Prizmi pesëkëndor në zgjidhjen e problemeve në gjeometri është shumë më pak i zakonshëm se sa prizma të tillë si trekëndësh, katërkëndor ose gjashtëkëndor. Sidoqoftë, është e dobishme të rishikoni vetitë themelore të kësaj forme, si dhe të mësoni se si ta vizatoni atë.
Çfarë është një prizëm pesëkëndësh?
Kjo është një figurë tredimensionale, bazat e së cilës janë pesëkëndësha dhe anët janë paralelograme. Nëse secili prej këtyre paralelogrameve është pingul me bazat paralele, atëherë një prizëm i tillë quhet drejtkëndor. Sipërfaqja anësore e një prizmi pesëkëndor drejtkëndor është i përbërë nga pesë drejtkëndësha. Për më tepër, ana ngjitur me bazën e secilit prej tyre është e barabartë me gjatësinë përkatëse të anës së pesëkëndëshit.
Nëse pesëkëndëshi është i rregullt, domethënë të gjitha anët dhe këndet e tij janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë një prizëm i tillë drejtkëndor quhet i rregullt. Më tej në artikull do të shqyrtojmë vetitë e kësaj figure të veçantë.
Elementet e prizmit
Për të, si për çdo prizëm,elementët e mëposhtëm janë karakteristik:
- fytyrat ose anët janë pjesë të planeve që lidhin një figurë në hapësirë;
- maja - pikat e kryqëzimit të tre anëve;
- brinjë - segmente të kryqëzimit të dy anëve të figurës.
Numrat e të gjithë elementëve të emërtuar lidhen me njëri-tjetrin me barazinë e mëposhtme:
Numri i skajeve=numri i kulmeve + numri i faqeve - 2
Kjo shprehje quhet formula e Euler-it për poliedrin.
Në një prizëm pesëkëndësh, numri i brinjëve është shtatë (dy baza + pesë drejtkëndësha). Numri i majave është 10 (pesë për secilën bazë). Numri i skajeve në këtë rast do të jetë:
Numri i brinjëve=10 + 7 - 2=15
Dhjetë skajet i përkasin bazave të prizmit dhe pesë skajet formohen nga drejtkëndësha.
Si të vizatoni një prizëm pesëkëndësh?
Përgjigja për këtë pyetje varet nga detyra specifike. Nëse është e nevojshme të vizatoni një prizëm arbitrar, atëherë duhet të vizatohet çdo pesëkëndësh. Pas kësaj, vizatoni pesë segmente paralele me gjatësi të barabartë nga çdo kulm i pesëkëndëshit. Pastaj, lidhni skajet e sipërme të segmenteve. Rezultati është një prizëm arbitrar pesëkëndor.
Nëse është e nevojshme të vizatoni një prizëm të rregullt, atëherë i gjithë kompleksiteti i detyrës zbret në marrjen e një pesëkëndëshi të rregullt. Ka disa mënyra për të vizatuar këtë shumëkëndësh. Këtu do të shqyrtojmë vetëm dy mënyra.
Mënyra e parë është të vizatoni një rreth me një busull. Pastaj vizatohet një diametër arbitrarrrethi dhe pesë kënde numërohen prej tij duke përdorur një raportor në 72o(572o=360o). Kur numëroni çdo kënd, bëhet një pikë në rreth. Për të ndërtuar një drejtkëndësh, mbetet të lidhni prerjet e shënuara me segmente të drejta.
Metoda e dytë përfshin përdorimin vetëm të një busull dhe një vizore. Është disi komplekse në krahasim me atë të mëparshme. Më poshtë është një video që shpjegon në detaje çdo hap të këtij ndërtimi.
Vini re se është e lehtë të vizatoni një pesëkëndësh nëse lidhni skajet e yllit. Nëse nuk është e nevojshme të vizatoni saktësisht një pesëkëndësh të rregullt, atëherë mund të përdorni metodën e yllit të vizatuar me dorë.
Sapo të vizatohet pesëkëndëshi, vizatoni pesë segmente identike paralele nga secila kulm i tij dhe lidhni kulmet e tyre. Rezultati është një prizëm pesëkëndor.
Zona e formës
Tani mendoni se si të gjeni sipërfaqen e një prizmi pesëkëndor. Figura më poshtë tregon zhvillimin e saj. Mund të shihet se zona e kërkuar është e formuar nga dy pesëkëndësha identikë dhe pesë drejtkëndësha të barabartë me njëri-tjetrin.
Sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes së figurës shprehet me formulën:
S=2So+ 5Sp
Këtu indekset o dhe p nënkuptojnë përkatësisht bazën dhe drejtkëndëshin. Le ta shënojmë gjatësinë e anës së pesëkëndëshit si a dhe lartësinë e figurës si h. Më pas për drejtkëndëshin shkruajmë:
Sp=ah
Për të llogaritur sipërfaqen e një pesëkëndëshi,përdorni formulën universale:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Ku n është numri i brinjëve të shumëkëndëshit. Duke zëvendësuar n=5, marrim:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Saktësia e barazisë që rezulton është 3 shifra dhjetore, e cila është mjaft e mjaftueshme për të zgjidhur çdo problem.
Tani mbetet të gjejmë shumën e sipërfaqeve të marra të bazës dhe sipërfaqes anësore. Ne kemi:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Duhet të mbahet mend se formula që rezulton është e vlefshme vetëm për një prizëm drejtkëndor. Në rastin e një figure të zhdrejtë, sipërfaqja e sipërfaqes së saj anësore gjendet në bazë të njohjes së perimetrit të prerjes, i cili duhet të jetë pingul me të gjithë paralelogramet.
Vëllimi i figurës
Formula për llogaritjen e vëllimit të një prizmi pesëkëndor nuk ndryshon nga një shprehje e ngjashme për çdo prizëm ose cilindër tjetër. Vëllimi i një figure është i barabartë me prodhimin e lartësisë së saj dhe sipërfaqes së bazës:
V=Soh
Nëse prizmi në fjalë është drejtkëndësh, atëherë lartësia e tij është gjatësia e skajit të formuar nga drejtkëndëshat. Sipërfaqja e një pentagoni të rregullt është llogaritur më sipër me saktësi të lartë. Zëvendësoni këtë vlerë në formulën për vëllimin dhe merrni shprehjen e nevojshme për një prizëm të rregullt pesëkëndor:
V=1, 72a2h
Kështu, duke llogaritur vëllimin dhe sipërfaqennjë prizëm i rregullt pesëkëndor është i mundur nëse dihet ana e bazës dhe lartësia e figurës.
