Aftësia për të punuar me shprehje numerike që përmbajnë një rrënjë katrore është e nevojshme për zgjidhjen me sukses të një sërë problemesh nga OGE dhe USE. Në këto provime, zakonisht mjafton të kuptuarit bazë të asaj se çfarë është nxjerrja e rrënjës dhe si bëhet në praktikë.
Përkufizim
Rrënja n e një numri X është një numër x për të cilin barazia është e vërtetë: xn =X.
Të gjesh vlerën e një shprehjeje me rrënjë do të thotë të gjesh x të dhëna X dhe n.
Rrënja katrore ose, që është e njëjtë, rrënja e dytë e X - numri x për të cilin plotësohet barazia: x2 =X.
Përcaktimi: ∛Х. Këtu 3 është shkalla e rrënjës, X është shprehja e rrënjës. Shenja '√' shpesh quhet radikale.
Nëse numri mbi rrënjë nuk tregon shkallën, atëherë parazgjedhja është shkalla 2.
Në një kurs shkollor edhe për diploma, rrënjët negative dhe shprehjet radikale zakonisht nuk merren parasysh. Për shembull, nuk ka√-2, dhe për shprehjen √4, përgjigja e saktë është 2, pavarësisht se (-2)2 është gjithashtu e barabartë me 4.
Racionaliteti dhe irracionaliteti i rrënjëve
Detyra më e thjeshtë e mundshme me një rrënjë është të gjesh vlerën e një shprehjeje ose ta testosh atë për racionalitet.
Për shembull, llogaritni vlerat √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 sepse 52 =25;
- ∛8=2 sepse 23 =8;
- ∛ - 125=-5 që nga (-5)3 =-125.
Përgjigjet në shembujt e dhënë janë numra racional.
Kur punoni me shprehje që nuk përmbajnë konstante dhe ndryshore literale, rekomandohet që gjithmonë të kryeni një kontroll të tillë duke përdorur funksionin e kundërt të ngritjes në një fuqi natyrore. Gjetja e numrit x në fuqinë e n-të është ekuivalente me llogaritjen e prodhimit të n faktorëve të x.
Ka shumë shprehje me rrënjë, vlera e të cilave është irracionale, pra e shkruar si një thyesë e pafundme jo periodike.
Sipas përkufizimit, racionalët janë ato që mund të shprehen si një thyesë e zakonshme, dhe irracionalët janë të gjithë numrat e tjerë realë.
Këto përfshijnë √24, √0, 1, √101.
Nëse libri i problemave thotë: gjeni vlerën e shprehjes me rrënjë 2, 3, 5, 6, 7, etj., domethënë nga ata numra natyrorë që nuk përfshihen në tabelën e katrorëve., atëherë përgjigjja e saktë është √ 2 mund të jetë e pranishme (përveç nëse përcaktohet ndryshe).
Vlerësimi
Në probleme menjë përgjigje e hapur, nëse është e pamundur të gjesh vlerën e një shprehjeje me rrënjë dhe ta shkruajmë atë si një numër racional, rezultati duhet të lihet si një radikal.
Disa detyra mund të kërkojnë vlerësim. Për shembull, krahasoni 6 dhe √37. Zgjidhja kërkon katrorin e të dy numrave dhe krahasimin e rezultateve. Nga dy numra, ai katrori i të cilit është më i madh është më i madh. Ky rregull funksionon për të gjithë numrat pozitivë:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- do të thotë √37 > 6.
Në të njëjtën mënyrë, zgjidhen problemet në të cilat disa numra duhet të renditen në rend rritës ose zbritës.
Shembull: rendit 5, √6, √48, √√64 në rend rritës.
Pas katrorit, kemi: 25, 6, 48, √64. Dikush mund të katrorë të gjithë numrat përsëri për t'i krahasuar me √64, por ai është i barabartë me numrin racional 8. 6 < 8 < 25 < 48, kështu që zgjidhja është: 48.
Thjeshtimi i shprehjes
Ndodh që është e pamundur të gjendet vlera e një shprehjeje me rrënjë, ndaj duhet thjeshtuar. Formula e mëposhtme ndihmon për këtë:
√ab=√a√b.
Rrënja e prodhimit të dy numrave është e barabartë me prodhimin e rrënjëve të tyre. Ky operacion do të kërkojë gjithashtu aftësinë për të faktorizuar një numër.
Në fazën fillestare, për të përshpejtuar punën, rekomandohet të keni në dorë një tabelë me numra të thjeshtë dhe katrorë. Këto tavolina me të shpeshtapërdorimi në të ardhmen do të mbahet mend.
Për shembull, √242 është një numër irracional, ju mund ta konvertoni atë si kjo:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Zakonisht rezultati shkruhet si 11√2 (lexo: njëmbëdhjetë rrënjë nga dy).
Nëse është e vështirë të kuptosh menjëherë se në cilët dy faktorë duhet të zbërthehet një numër në mënyrë që të mund të nxirret një rrënjë natyrore nga njëri prej tyre, mund të përdorësh zbërthimin e plotë në faktorët kryesorë. Nëse i njëjti numër i thjeshtë ndodh dy herë në zgjerim, ai hiqet nga shenja e rrënjës. Kur ka shumë faktorë, mund ta nxirrni rrënjën në disa hapa.
Shembull: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Numri 2 ndodh në zgjerim 2 herë (në fakt, më shumë se dy herë, por ne jemi ende të interesuar për dy dukuritë e para në zgjerim).
E heqim nga nën shenjën e rrënjës:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 √(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Përsërit të njëjtin veprim:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2 √(2 × 3 × 5 × 5).
Në shprehjen radikale të mbetur, 2 dhe 3 ndodhin një herë, kështu që mbetet për të hequr faktorin 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
dhe kryej veprime aritmetike:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Pra, marrim √2400=20√6.
Nëse detyra nuk thotë në mënyrë eksplicite: "gjeni vlerën e shprehjes me një rrënjë katrore", atëherë zgjedhja,në çfarë forme të lihet përgjigja (nëse do të nxirret rrënjë nga poshtë radikalit) i mbetet studentit dhe mund të varet nga problemi që zgjidhet.
Në fillim vendosen kërkesa të larta për hartimin e detyrave, llogaritjen, duke përfshirë me gojë ose me shkrim, pa përdorimin e mjeteve teknike.
Vetëm pas një zotërimi të mirë të rregullave për të punuar me shprehje numerike irracionale, ka kuptim të kalojmë në shprehje më të vështira fjalë për fjalë dhe në zgjidhjen e ekuacioneve irracionale dhe llogaritjen e gamës së vlerave të mundshme të shprehjes nën radikal.
Studentët e hasin këtë lloj problemi në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, si dhe në vitin e parë të universiteteve të specializuara kur studiojnë analizën matematikore dhe disiplinat përkatëse.
