Edhe në shkollë, të gjithë nxënësit njihen me konceptin e "gjeometrisë Euklidiane", dispozitat kryesore të së cilës përqendrohen rreth disa aksiomave të bazuara në elemente të tilla gjeometrike si pika, rrafshi, vija, lëvizja. Të gjitha së bashku formojnë atë që është njohur prej kohësh nën termin "hapësirë Euklidiane".
Hapësira Euklidiane, përkufizimi i së cilës bazohet në konceptin e shumëzimit skalar të vektorëve, është një rast i veçantë i një hapësire lineare (afine) që plotëson një sërë kërkesash. Së pari, produkti skalar i vektorëve është absolutisht simetrik, domethënë, vektori me koordinata (x;y) është sasiorisht identik me vektorin me koordinata (y;x), por i kundërt në drejtim.
Së dyti, nëse produkti skalar i një vektori me vetveten kryhet, atëherë rezultati i këtij veprimi do të jetë pozitiv. Përjashtimi i vetëm do të jetë rasti kur koordinatat fillestare dhe përfundimtare të këtij vektori janë të barabarta me zero: në këtë rast edhe prodhimi i tij me vetveten do të jetë i barabartë me zero.
Së treti, produkti skalar është shpërndarës, domethënë është e mundur të zbërthehet një nga koordinatat e tij në shumën e dy vlerave, gjë që nuk do të sjellë ndonjë ndryshim në rezultatin përfundimtar të shumëzimit skalar të vektorëve. Së fundi, së katërti, kur vektorët shumëzohen me të njëjtin numër real, produkti i tyre skalar do të rritet gjithashtu me të njëjtin faktor.
Nëse plotësohen të gjitha këto katër kushte, mund të themi me besim se kemi një hapësirë Euklidiane.
Hapësira Euklidiane nga pikëpamja praktike mund të karakterizohet nga shembujt e mëposhtëm specifik:
- Rasti më i thjeshtë është prania e një grupi vektorësh me një produkt skalar të përcaktuar sipas ligjeve bazë të gjeometrisë.
- Hapësira Euklidiane do të fitohet gjithashtu nëse me vektorë nënkuptojmë një grup të caktuar të fundëm numrash realë me një formulë të dhënë që përshkruan shumën ose produktin e tyre skalar.
- Një rast i veçantë i hapësirës Euklidiane është e ashtuquajtura hapësira zero, e cila fitohet nëse gjatësia skalare e të dy vektorëve është e barabartë me zero.
Hapësira Euklidiane ka një sërë veçorish specifike. Së pari, faktori skalar mund të hiqet nga kllapat si nga faktori i parë ashtu edhe nga faktori i dytë i produktit skalar, rezultati nga kjo nuk do të ndryshojë në asnjë mënyrë. Së dyti, së bashku me shpërndarjen e elementit të parë të skalaritprodukti, vepron edhe distributiviteti i elementit të dytë. Përveç kësaj, përveç shumës skalare të vektorëve, shpërndarja ndodh edhe në rastin e zbritjes vektoriale. Së fundi, së treti, kur një vektor shumëzohet në mënyrë shkallëzuese me zero, rezultati do të jetë gjithashtu zero.
Kështu, hapësira Euklidiane është koncepti gjeometrik më i rëndësishëm i përdorur në zgjidhjen e problemeve me rregullimin e ndërsjellë të vektorëve në lidhje me njëri-tjetrin, i cili karakterizohet nga një koncept i tillë si produkti skalar.
