfaqen, këto ekuacione ndahen në dy lloje. Lloji i parë - të ashtuquajturat forma të plota - përfshin ekuacione në të cilat midis a ka m numra linearisht të pavarur mbi fushën e ndryshoreve racionale Q, ku m=[Q(a1, …, a):Q], në të cilin ekziston një shkallë e eksponentëve algjebrikë Q (a1, …, a ) mbi Q. Llojet jo të plota janë ato në i cili numri maksimal prej a i më pak se m.
Formularët e plotë janë më të thjeshtë, studimi i tyre është i plotë dhe të gjitha zgjidhjet mund të përshkruhen. Lloji i dytë, specia jo e plotë, është më e ndërlikuar dhe zhvillimi i një teorie të tillë ende nuk ka përfunduar. Ekuacione të tilla studiohen duke përdorur përafrime diofantine, të cilat përfshijnë pabarazinë F(x, y)=C, ku F (x, y) është një polinom homogjen i pareduktueshëm i shkallës n≧3. Kështu, mund të supozojmë se yi→∞. Prandaj, nëse yi është mjaft i madh, atëherë pabarazia do të kundërshtojë teoremën e Thue, Siegel dhe Roth, nga e cila rezulton se F(x, y)=C, ku F është një formë e shkallës së tretë ose më lart, i pakalueshëm nuk mund të ketë një numër të pafund zgjidhjesh.
Si të zgjidhim një ekuacion diofantine?
Ky shembull është një klasë mjaft e ngushtë mes të gjithëve. Për shembull, pavarësisht nga thjeshtësia e tyre, x3 + y3 + z3=N, dhe x2 +y 2 +z2 +u2 =N nuk përfshihen në këtë klasë. Studimi i zgjidhjeve është një degë mjaft e studiuar me kujdes e ekuacioneve diofantine, ku baza është përfaqësimi me forma kuadratike të numrave. Lagranzhitkrijoi një teoremë që thotë se përmbushja ekziston për të gjitha N natyrore. Çdo numër natyror mund të përfaqësohet si shuma e tre katrorëve (teorema e Gausit), por nuk duhet të jetë e formës 4a (8K- 1), ku a dhe k janë eksponentë me numër të plotë jo negativ.
Zgjidhje racionale ose integrale të një sistemi të një ekuacioni diofantin të tipit F (x1, …, x)=a, ku F (x 1, …, x) është një formë kuadratike me koeficientë të plotë. Kështu, sipas teoremës Minkowski-Hasse, pabarazia ∑aijxixj=b ijdhe b është racional, ka një zgjidhje integrale në numra realë dhe p-adikë për çdo numër të thjeshtë p vetëm nëse është i zgjidhshëm në këtë strukturë.
Për shkak të vështirësive të qenësishme, studimi i numrave me forma arbitrare të shkallës së tretë e lart është studiuar në një masë më të vogël. Metoda kryesore e ekzekutimit është metoda e shumave trigonometrike. Në këtë rast, numri i zgjidhjeve të ekuacionit shkruhet në mënyrë eksplicite në termat e integralit Furier. Pas kësaj, metoda e mjedisit përdoret për të shprehur numrin e përmbushjes së pabarazisë së kongruencave përkatëse. Metoda e shumave trigonometrike varet nga veçoritë algjebrike të mosbarazimeve. Ka një numër të madh metodash elementare për zgjidhjen e ekuacioneve lineare Diofantine.
Analiza diofantine
Dega e matematikës, lënda e së cilës është studimi i zgjidhjeve integrale dhe racionale të sistemeve të ekuacioneve të algjebrës me metoda të gjeometrisë, nga e njëjtasferat. Në gjysmën e dytë të shekullit të 19-të, shfaqja e kësaj teorie të numrave çoi në studimin e ekuacioneve Diofantine nga një fushë arbitrare me koeficientë, dhe zgjidhjet u konsideruan ose në të ose në unazat e saj. Sistemi i funksioneve algjebrike u zhvillua paralelisht me numrat. Analogjia bazë midis të dyjave, e cila u theksua nga D. Hilbert dhe, në veçanti, L. Kronecker, çoi në ndërtimin uniform të koncepteve të ndryshme aritmetike, të cilat zakonisht quhen globale.
