Matricat: Metoda e Gausit. Llogaritja e matricës së Gausit: Shembuj

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Algjebra lineare, e cila mësohet në universitete në specialitete të ndryshme, ndërthur shumë tema komplekse. Disa prej tyre lidhen me matricat, si dhe me zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodat Gauss dhe Gauss-Jordan. Jo të gjithë nxënësit arrijnë të kuptojnë këto tema, algoritme për zgjidhjen e problemeve të ndryshme. Le të kuptojmë së bashku matricat dhe metodat e Gauss dhe Gauss-Jordan.

Konceptet themelore

Një matricë në algjebër lineare është një grup elementesh drejtkëndëshe (tabela). Më poshtë janë grupet e elementeve të mbyllura në kllapa. Këto janë matrica. Nga shembulli i mësipërm, mund të shihet se elementët në vargjet drejtkëndore nuk janë vetëm numra. Matrica mund të përbëhet nga funksione matematikore, simbole algjebrike.

Për të kuptuar disa koncepte, le të bëjmë një matricë A nga elementet a_ij. Indekset nuk janë vetëm shkronja: i është numri i rreshtit në tabelë dhe j është numri i kolonës, në zonën e kryqëzimit të së cilës ndodhet elementia_ij. Pra, shohim se kemi një matricë elementësh të tillë si a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ dhe kështu me radhë Shkronja n tregon numrin e kolonave dhe shkronja m tregon numrin e rreshtave. Simboli m × n tregon dimensionin e matricës. Ky është koncepti që përcakton numrin e rreshtave dhe kolonave në një grup elementesh drejtkëndëshe.

Me dëshirë, matrica duhet të ketë disa kolona dhe rreshta. Me dimension 1 × n, grupi i elementeve është me një rresht dhe me dimension m × 1, ai është një grup me një kolonë. Kur numri i rreshtave dhe numri i kolonave janë të barabartë, matrica quhet katror. Çdo matricë katrore ka një përcaktues (det A). Ky term i referohet numrit që i është caktuar matricës A.

Diagonalet kryesore dhe dytësore janë disa koncepte më të rëndësishme për t'u mbajtur mend për të zgjidhur me sukses matricat. Diagonalja kryesore e një matrice është diagonalja që zbret në këndin e djathtë të tabelës nga këndi i sipërm i majtë. Diagonalja anësore shkon në këndin e djathtë lart nga këndi i majtë nga poshtë.

Pamje matrice me hapa

Shikoni foton më poshtë. Në të do të shihni një matricë dhe një diagram. Le të merremi me matricën së pari. Në algjebër lineare, një matricë e këtij lloji quhet matricë hapash. Ajo ka një veti: nëse a_ij është elementi i parë jozero në rreshtin e-të, atëherë të gjithë elementët e tjerë nga matrica poshtë dhe në të majtë të a_ij , janë të pavlefshme (d.m.th., të gjithë ata elementë që mund t'u jepet emërtimi i shkronjës a_kl, ku k>i dhel<j).

Tani merrni parasysh diagramin. Ai pasqyron formën e shkallëzuar të matricës. Skema tregon 3 lloje qelizash. Çdo lloj tregon elemente të caktuara:

• qeliza boshe - elemente zero të matricës;
• qelizat me hije janë elemente arbitrare që mund të jenë zero dhe jozero;
• katrorët e zinj janë elementë jo zero, të cilët quhen elementë këndorë, "hapa" (në matricën e paraqitur pranë tyre, elementë të tillë janë numrat –1, 5, 3, 8).

Kur zgjidhen matricat, ndonjëherë rezultati është se "gjatësia" e hapit është më e madhe se 1. Kjo lejohet. Vetëm "lartësia" e hapave ka rëndësi. Në një matricë hapash, ky parametër duhet të jetë gjithmonë i barabartë me një.

