Studimi i funksioneve dhe grafikëve të tyre është një temë që i kushtohet vëmendje e veçantë në kuadër të kurrikulës së shkollës së mesme. Disa baza të analizës matematikore - diferencimi - përfshihen në nivelin e profilit të provimit në matematikë. Disa nxënës kanë probleme me këtë temë, pasi ngatërrojnë grafikët e funksionit dhe derivatit, si dhe harrojnë algoritmet. Ky artikull do të trajtojë llojet kryesore të detyrave dhe si t'i zgjidhni ato.
Cila është vlera e funksionit?
Një funksion matematikor është një ekuacion special. Ajo vendos një marrëdhënie midis numrave. Funksioni varet nga vlera e argumentit.
Vlera e funksionit llogaritet sipas formulës së dhënë. Për ta bërë këtë, zëvendësoni çdo argument që korrespondon me gamën e vlerave të vlefshme në këtë formulë në vend të x dhe kryeni veprimet e nevojshme matematikore. Çfarë?
Si mund ta gjeni vlerën më të vogël të një funksioni,duke përdorur një funksion grafik?
Parafaqja grafike e varësisë së një funksioni nga një argument quhet grafik funksioni. Ai ndërtohet në një plan me një segment të caktuar njësi, ku vlera e një ndryshoreje ose argumenti vizatohet përgjatë boshtit horizontal të abshisës dhe vlera e funksionit përkatës përgjatë boshtit vertikal të ordinatës.
Sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më në të djathtë ai shtrihet në grafik. Dhe sa më e madhe të jetë vlera e vetë funksionit, aq më e lartë është pika.
Çfarë thotë kjo? Vlera më e vogël e funksionit do të jetë pika më e ulët në grafik. Për ta gjetur atë në një segment grafiku, ju duhet:
1) Gjeni dhe shënoni skajet e këtij segmenti.
2) Përcaktoni vizualisht se cila pikë në këtë segment është më e ulëta.
3) Si përgjigje, shkruani vlerën e saj numerike, e cila mund të përcaktohet duke projektuar një pikë në boshtin y.
Pikat ekstreme në grafikun e derivateve. Ku të shikoni?
Megjithatë, gjatë zgjidhjes së problemeve, ndonjëherë një grafik nuk jepet i një funksioni, por i derivatit të tij. Në mënyrë që të mos bëni aksidentalisht një gabim budalla, është më mirë të lexoni me kujdes kushtet, pasi varet se ku duhet të kërkoni pikat ekstreme.
Pra, derivati është shpejtësia e menjëhershme e rritjes së funksionit. Sipas përkufizimit gjeometrik, derivati korrespondon me pjerrësinë e tangjentes, e cila është tërhequr drejtpërdrejt në pikën e dhënë.
Dihet se në pikat ekstreme tangjentja është paralele me boshtin Ox. Kjo do të thotë se pjerrësia e saj është 0.
Nga kjo mund të konkludojmë se në pikat ekstreme derivati qëndron në boshtin x ose zhduket. Por përveç kësaj, në këto pika, funksioni ndryshon drejtimin e tij. Kjo do të thotë, pas një periudhe rritjeje, ajo fillon të ulet, dhe derivati, në përputhje me rrethanat, ndryshon nga pozitive në negative. Ose anasjelltas.
Nëse derivati bëhet negativ nga pozitiv, kjo është pika maksimale. Nëse nga negative bëhet pozitive - pika minimale.
E rëndësishme: nëse duhet të specifikoni një pikë minimale ose maksimale në detyrë, atëherë si përgjigje duhet të shkruani vlerën përkatëse përgjatë boshtit të abshisës. Por nëse ju duhet të gjeni vlerën e funksionit, atëherë së pari duhet të zëvendësoni vlerën përkatëse të argumentit në funksion dhe ta llogarisni atë.
Si të gjeni pikat ekstreme duke përdorur derivatin?
Shembujt e konsideruar kryesisht i referohen detyrës numër 7 të provimit, e cila përfshin punën me një grafik të një derivati ose një antiderivativ. Por detyra 12 e USE - për të gjetur vlerën më të vogël të një funksioni në një segment (ndonjëherë më të madhin) - kryhet pa asnjë vizatim dhe kërkon aftësi bazë në analizën matematikore.
Për ta kryer atë, duhet të jeni në gjendje të gjeni pikat ekstreme duke përdorur derivatin. Algoritmi për gjetjen e tyre është si më poshtë:
- Gjeni derivatin e një funksioni.
- Vendoseni në zero.
- Gjeni rrënjët e ekuacionit.
- Kontrollo nëse pikat e marra janë pika ekstreme ose lakimi.