Kjo është veçanërisht e dukshme nëse funksionet algjebrike në studim mbi një fushë të fundme konstantesh janë një ndryshore. Koncepte të tilla si teoria e fushës së klasës, pjesëtuesi dhe degëzimi dhe rezultatet janë një ilustrim i mirë i sa më sipër. Ky këndvështrim u adoptua në sistemin e pabarazive diofantine vetëm më vonë, dhe kërkimet sistematike jo vetëm me koeficientë numerikë, por edhe me koeficientë që janë funksione, filluan vetëm në vitet 1950. Një nga faktorët vendimtarë në këtë qasje ishte zhvillimi i gjeometrisë algjebrike. Studimi i njëkohshëm i fushave të numrave dhe funksioneve, që lindin si dy aspekte po aq të rëndësishme të së njëjtës lëndë, jo vetëm që dha rezultate elegante dhe bindëse, por çoi në pasurimin e ndërsjellë të dy temave.
Në gjeometrinë algjebrike, nocioni i një varieteti zëvendësohet nga një grup jo-invariant i pabarazive mbi një fushë të caktuar K, dhe zgjidhjet e tyre zëvendësohen me pika racionale me vlera në K ose në shtrirjen e saj të fundme. Prandaj, mund të thuhet se problemi themelor i gjeometrisë diofantine është studimi i pikave racionaletë një bashkësie algjebrike X(K), ndërsa X janë numra të caktuar në fushën K. Ekzekutimi i numrit të plotë ka një kuptim gjeometrik në ekuacionet lineare Diofantine.
Studimet e pabarazisë dhe opsionet e ekzekutimit
Kur studiohen pikat racionale (ose integrale) në varietetet algjebrike, lind problemi i parë, që është ekzistenca e tyre. Problemi i dhjetë i Hilbertit formulohet si problemi i gjetjes së një metode të përgjithshme për zgjidhjen e këtij problemi. Në procesin e krijimit të një përkufizimi të saktë të algoritmit dhe pasi u vërtetua se nuk ka ekzekutime të tilla për një numër të madh problemesh, problemi mori një rezultat të dukshëm negativ, dhe pyetja më interesante është përkufizimi i klasave të ekuacioneve diofantine. për të cilat ekziston sistemi i mësipërm. Qasja më e natyrshme, nga pikëpamja algjebrike, është i ashtuquajturi parim Hasse: fusha fillestare K studiohet së bashku me plotësimet e saj Kv mbi të gjitha vlerësimet e mundshme. Meqenëse X(K)=X(Kv) janë një kusht i domosdoshëm për ekzistencë, dhe pika K merr parasysh se bashkësia X(Kv) nuk është bosh për të gjitha v.
Rëndësia qëndron në faktin se ai bashkon dy probleme. E dyta është shumë më e thjeshtë, është e zgjidhshme me një algoritëm të njohur. Në rastin e veçantë ku varieteti X është projektiv, lema e Hanselit dhe përgjithësimet e saj bëjnë të mundur reduktimin e mëtejshëm: problemi mund të reduktohet në studimin e pikave racionale mbi një fushë të fundme. Pastaj ai vendos të ndërtojë një koncept ose nëpërmjet kërkimit të vazhdueshëm ose metodave më efektive.
E funditnjë konsideratë e rëndësishme është se bashkësitë X(Kv) janë jo bosh për të gjithë, përveç një numri të fundëm të v, kështu që numri i kushteve është gjithmonë i fundëm dhe ato mund të testohen në mënyrë efektive. Megjithatë, parimi i Hasse nuk zbatohet për kurbat e shkallës. Për shembull, 3x3 + 4y3=5 ka pikë në të gjitha fushat e numrave p-adic dhe në sistemin e numrave realë, por nuk ka pikë racionale.
Kjo metodë shërbeu si një pikënisje për ndërtimin e një koncepti që përshkruan klasat e hapësirave kryesore homogjene të varieteteve Abelian për të kryer një "devijim" nga parimi Hasse. Ai përshkruhet në termat e një strukture të veçantë që mund të shoqërohet me secilin shumëfish (grupi Tate-Shafarevich). Vështirësia kryesore e teorisë qëndron në faktin se metodat për llogaritjen e grupeve janë të vështira për t'u marrë. Ky koncept është shtrirë edhe në klasa të tjera të varieteteve algjebrike.
Kërko një algoritëm për përmbushjen e pabarazive
Një ide tjetër heuristike e përdorur në studimin e ekuacioneve Diofantine është se nëse numri i variablave të përfshirë në një grup pabarazish është i madh, atëherë sistemi zakonisht ka një zgjidhje. Megjithatë, kjo është shumë e vështirë për t'u provuar për ndonjë rast të veçantë. Qasja e përgjithshme ndaj problemeve të këtij lloji përdor teorinë analitike të numrave dhe bazohet në vlerësimet për shumat trigonometrike. Kjo metodë fillimisht u aplikua për lloje të veçanta ekuacionesh.