Reduktimi i matricës në formë hapi

Çdo matricë drejtkëndore mund të konvertohet në një formë me shkallë. Kjo bëhet përmes transformimeve elementare. Ato përfshijnë:

• riorganizimi i vargjeve;
• Shtimi i një rreshti tjetër në një rresht, nëse është e nevojshme shumëzuar me një numër (mund të kryeni gjithashtu një veprim zbritjeje).

Le të shqyrtojmë transformimet elementare në zgjidhjen e një problemi specifik. Figura më poshtë tregon matricën A, e cila duhet të reduktohet në një formë me shkallë.

Për të zgjidhur problemin, do të ndjekim algoritmin:

• Është i përshtatshëm për të kryer transformime në një matricë meelementi i parë në këndin e sipërm majtas (d.m.th., elementi "udhëheqës") është 1 ose -1. Në rastin tonë, elementi i parë në rreshtin e sipërm është 2, kështu që le të ndërrojmë rreshtin e parë dhe të dytë.
• Le të kryejmë veprimet e zbritjes, duke ndikuar në rreshtat 2, 3 dhe 4. Ne duhet të marrim zero në kolonën e parë nën elementin "udhëheqës". Për të arritur këtë rezultat: nga elementët e rreshtit nr. 2, ne zbresim në mënyrë sekuenciale elementet e rreshtit nr. 1, shumëzuar me 2; nga elementët e rreshtit nr. 3, ne zbresim në mënyrë sekuenciale elementet e rreshtit nr. 1, shumëzuar me 4; nga elementet e rreshtit nr. 4 ne zbresim elementet e rreshtit nr. 1.
• Tjetra, do të punojmë me një matricë të cunguar (pa kolonën 1 dhe pa rreshtin 1). Elementi i ri "udhëheqës", që qëndron në kryqëzimin e kolonës së dytë dhe rreshtit të dytë, është i barabartë me -1. Nuk ka nevojë të riorganizojmë rreshtat, kështu që ne rishkruajmë kolonën e parë dhe rreshtin e parë dhe të dytë pa ndryshime. Le të kryejmë veprimet e zbritjes në mënyrë që të marrim zero në kolonën e dytë nën elementin "udhëheqës": nga elementët e rreshtit të tretë zbresim në mënyrë sekuenciale elementët e rreshtit të dytë, shumëzuar me 3; zbrit elementet e rreshtit të dytë të shumëzuar me 2 nga elementët e rreshtit të katërt.
• Mbetet për të ndryshuar rreshtin e fundit. Nga elementët e tij zbresim me radhë elementet e rreshtit të tretë. Kështu, ne morëm një matricë me shkallë.

Reduktimi i matricave në një formë hapi përdoret në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare (SLE) me metodën e Gausit. Përpara se të shikojmë këtë metodë, le të kuptojmë disa nga termat që lidhen me SLN.

Matricat dhe sistemet e ekuacioneve lineare

Matricat përdoren në shkenca të ndryshme. Duke përdorur tabelat e numrave, ju mund, për shembull, të zgjidhni ekuacionet lineare të kombinuara në një sistem duke përdorur metodën e Gausit. Së pari, le të njihemi me disa terma dhe përkufizimet e tyre, dhe gjithashtu të shohim se si formohet një matricë nga një sistem që kombinon disa ekuacione lineare.

SLU – disa ekuacione algjebrike të kombinuara me të panjohurat e fuqisë së parë dhe pa terma produkti.

Zgjidhja

SLE – gjetja e vlerave të të panjohurave, duke zëvendësuar të cilat ekuacionet në sistem bëhen identitete.

Një SLE e përbashkët është një sistem ekuacionesh që ka të paktën një zgjidhje.

SLE jokonsistente është një sistem ekuacionesh që nuk ka zgjidhje.

Si formohet një matricë bazuar në një sistem që kombinon ekuacione lineare? Ekzistojnë koncepte të tilla si matricat kryesore dhe të zgjeruara të sistemit. Për të marrë matricën kryesore të sistemit, është e nevojshme të vendosen në tabelë të gjithë koeficientët për të panjohurat. Matrica e zgjeruar merret duke shtuar një kolonë me terma të lirë në matricën kryesore (ajo përfshin elementë të njohur me të cilët barazohet çdo ekuacion në sistem). Ju mund ta kuptoni të gjithë këtë proces duke studiuar foton më poshtë.

