Për të përcaktuar paralelizmin dhe pingulitetin e planeve, si dhe për të llogaritur distancat midis këtyre objekteve gjeometrike, është i përshtatshëm të përdorni një ose një lloj tjetër funksionesh numerike. Për cilat probleme është i përshtatshëm përdorimi i ekuacionit të një plani në segmente? Në këtë artikull, ne do të shohim se çfarë është dhe si ta përdorim atë në detyra praktike.
Çfarë është një ekuacion në segmentet e linjës?
Një aeroplan mund të përcaktohet në hapësirën 3D në disa mënyra. Në këtë artikull, disa prej tyre do të jepen gjatë zgjidhjes së problemeve të llojeve të ndryshme. Këtu japim një përshkrim të detajuar të ekuacionit në segmente të rrafshit. Në përgjithësi ka formën e mëposhtme:
x/p + y/q + z/r=1.
Ku simbolet p, q, r tregojnë disa numra specifikë. Ky ekuacion mund të përkthehet lehtësisht në një shprehje të përgjithshme dhe në forma të tjera të funksioneve numerike për planin.
Lehtësia e shkrimit të ekuacionit në segmente qëndron në faktin se ai përmban koordinatat eksplicite të kryqëzimit të rrafshit me boshtet e koordinatave pingule. Në boshtin xnë lidhje me origjinën, rrafshi pret një segment me gjatësi p, në boshtin y - të barabartë me q, në z - me gjatësi r.
Nëse ndonjë nga tre variablat nuk përfshihet në ekuacion, atëherë kjo do të thotë që rrafshi nuk kalon nëpër boshtin përkatës (matematicienët thonë se ai kalon në pafundësi).
Më pas, këtu janë disa probleme në të cilat ne do të tregojmë se si të punojmë me këtë ekuacion.
Komunikimi i të përgjithshmes dhe në segmente të ekuacioneve
Dihet që avioni jepet nga barazia e mëposhtme:
2x - 3y + z - 6=0.
Është e nevojshme të shkruhet ky ekuacion i përgjithshëm i planit në segmente.
Kur lind një problem i ngjashëm, duhet të ndiqni këtë teknikë: ne e transferojmë termin e lirë në anën e djathtë të barazisë. Pastaj e ndajmë të gjithë ekuacionin me këtë term, duke u përpjekur ta shprehim atë në formën e dhënë në paragrafin e mëparshëm. Ne kemi:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Kemi marrë në segmente ekuacionin e rrafshit, të dhënë fillimisht në një formë të përgjithshme. Vërehet se rrafshi pret segmente me gjatësi 3, 2 dhe 6 për boshtet x, y dhe z, përkatësisht. Boshti y e pret rrafshin në zonën e koordinatave negative.
Kur hartoni një ekuacion në segmente, është e rëndësishme që të gjitha variablat të paraprihen nga një shenjë "+". Vetëm në këtë rast, numri me të cilin ndahet kjo ndryshore do të tregojë ndërprerjen e koordinatave në bosht.
Vektor normal dhe pika në plan
Dihet se një rrafsh ka vektor të drejtimit (3; 0; -1). Dihet gjithashtu se kalon nëpër pikën (1; 1; 1). Për këtë plan, shkruani një ekuacion në segmente.
Për të zgjidhur këtë problem, së pari duhet të përdorni formën e përgjithshme për këtë objekt gjeometrik dydimensional. Forma e përgjithshme shkruhet si:
Ax + By + Cz + D=0.
Tre koeficientët e parë këtu janë koordinatat e vektorit udhëzues, i cili është specifikuar në deklaratën e problemit, që është:
A=3;
B=0;
C=-1.
Mbetet për të gjetur termin e lirë D. Mund të përcaktohet me formulën e mëposhtme:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Ku vlerat e koordinatave me indeksin 1 korrespondojnë me koordinatat e një pike që i përket rrafshit. Ne zëvendësojmë vlerat e tyre nga gjendja e problemit, marrim:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Tani mund të shkruani ekuacionin e plotë:
3x - z - 2=0.
Teknika për shndërrimin e kësaj shprehje në një ekuacion në segmente të rrafshit është demonstruar tashmë më lart. Aplikojeni:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Përgjigja për problemin është marrë. Vini re se ky plan kryqëzon vetëm boshtet x dhe z. Për y është paralel.
Dy vija të drejta që përcaktojnë një plan
Nga kursi i gjeometrisë hapësinore, çdo student e di se dy linja arbitrare përcaktojnë në mënyrë unike një plan nëhapësirë tredimensionale. Le të zgjidhim një problem të ngjashëm.
Njihen dy ekuacione drejtëzash:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Është e nevojshme të shënohet ekuacioni i rrafshit në segmente, që kalon nëpër këto rreshta.
Meqenëse të dyja drejtëzat duhet të shtrihen në rrafsh, kjo do të thotë që vektorët e tyre (udhëzuesit) duhet të jenë pingul me vektorin (udhëzuesin) për rrafshin. Në të njëjtën kohë, dihet se produkti vektorial i dy segmenteve arbitrare të drejtuar jep rezultatin në formën e koordinatave të të tretit, pingul me dy ato origjinale. Duke pasur parasysh këtë veti, marrim koordinatat e një vektori normal në planin e dëshiruar:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Meqenëse mund të shumëzohet me një numër arbitrar, kjo formon një segment të ri të drejtuar paralel me atë origjinal, ne mund të zëvendësojmë shenjën e koordinatave të marra me të kundërtën (shumëzuar me -1), marrim:
(1; 2; 1).
Ne e dimë vektorin e drejtimit. Mbetet të marrim një pikë arbitrare të njërës prej vijave të drejta dhe të hartojmë ekuacionin e përgjithshëm të planit:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Duke e përkthyer këtë barazi në një shprehje në segmente, marrim:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Kështu, rrafshi kryqëzon të tre boshtet në rajonin pozitiv të sistemit të koordinatave.
Tre pikë dhe një aeroplan
Ashtu si dy vija të drejta, tre pika përcaktojnë një plan në mënyrë unike në hapësirën tredimensionale. Ekuacionin përkatës e shkruajmë në segmente nëse dihen koordinatat e mëposhtme të pikave të vendosura në rrafsh:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Le të bëjmë sa më poshtë: llogarisim koordinatat e dy vektorëve arbitrarë që lidhin këto pika, më pas gjejmë vektorin n¯ normal me rrafshin duke llogaritur prodhimin e segmenteve të gjetura të drejtuara. Ne marrim:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Merrni pikën P si shembull, hartoni ekuacionin e planit:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ose z=0.
Kemi marrë një shprehje të thjeshtë që korrespondon me rrafshin xy në sistemin e dhënë të koordinatave drejtkëndore. Nuk mund të shkruhet në segmente, pasi boshtet x dhe y i përkasin rrafshit, dhe gjatësia e segmentit të prerë në boshtin z është zero (pika (0; 0; 0) i përket rrafshit).
