Funksioni dhe studimi i veçorive të tij është një nga kapitujt kryesorë në matematikën moderne. Komponenti kryesor i çdo funksioni janë grafikët që përshkruajnë jo vetëm vetitë e tij, por edhe parametrat e derivatit të këtij funksioni. Le të hedhim një vështrim në këtë temë të ndërlikuar. Pra, cila është mënyra më e mirë për të gjetur pikat maksimale dhe minimale të një funksioni?
Funksioni: Përkufizim
Çdo variabël që varet në një farë mënyre nga vlerat e një vlere tjetër mund të quhet funksion. Për shembull, funksioni f(x2) është kuadratik dhe përcakton vlerat për të gjithë grupin x. Le të themi se x=9, atëherë vlera e funksionit tonë do të jetë e barabartë me 92=81.
Funksionet vijnë në shumë lloje të ndryshme: logjike, vektoriale, logaritmike, trigonometrike, numerike dhe të tjera. Mendje të tilla të shquara si Lacroix, Lagrange, Leibniz dhe Bernoulli ishin të angazhuar në studimin e tyre. Shkrimet e tyre shërbejnë si një mburojë në mënyrat moderne të studimit të funksioneve. Përpara se të gjeni pikat minimale, është shumë e rëndësishme të kuptoni vetë kuptimin e funksionit dhe derivatin e tij.
Derivati dhe roli i tij
Të gjitha funksionet janë nënë varësi të vlerave të tyre të ndryshueshme, që do të thotë se ata mund të ndryshojnë vlerën e tyre në çdo kohë. Në grafik, kjo do të përshkruhet si një kurbë që ose zbret ose ngrihet përgjatë boshtit y (ky është i gjithë grupi i numrave "y" përgjatë vertikalës së grafikut). Dhe kështu përcaktimi i një pike të një maksimumi dhe një minimumi funksioni është i lidhur vetëm me këto "lëkundje". Le të shpjegojmë se çfarë është kjo marrëdhënie.
Derivati i çdo funksioni vizatohet në një grafik për të studiuar karakteristikat kryesore të tij dhe për të llogaritur se sa shpejt ndryshon funksioni (dmth ndryshon vlerën e tij në varësi të ndryshores "x"). Në momentin kur funksioni rritet, do të rritet edhe grafiku i derivatit të tij, por në çdo sekondë funksioni mund të fillojë të zvogëlohet dhe pastaj grafiku i derivatit do të zvogëlohet. Ato pika në të cilat derivati shkon nga minus në plus quhen pika minimale. Për të ditur se si të gjeni pikët minimale, duhet të kuptoni më mirë konceptin e derivatit.
Si të llogaritet derivati?
Përcaktimi dhe llogaritja e derivatit të një funksioni nënkupton disa koncepte nga llogaritja diferenciale. Në përgjithësi, vetë përkufizimi i derivatit mund të shprehet si më poshtë: kjo është vlera që tregon shkallën e ndryshimit të funksionit.
Mënyra matematikore për ta përcaktuar atë për shumë studentë duket e ndërlikuar, por në fakt gjithçka është shumë më e thjeshtë. Ju vetëm duhet të ndiqniplan standard për gjetjen e derivatit të çdo funksioni. Më poshtë përshkruan se si mund të gjeni pikën minimale të një funksioni pa zbatuar rregullat e diferencimit dhe pa memorizuar tabelën e derivateve.
- Mund të llogaritni derivatin e një funksioni duke përdorur një grafik. Për ta bërë këtë, duhet të përshkruani vetë funksionin, më pas të merrni një pikë mbi të (pika A në Fig.) Vizatoni një vijë vertikalisht poshtë në boshtin e abshisës (pika x0) dhe në pikën A vizatoni një grafik tangjente me funksionin. Boshti i abshisave dhe tangjentja formojnë një kënd a. Për të llogaritur vlerën se sa shpejt rritet funksioni, duhet të llogarisni tangjentën e këtij këndi a.