Gjëja e parë që shohim në foto është një sistem që përfshin ekuacione lineare. Elementet e tij: a_ij - koeficientët numerikë, x_j - vlera të panjohura, b_i - terma konstante (ku i=1, 2, …, m, dhe j=1, 2, …, n). Elementi i dytë në figurë është matrica kryesore e koeficientëve. Nga çdo ekuacion, koeficientët shkruhen në një rresht. Si rezultat, ka po aq rreshta në matricë sa ka ekuacione në sistem. Numri i kolonave është i barabartë me numrin më të madh të koeficientëve në çdo ekuacion. Elementi i tretë në figurë është një matricë e shtuar me një kolonë termash të lirë.

Informacione të përgjithshme rreth metodës Gauss

Në algjebrën lineare, metoda e Gausit është mënyra klasike e zgjidhjes së SLE. Mban emrin e Carl Friedrich Gauss, i cili jetoi në shekujt 18-19. Ky është një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave. Thelbi i metodës së Gausit është kryerja e transformimeve elementare në një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. Me ndihmën e transformimeve, SLE reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme trekëndore (shkallë), nga e cila mund të gjenden të gjitha variablat.

Vlen të përmendet se Carl Friedrich Gauss nuk është zbuluesi i metodës klasike të zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare. Metoda u shpik shumë më herët. Përshkrimi i saj i parë gjendet në enciklopedinë e njohurive të matematikanëve të lashtë kinezë, të quajtur "Matematika në 9 libra".

Një shembull i zgjidhjes së SLE me metodën e Gausit

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve me metodën e Gausit në një shembull specifik. Ne do të punojmë me SLU-në e treguar në foto.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Ne do ta reduktojmë sistemin në një formë hapi me lëvizjen e drejtpërdrejtë të metodës Gauss, por së parine do të përpilojmë një matricë të zgjeruar të koeficientëve numerikë dhe anëtarëve të lirë.
2. Për të zgjidhur matricën duke përdorur metodën Gaussian (d.m.th. për ta sjellë atë në një formë të shkallëzuar), nga elementët e rreshtit të dytë dhe të tretë, ne zbresim në mënyrë sekuenciale elementet e rreshtit të parë. Ne marrim zero në kolonën e parë nën elementin "udhëheqës". Tjetra, ne do të ndryshojmë rreshtat e dytë dhe të tretë në vende për lehtësi. Elementeve të rreshtit të fundit, shtoni radhazi elementet e rreshtit të dytë, shumëzuar me 3.
3. Si rezultat i llogaritjes së matricës me metodën e Gausit, kemi marrë një grup elementësh me shkallë. Bazuar në të, ne do të përpilojmë një sistem të ri ekuacionesh lineare. Me rrjedhën e kundërt të metodës Gauss, gjejmë vlerat e termave të panjohur. Mund të shihet nga ekuacioni i fundit linear se x₃ është e barabartë me 1. Ne e zëvendësojmë këtë vlerë në rreshtin e dytë të sistemit. Ju merrni ekuacionin x₂ – 4=–4. Nga kjo rrjedh se x₂ është e barabartë me 0. Zëvendësoni x₂ dhe x₃ në ekuacionin e parë të sistemit: x1 _{+ 0 +3=2. Termi i panjohur është -1.}

Përgjigje: duke përdorur matricën, metodën Gaussian, gjetëm vlerat e të panjohurave; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Metoda Gauss-Jordan

Në algjebër lineare ekziston edhe një gjë e tillë si metoda Gauss-Jordan. Konsiderohet si modifikim i metodës Gaussian dhe përdoret për të gjetur matricën e kundërt, për të llogaritur termat e panjohur të sistemeve katrore të ekuacioneve lineare algjebrike. Metoda Gauss-Jordan është e përshtatshme në atë që lejon zgjidhjen e SLE në një hap (pa përdorimin e drejtpërdrejtë dhe të kundërtlëviz).