Për ta bërë këtë, vizatoni një diagram dhe vazhdoniintervalet që rezultojnë përcaktojnë shenjat e derivatit duke zëvendësuar numrat që u përkasin segmenteve në derivat. Nëse, gjatë zgjidhjes së ekuacionit, keni rrënjët e shumëfishimit të dyfishtë, këto janë pika lakimi.
Duke zbatuar teorema, përcaktoni cilat pika janë minimale dhe cilat janë maksimale
Llogaritni vlerën më të vogël të një funksioni duke përdorur një derivat
Megjithatë, pasi kemi kryer të gjitha këto veprime, do të gjejmë vlerat e pikave minimale dhe maksimale përgjatë boshtit x. Por si të gjejmë vlerën më të vogël të një funksioni në një segment?
Çfarë duhet bërë për të gjetur numrin që korrespondon me funksionin në një pikë të caktuar? Ju duhet të zëvendësoni vlerën e argumentit në këtë formulë.
Pikat minimale dhe maksimale korrespondojnë me vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit në segment. Pra, për të gjetur vlerën e funksionit, duhet të llogarisni funksionin duke përdorur vlerat e marra x.
E rëndësishme! Nëse detyra kërkon që ju të specifikoni një pikë minimale ose maksimale, atëherë si përgjigje duhet të shkruani vlerën përkatëse përgjatë boshtit x. Por nëse ju duhet të gjeni vlerën e funksionit, atëherë së pari duhet të zëvendësoni vlerën përkatëse të argumentit në funksion dhe të kryeni veprimet e nevojshme matematikore.
Çfarë duhet të bëj nëse nuk ka ulje në këtë segment?
Por si të gjesh vlerën më të vogël të një funksioni në një segment pa pikë ekstreme?
Kjo do të thotë që funksioni zvogëlohet ose rritet në mënyrë monotone mbi të. Pastaj ju duhet të zëvendësoni vlerën e pikave ekstreme të këtij segmenti në funksion. Ka dy mënyra.
1) Duke llogariturderivati dhe intervalet në të cilat është pozitiv ose negativ, për të konkluduar nëse funksioni është në rënie apo në rritje në një segment të caktuar.
Në përputhje me to, zëvendësoni një vlerë më të madhe ose më të vogël të argumentit në funksion.
2) Thjesht zëvendësoni të dyja pikat në funksion dhe krahasoni vlerat e funksionit që rezultojnë.
Në cilat detyra gjetja e derivatit është opsionale
Si rregull, në detyrat USE, ju ende duhet të gjeni derivatin. Ka vetëm disa përjashtime.
1) Parabola.
Kalja e parabolës gjendet me formulën.
Nëse është < 0, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë. Dhe kulmi i saj është pika maksimale.
Nëse një > 0, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, kulmi është pika minimale.
Pasi llogaritni pikën kulmore të parabolës, duhet ta zëvendësoni vlerën e saj në funksion dhe të llogarisni vlerën përkatëse të funksionit.
2) Funksioni y=tg x. Ose y=ctg x.
Këto funksione po rriten në mënyrë monotone. Prandaj, sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më e madhe është vlera e vetë funksionit. Më pas, do të shikojmë se si të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni në një segment me shembuj.
Llojet kryesore të detyrave
Detyrë: vlera më e madhe ose më e vogël e funksionit. Shembull në grafik.
Në foto shihni grafikun e derivatit të funksionit f (x) në intervalin [-6; 6]. Në cilën pikë të segmentit [-3; 3] f(x) merr vlerën më të vogël?
Pra, për fillestarët, duhet të zgjidhni segmentin e specifikuar. Në të, funksioni dikur merr një vlerë zero dhe ndryshon shenjën e tij - kjo është pika ekstreme. Meqenëse derivati nga negativ bëhet pozitiv, do të thotë se kjo është pika minimale e funksionit. Kjo pikë korrespondon me vlerën e argumentit 2.
Përgjigje: 2.
Vazhdo të shikosh shembuj. Detyrë: gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në segment.
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y=(x - 8) ex-7 në intervalin [6; 8].
1. Merrni derivatin e një funksioni kompleks.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Barazoni derivatin që rezulton me zero dhe zgjidhni ekuacionin.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ose ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, pa rrënjë
3. Zëvendësoni vlerën e pikave ekstreme në funksion, si dhe rrënjët e fituara të ekuacionit.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Përgjigje: -1.
Pra, në këtë artikull, u konsiderua teoria kryesore se si të gjesh vlerën më të vogël të një funksioni në një segment, i cili është i nevojshëm për zgjidhjen me sukses të detyrave USE në matematikë të specializuar. Gjithashtu elemente të matematikësanalizat përdoren gjatë zgjidhjes së detyrave nga pjesa C e provimit, por padyshim që ato përfaqësojnë një nivel të ndryshëm kompleksiteti dhe algoritmet për zgjidhjet e tyre janë të vështira për t'u përshtatur në kuadrin e një materiali.