- Rezulton se tangjentja e këndit ndërmjet tangjentes dhe drejtimit të boshtit x është derivati i funksionit në një zonë të vogël me pikën A. Kjo metodë konsiderohet një mënyrë gjeometrike për të përcaktuar derivatin.
Metodat e kërkimit të një funksioni
Në kurrikulën shkollore të matematikës, është e mundur të gjendet pika minimale e një funksioni në dy mënyra. Ne kemi analizuar tashmë metodën e parë duke përdorur grafikun, por si të përcaktohet vlera numerike e derivatit? Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të mësoni disa formula që përshkruajnë vetitë e derivatit dhe ndihmojnë në konvertimin e variablave si "x" në numra. Metoda e mëposhtme është universale, kështu që mund të zbatohet për pothuajse të gjitha llojet e funksioneve (si gjeometrike ashtu edhe logaritmike).
- Është e nevojshme të barazohet funksioni me funksionin derivat, dhe më pas të thjeshtohet shprehja duke përdorur rregullatdiferencimi.
- pjesëto me zero).
- Pas kësaj, duhet ta konvertoni formën origjinale të funksionit në një ekuacion të thjeshtë, duke e barazuar të gjithë shprehjen me zero. Për shembull, nëse funksioni dukej kështu: f(x)=2x3+38x, atëherë sipas rregullave të diferencimit, derivati i tij është i barabartë me f'(x)=3x 2 +1. Pastaj e transformojmë këtë shprehje në një ekuacion të formës së mëposhtme: 3x2+1=0.
- Pasi të zgjidhni ekuacionin dhe të gjeni pikat "x", duhet t'i vizatoni ato në boshtin x dhe të përcaktoni nëse derivati në këto zona midis pikave të shënuara është pozitiv apo negativ. Pas përcaktimit, do të bëhet e qartë se në cilën pikë funksioni fillon të ulet, domethënë ndryshon shenjën nga minus në të kundërtën. Në këtë mënyrë ju mund të gjeni pikët minimale dhe maksimale.
Rregullat e diferencimit
Pjesa më themelore e të mësuarit të një funksioni dhe derivatit të tij është njohja e rregullave të diferencimit. Vetëm me ndihmën e tyre është e mundur të transformohen shprehje të rënda dhe funksione të mëdha komplekse. Le të njihemi me to, ka mjaft prej tyre, por të gjitha janë shumë të thjeshta për shkak të vetive të rregullta të funksioneve të fuqisë dhe logaritmike.
- Derivati i çdo konstante është zero (f(x)=0). Kjo do të thotë, derivati f(x)=x5+ x - 160 do të marrë formën e mëposhtme: f' (x)=5x4+1.
- Derivati i shumës së dy termave: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivat i një funksioni logaritmik: (logad)'=d/ln ad. Kjo formulë vlen për të gjitha llojet e logaritmeve.
- Derivati i shkallës: (x)'=nxn-1. Për shembull, (9x2)'=92x=18x.
- Derivat i një funksioni sinusoidal: (sin a)'=cos a. Nëse mëkati i këndit a është 0,5, atëherë derivati i tij është √3/2.
Pikë ekstreme
Ne kemi kuptuar tashmë se si të gjejmë pikat minimale, megjithatë, ekziston koncepti i pikëve maksimale të një funksioni. Nëse minimumi tregon ato pika në të cilat funksioni shkon nga minus në plus, atëherë pikat maksimale janë ato pika në boshtin x në të cilat derivati i funksionit ndryshon nga plus në të kundërtën - minus.
Pikët maksimale mund t'i gjeni duke përdorur metodën e përshkruar më sipër, vetëm duhet të merret parasysh se ato tregojnë ato zona ku funksioni fillon të ulet, domethënë, derivati do të jetë më i vogël se zero.
Në matematikë, është zakon të përgjithësohen të dy konceptet, duke i zëvendësuar ato me shprehjen "pikat ekstreme". Kur detyra kërkon të përcaktohen këto pika, kjo do të thotë se është e nevojshme të llogaritet derivati i këtij funksioni dhe të gjenden pikët minimale dhe maksimale.