Megjithatë, më vonë me ndihmën e saj u vërtetua se nëse forma e një shkalle tek është F, në ddhe n variabla dhe me koeficientë racionalë, atëherë n është mjaft e madhe në krahasim me d, kështu që hipersipërfaqja projektive F=0 ka një pikë racionale. Sipas hamendjes së Artinit, ky rezultat është i vërtetë edhe nëse n > d2. Kjo është vërtetuar vetëm për format kuadratike. Probleme të ngjashme mund të kërkohen edhe për fusha të tjera. Problemi qendror i gjeometrisë diofantine është struktura e grupit të pikave të plota ose racionale dhe studimi i tyre, dhe pyetja e parë që duhet sqaruar është nëse kjo bashkësi është e fundme. Në këtë problem, situata zakonisht ka një numër të kufizuar ekzekutimesh nëse shkalla e sistemit është shumë më e madhe se numri i variablave. Ky është supozimi bazë.
Pabarazitë në vija dhe kthesa
Grupi X(K) mund të përfaqësohet si një shumë e drejtpërdrejtë e një strukture të lirë të rangut r dhe një grupi të fundëm të rendit n. Që nga vitet 1930, është studiuar pyetja nëse këta numra janë të kufizuar në grupin e të gjitha kthesave eliptike mbi një fushë të caktuar K. Kufizimi i rrotullimit n u demonstrua në vitet shtatëdhjetë. Ekzistojnë kthesa të rangut të lartë arbitrar në rastin funksional. Në rastin numerik, ende nuk ka përgjigje për këtë pyetje.
Më në fund, hamendja e Mordell-it thotë se numri i pikave integrale është i fundëm për një kurbë të gjinisë g>1. Në rastin funksional, ky koncept u demonstrua nga Yu. I. Manin në 1963. Mjeti kryesor i përdorur në vërtetimin e teoremave të fundshmërisë në gjeometrinë diofantine është lartësia. Nga varietetet algjebrike, përmasat mbi një janë abelianemanifoldet, të cilat janë analoge shumëdimensionale të kthesave eliptike, kanë qenë më të studiuarat.
A. Weil e përgjithësoi teoremën mbi fundshmërinë e numrit të gjeneratorëve të një grupi pikash racionale në varietetet Abelian të çdo dimensioni (koncepti Mordell-Weil), duke e zgjeruar atë. Në vitet 1960, u shfaq hamendësimi i Birch dhe Swinnerton-Dyer, duke përmirësuar këtë dhe funksionet e grupit dhe zeta të manifoldit. Provat numerike e mbështesin këtë hipotezë.
Problemi i zgjidhshmërisë
Problemi i gjetjes së një algoritmi që mund të përdoret për të përcaktuar nëse ndonjë ekuacion i Diofantinës ka një zgjidhje. Një tipar thelbësor i problemit të shtruar është kërkimi i një metode universale që do të ishte e përshtatshme për çdo pabarazi. Një metodë e tillë do të lejonte edhe zgjidhjen e sistemeve të mësipërme, pasi është ekuivalente me P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ose p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problemi i gjetjes së një mënyre të tillë universale për të gjetur zgjidhje për pabarazitë lineare në numra të plotë u shtrua nga D. Gilbert.
Në fillim të viteve 1950, u shfaqën studimet e para që synonin të vërtetonin mosekzistencën e një algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve Diofantine. Në këtë kohë, u shfaq hamendësimi i Davis, i cili thoshte se çdo grup i numërueshëm i përket gjithashtu shkencëtarit grek. Sepse shembujt e grupeve të pazgjidhshme algoritmikisht janë të njohur, por janë të numërueshëm në mënyrë rekursive. Nga kjo rrjedh se hamendja e Davis është e vërtetë dhe problemi i zgjidhshmërisë së këtyre ekuacioneveka një ekzekutim negativ.
Pas kësaj, për hamendësimin e Davis-it, mbetet të vërtetohet se ekziston një metodë për transformimin e një pabarazie që gjithashtu (ose nuk ka) në të njëjtën kohë ka një zgjidhje. U tregua se një ndryshim i tillë i ekuacionit të Diofantinës është i mundur nëse ai ka dy vetitë e mësipërme: 1) në çdo zgjidhje të këtij lloji v ≦ uu; 2) për çdo k, ka një ekzekutim me rritje eksponenciale.
Një shembull i një ekuacioni linear Diophantine të kësaj klase plotësoi vërtetimin. Problemi i ekzistencës së një algoritmi për zgjidhshmërinë dhe njohjen e këtyre pabarazive në numrat racionalë konsiderohet ende një pyetje e rëndësishme dhe e hapur që nuk është studiuar mjaftueshëm.