Le të fillojmë me termin "matricë inverse". Supozoni se kemi një matricë A. Ana e kundërt për të do të jetë matrica A^-1, ndërsa kushti është domosdoshmërisht i plotësuar: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, d.m.th. produkti i këtyre matricave është i barabartë me matricën e identitetit (elementet e diagonales kryesore të matricës së identitetit janë njësh, dhe elementët e mbetur janë zero).}

Një nuancë e rëndësishme: në algjebër lineare ekziston një teoremë mbi ekzistencën e një matrice të anasjelltë. Një kusht i mjaftueshëm dhe i domosdoshëm për ekzistencën e matricës A^-1 është që matrica A të jetë josingulare.

Hapat bazë mbi të cilët bazohet metoda Gauss-Jordan:

1. Shikoni rreshtin e parë të një matrice të caktuar. Metoda Gauss-Jordan mund të fillohet nëse vlera e parë nuk është e barabartë me zero. Nëse vendi i parë është 0, atëherë ndërroni rreshtat në mënyrë që elementi i parë të ketë një vlerë jo zero (është e dëshirueshme që numri të jetë më afër një).
2. Pjestoni të gjithë elementët e rreshtit të parë me numrin e parë. Do të përfundoni me një varg që fillon me një.
3. Nga rreshti i dytë, zbritni rreshtin e parë të shumëzuar me elementin e parë të rreshtit të dytë, d.m.th. në fund do të merrni një rresht që fillon nga zero. Bëni të njëjtën gjë për pjesën tjetër të rreshtave. Ndani çdo rresht me elementin e tij të parë jozero për të marrë 1 në mënyrë diagonale.
4. Si rezultat, ju do të merrni matricën e sipërme trekëndore duke përdorur metodën Gauss - Jordan. Në të, diagonalja kryesore përfaqësohet me njësi. Këndi i poshtëm është i mbushur me zero, dhekëndi i sipërm - vlera të ndryshme.
5. Nga rreshti i parafundit, zbritni rreshtin e fundit shumëzuar me koeficientin e kërkuar. Ju duhet të merrni një varg me zero dhe një. Për pjesën tjetër të rreshtave, përsëritni të njëjtin veprim. Pas të gjitha transformimeve, do të merret matrica e identitetit.

Një shembull i gjetjes së matricës së anasjelltë duke përdorur metodën Gauss-Jordan

Për të llogaritur matricën e anasjelltë, duhet të shkruani matricën e shtuar A|E dhe të kryeni transformimet e nevojshme. Le të shqyrtojmë një shembull të thjeshtë. Figura më poshtë tregon matricën A.

Zgjidhja:

1. Së pari, le të gjejmë përcaktuesin e matricës duke përdorur metodën Gaussian (det A). Nëse ky parametër nuk është i barabartë me zero, atëherë matrica do të konsiderohet josingulare. Kjo do të na lejojë të konkludojmë se A ka patjetër A^-1. Për të llogaritur përcaktorin, ne e transformojmë matricën në një formë hap pas hapi me transformime elementare. Le të numërojmë numrin K të barabartë me numrin e ndërrimeve të rreshtit. Ne ndërruam linjat vetëm 1 herë. Le të llogarisim përcaktorin. Vlera e tij do të jetë e barabartë me produktin e elementeve të diagonales kryesore, shumëzuar me (–1)^K. Rezultati i llogaritjes: det A=2.
2. Përpiloni matricën e shtuar duke shtuar matricën e identitetit në matricën origjinale. Vargu i elementeve që rezulton do të përdoret për të gjetur matricën e kundërt me metodën Gauss-Jordan.
3. Elementi i parë në rreshtin e parë është i barabartë me një. Kjo na përshtatet, sepse nuk ka nevojë të riorganizojmë rreshtat dhe të ndajmë rreshtin e dhënë me një numër. Le të fillojmë të punojmëme rreshtin e dytë dhe të tretë. Për ta kthyer elementin e parë në rreshtin e dytë në 0, zbritni rreshtin e parë të shumëzuar me 3 nga rreshti i dytë. Zbrisni rreshtin e parë nga rreshti i tretë (nuk kërkohet shumëzim).
4. Në matricën që rezulton, elementi i dytë i rreshtit të dytë është -4, dhe elementi i dytë i rreshtit të tretë është -1. Le të shkëmbejmë linjat për lehtësi. Nga rreshti i tretë zbrisni rreshtin e dytë shumëzuar me 4. Pjestoni rreshtin e dytë me -1 dhe rreshtin e tretë me 2. Marrim matricën e sipërme trekëndore.
5. Le të zbresim rreshtin e fundit të shumëzuar me 4 nga rreshti i dytë, dhe rreshtin e fundit shumëzuar me 5 nga rreshti i parë. Më pas, zbresim rreshtin e dytë të shumëzuar me 2 nga rreshti i parë. Në anën e majtë kemi marrë matrica e identitetit. Në të djathtë është matrica e kundërt.

