Pytagora argumentoi se numri qëndron në themel të botës së bashku me elementët bazë. Platoni besonte se numri lidh fenomenin dhe noumenon, duke ndihmuar në njohjen, matjen dhe nxjerrjen e përfundimeve. Aritmetika vjen nga fjala "arithmos" - një numër, fillimi i fillimeve në matematikë. Mund të përshkruajë çdo objekt - nga një mollë elementare deri te hapësirat abstrakte.
Nevojat si faktor zhvillimi
Në fazat e hershme të formimit të shoqërisë, nevojat e njerëzve kufizoheshin në nevojën për të mbajtur numërimin - një thes me drithë, dy thasë me drithë, etj. Për këtë mjaftonin numrat natyrorë, grupi i të cilëve është një sekuencë pozitive e pafundme e numrave të plotë N.
Më vonë, me zhvillimin e matematikës si shkencë, lindi nevoja për një fushë të veçantë të numrave të plotë Z - përfshin vlera negative dhe zero. Shfaqja e saj në nivel familjar u provokua nga fakti se në kontabilitetin parësor ishte e nevojshme të rregullohej disiborxhet dhe humbjet. Në nivel shkencor, numrat negativë kanë bërë të mundur zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare. Ndër të tjera, imazhi i një sistemi koordinativ të parëndësishëm tani është bërë i mundur, pasi është shfaqur një pikë referimi.
Hapi tjetër ishte nevoja për të futur numra thyesorë, pasi shkenca nuk qëndronte ende, gjithnjë e më shumë zbulime kërkonin një bazë teorike për një shtysë të re rritjeje. Kështu u shfaq fusha e numrave racionalë Q.
Më në fund, racionaliteti pushoi së kënaquri kërkesat, sepse të gjitha përfundimet e reja kërkonin justifikim. U shfaq fusha e numrave realë R, veprat e Euklidit mbi pamatshmërinë e sasive të caktuara për shkak të irracionalitetit të tyre. Kjo do të thotë, matematikanët e lashtë grekë e pozicionuan numrin jo vetëm si një konstante, por edhe si një sasi abstrakte, e cila karakterizohet nga raporti i sasive të pakrahasueshme. Për shkak të faktit se numrat realë u shfaqën, sasi të tilla si "pi" dhe "e" "panë dritën", pa të cilat matematika moderne nuk mund të zhvillohej.
Inovacioni përfundimtar ishte numri kompleks C. Ai iu përgjigj një sërë pyetjesh dhe hodhi poshtë postulatet e paraqitura më parë. Për shkak të zhvillimit të shpejtë të algjebrës, rezultati ishte i parashikueshëm - duke pasur numra realë, zgjidhja e shumë problemeve ishte e pamundur. Për shembull, falë numrave kompleksë, teoria e vargjeve dhe kaosit u dallua dhe ekuacionet e hidrodinamikës u zgjeruan.
Teoria e grupeve. Kantor
Koncepti i pafundësisë në çdo kohëshkaktoi polemika, pasi nuk mund të provohej dhe as të hidhej poshtë. Në kontekstin e matematikës, e cila funksiononte me postulate të verifikuara rreptësisht, kjo u shfaq më qartë, veçanërisht pasi aspekti teologjik kishte ende peshë në shkencë.
Megjithatë, falë punës së matematikanit Georg Kantor, gjithçka ra në vend me kalimin e kohës. Ai vërtetoi se ka një numër të pafund grupesh të pafundme dhe se fusha R është më e madhe se fusha N, edhe nëse të dyja nuk kanë fund. Në mesin e shekullit të 19-të, idetë e tij u quajtën me zë të lartë të pakuptimta dhe një krim kundër kanuneve klasike, të palëkundshme, por koha vendosi gjithçka në vendin e vet.
Vetitë themelore të fushës R
Numrat real kanë jo vetëm të njëjtat veti si nëngrupet që përfshihen në to, por plotësohen edhe nga të tjera për shkak të shkallës së elementeve të tyre:
- Zero ekziston dhe i përket fushës R. c + 0=c për çdo c nga R.
- Zero ekziston dhe i përket fushës R. c x 0=0 për çdo c nga R.
- Lidhja c: d për d ≠ 0 ekziston dhe është e vlefshme për çdo c, d nga R.
- Fusha R është e renditur, domethënë, nëse c ≦ d, d ≦ c, atëherë c=d për çdo c, d nga R.
- Shtesa në fushën R është komutative, d.m.th. c + d=d + c për çdo c, d nga R.
- Shumëzimi në fushën R është komutativ, d.m.th. c x d=d x c për çdo c, d nga R.
- Shtesa në fushën R është asociative, d.m.th. (c + d) + f=c + (d + f) për çdo c, d, f nga R.
- Shumëzimi në fushën R është shoqërues, d.m.th. (c x d) x f=c x (d x f) për çdo c, d, f nga R.
- Për çdo numër në fushën R, ka një të kundërt, e tillë që c + (-c)=0, ku c, -c është nga R.
- Për çdo numër nga fusha R është e kundërta e tij, e tillë që c x c-1 =1, ku c, c-1 nga R.
- Njësia ekziston dhe i përket R, kështu që c x 1=c, për çdo c nga R.
- Ligji i shpërndarjes është i vlefshëm, kështu që c x (d + f)=c x d + c x f, për çdo c, d, f nga R.
- Në fushën R, zero nuk është e barabartë me një.
- Fusha R është kalimtare: nëse c ≦ d, d ≦ f, atëherë c ≦ f për çdo c, d, f nga R.
- Në fushën R, rendi dhe mbledhja janë të lidhura: nëse c ≦ d, atëherë c + f ≦ d + f për çdo c, d, f nga R.
- Në fushën R, rendi dhe shumëzimi janë të lidhura: nëse 0 ≦ c, 0 ≦ d, atëherë 0 ≦ c x d për çdo c, d nga R.
- Të dy numrat realë negativë dhe pozitivë janë të vazhdueshëm, domethënë, për çdo c, d nga R, ekziston një f nga R e tillë që c ≦ f ≦ d.
Modul në fushën R
Numrat real përfshijnë modulin.
Shënohet si |f| për çdo f nga R. |f|=f nëse 0 ≦ f dhe |f|=-f nëse 0 > f. Nëse e konsiderojmë modulin si një sasi gjeometrike, atëherë është distanca e përshkuar - nuk ka rëndësi nëse keni "kaluar" zero në minus ose përpara në plus.
Numra kompleks dhe real. Cilat janë ngjashmëritë dhe cilat janë ndryshimet?
Në masë të madhe, numrat kompleksë dhe realë janë një dhe i njëjtë, përveç kësajnjësia imagjinare i, katrori i së cilës është -1. Elementet e fushave R dhe C mund të përfaqësohen si formula e mëposhtme:
c=d + f x i, ku d, f i përkasin fushës R dhe i është njësia imagjinare
Për të marrë c nga R në këtë rast, f vendoset thjesht e barabartë me zero, domethënë, mbetet vetëm pjesa reale e numrit. Për shkak të faktit se fusha e numrave kompleks ka të njëjtin grup vetish si fusha e numrave realë, f x i=0 nëse f=0.
Për sa i përket dallimeve praktike, për shembull, në fushën R, ekuacioni kuadratik nuk zgjidhet nëse diskriminuesi është negativ, ndërsa fusha C nuk vendos një kufizim të tillë për shkak të futjes së njësisë imagjinare i.
Rezultat
"Tullat" e aksiomave dhe postulateve mbi të cilat bazohet matematika nuk ndryshojnë. Për shkak të rritjes së informacionit dhe futjes së teorive të reja, disa prej tyre vendosen "tullat" e mëposhtme, të cilat në të ardhmen mund të bëhen bazë për hapin e ardhshëm. Për shembull, numrat natyrorë, përkundër faktit se janë një nëngrup i fushës reale R, nuk e humbasin rëndësinë e tyre. Mbi to bazohet e gjithë aritmetika elementare, me të cilën fillon njohja njerëzore për botën.
Nga pikëpamja praktike, numrat realë duken si një vijë e drejtë. Në të mund të zgjidhni drejtimin, të caktoni origjinën dhe hapin. Një vijë e drejtë përbëhet nga një numër i pafund pikash, secila prej të cilave korrespondon me një numër të vetëm real, pavarësisht nëse është racional apo jo. Nga përshkrimi del qartë se bëhet fjalë për një koncept mbi të cilin ndërtohet edhe matematika në përgjithësi, edhe analiza matematikore në përgjithësi.i veçantë.