Një shembull i zgjidhjes së SLE me metodën Gauss-Jordan

Figura tregon një sistem ekuacionesh lineare. Kërkohet gjetja e vlerave të ndryshoreve të panjohura duke përdorur një matricë, metodën Gauss-Jordan.

Zgjidhja:

1. Le të krijojmë një matricë të shtuar. Për ta bërë këtë, ne do të vendosim koeficientët dhe kushtet e lira në tabelë.
2. Zgjidhni matricën duke përdorur metodën Gauss-Jordan. Nga rreshti nr. 2 zbresim rreshtin nr. 1. Nga rreshti nr. 3 zbresim rreshtin nr. 1, të shumëzuar më parë me 2.
3. Ndrysho rreshtat 2 dhe 3.
4. Nga rreshti 3 zbrisni rreshtin 2 shumëzuar me 2. Pjesëtoni rreshtin e tretë që rezulton me –1.
5. Zbrit rreshtin 3 nga rreshti 2.
6. Zbrit rreshtin 1 nga rreshti 12 herë -1. Në anën, kemi marrë një kolonë të përbërë nga numrat 0, 1 dhe -1. Nga kjo nxjerrim përfundimin se x₁=0, x₂=1 dhe x₃ =–1.

Nëse dëshironi, mund të kontrolloni korrektësinë e zgjidhjes duke zëvendësuar vlerat e llogaritura në ekuacionet:

• 0 – 1=–1, identiteti i parë nga sistemi është i saktë;
• 0 + 1 + (–1)=0, identiteti i dytë nga sistemi është i saktë;
• 0 – 1 + (–1)=–2, identiteti i tretë nga sistemi është i saktë.

Përfundim: duke përdorur metodën Gauss-Jordan, ne kemi gjetur zgjidhjen e duhur për një sistem kuadratik që kombinon ekuacione algjebrike lineare.

Llogaritësi në internet

Jeta e të rinjve të sotëm që studiojnë në universitete dhe studiojnë algjebër lineare është thjeshtuar shumë. Disa vite më parë, ne duhej të gjenim zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën Gauss dhe Gauss-Jordan vetë. Disa studentë i përballuan me sukses detyrat, ndërsa të tjerët u hutuan në zgjidhje, bënë gabime, kërkuan ndihmë nga shokët e klasës. Sot, ju mund të përdorni kalkulatorë në internet kur bëni detyrat e shtëpisë. Për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare, kërkimin e matricave të anasjellta, janë shkruar programe që demonstrojnë jo vetëm përgjigjet e sakta, por tregojnë edhe ecurinë e zgjidhjes së një problemi të caktuar.

Ka shumë burime në internet me kalkulatorë të integruar në internet. Matricat Gaussian, sistemet e ekuacioneve zgjidhen nga këto programe në pak sekonda. Nxënësit duhet vetëm të specifikojnë parametrat e kërkuar (për shembull, numrin e ekuacioneve,numri i variablave).