Në këtë artikull, metoda konsiderohet si një mënyrë për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare (SLAE). Metoda është analitike, domethënë ju lejon të shkruani një algoritëm të përgjithshëm zgjidhjeje, dhe më pas të zëvendësoni vlerat nga shembuj specifikë atje. Ndryshe nga metoda e matricës ose formulat e Cramer-it, kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit, mund të punoni edhe me ato që kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Ose mos e ke fare.
Çfarë do të thotë të zgjidhësh me metodën e Gausit?
Së pari, ne duhet të shkruajmë sistemin tonë të ekuacioneve si një matricë. Duket kështu. Sistemi është marrë:
Koeficientët shkruhen në formën e një tabele, dhe në të djathtë në një kolonë të veçantë - anëtarë të lirë. Kolona me anëtarë të lirë ndahet për lehtësi nga një shirit vertikal. Një matricë që përfshin këtë kolonë quhet e zgjeruar.
Më pas, matrica kryesore me koeficientë duhet të reduktohet në formën e sipërme trekëndore. Kjo është pika kryesore e zgjidhjes së sistemit me metodën e Gausit. E thënë thjesht, pas disa manipulimeve, matrica duhet të duket kështu, në mënyrë që të ketë vetëm zero në pjesën e poshtme të majtë të saj:
Pastaj, nëse e shkruani sërish matricën e re si sistem ekuacionesh, do të vini re se rreshti i fundit tashmë përmban vlerën e njërës prej rrënjëve, e cila më pas zëvendësohet në ekuacionin e mësipërm, gjendet një rrënjë tjetër., dhe kështu me radhë.
Ky është një përshkrim i zgjidhjes Gaussian në termat më të përgjithshëm. Dhe çfarë ndodh nëse papritmas sistemi nuk ka një zgjidhje? Apo ka një numër të pafund të tyre? Për t'iu përgjigjur këtyre dhe shumë pyetjeve të tjera, është e nevojshme të merren parasysh veçmas të gjithë elementët e përdorur në zgjidhje me metodën e Gausit.
Matricat, vetitë e tyre
Nuk ka asnjë kuptim të fshehur në matricë. Është thjesht një mënyrë e përshtatshme për të regjistruar të dhëna për operacionet e mëvonshme. Edhe nxënësit e shkollës nuk duhet të kenë frikë prej tyre.
Matrica është gjithmonë drejtkëndore sepse është më e përshtatshme. Edhe në metodën e Gausit, ku gjithçka zbret në ndërtimin e një matrice trekëndore, një drejtkëndësh shfaqet në hyrje, vetëm me zero në vendin ku nuk ka numra. Zerot mund të hiqen, por ato nënkuptohen.
Matrica ka madhësi. "Gjerësia" e tij është numri i rreshtave (m), "gjatësia" e tij është numri i kolonave (n). Pastaj madhësia e matricës A (shkronjat e mëdha latine përdoren zakonisht për përcaktimin e tyre) do të shënohet si Am×n. Nëse m=n, atëherë kjo matricë është katrore dhem=n - rendi i tij. Prandaj, çdo element i matricës A mund të shënohet me numrin e rreshtit dhe kolonës së saj: axy; x - numri i rreshtit, ndryshimi [1, m], y - numri i kolonës, ndryshimi [1, n].
Në metodën Gaussian, matricat nuk janë pika kryesore e zgjidhjes. Në parim, të gjitha operacionet mund të kryhen drejtpërdrejt me vetë ekuacionet, megjithatë, shënimi do të jetë shumë më i rëndë dhe do të jetë shumë më e lehtë të ngatërrohesh në të.
Kualifikues
Matrica ka gjithashtu një përcaktues. Kjo është një veçori shumë e rëndësishme. Zbulimi i kuptimit të tij tani nuk ia vlen, thjesht mund të tregoni se si llogaritet dhe më pas të tregoni se cilat veti të matricës përcakton. Mënyra më e lehtë për të gjetur përcaktorin është përmes diagonaleve. Në matricë vizatohen diagonalet imagjinare; elementët e vendosur në secilën prej tyre shumëzohen dhe më pas shtohen produktet që rezultojnë: diagonalet me një pjerrësi në të djathtë - me një shenjë "plus", me një pjerrësi në të majtë - me një shenjë "minus".
Është jashtëzakonisht e rëndësishme të theksohet se përcaktori mund të llogaritet vetëm për një matricë katrore. Për një matricë drejtkëndëshe, mund të bëni sa më poshtë: zgjidhni numrin më të vogël të numrit të rreshtave dhe numrit të kolonave (le të jetë k), dhe më pas shënoni në mënyrë të rastësishme k kolona dhe k rreshta në matricë. Elementët e vendosur në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të zgjedhur do të formojnë një matricë të re katrore. Nëse përcaktori i një matrice të tillë është një numër i ndryshëm nga zero, atëherë ai do të quhet minorja bazë e matricës origjinale drejtkëndore.
Parasi të filloni zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh me metodën e Gausit, nuk dëmton llogaritja e përcaktorit. Nëse rezulton të jetë zero, atëherë mund të themi menjëherë se matrica ka ose një numër të pafund zgjidhjesh, ose nuk ka fare. Në një rast kaq të trishtuar, ju duhet të shkoni më tej dhe të mësoni për gradën e matricës.
Klasifikimi i sistemeve
Ekziston një gjë e tillë si rangu i një matrice. Ky është rendi maksimal i përcaktorit të tij jozero (duke kujtuar bazën minore, mund të themi se renditja e një matrice është rendi i minorit bazë).
Si janë gjërat me rang, PLOT mund të ndahet në:
- Joint. Për sistemet e përbashkëta, rangu i matricës kryesore (i përbërë vetëm nga koeficientët) përkon me renditjen e asaj të zgjeruar (me një kolonë termash të lirë). Sisteme të tilla kanë një zgjidhje, por jo domosdoshmërisht një, prandaj, sistemet e përbashkëta ndahen gjithashtu në:
- - i caktuar - të kesh një zgjidhje unike. Në sisteme të caktuara, rangu i matricës dhe numri i të panjohurave janë të barabartë (ose numri i kolonave, që është e njëjta gjë);
- - e pacaktuar - me një numër të pafund zgjidhjesh. Rangu i matricave në sisteme të tilla është më i vogël se numri i të panjohurave.
- I papajtueshëm. Për sisteme të tilla, radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara nuk përputhen. Sistemet e papajtueshme nuk kanë zgjidhje.
Metoda e Gausit është e mirë sepse ju lejon të merrni ose një provë të qartë të mospërputhjes së sistemit (pa llogaritur përcaktuesit e matricave të mëdha) ose një zgjidhje të përgjithshme për një sistem me një numër të pafund zgjidhjesh.
Shndërrime elementare
Parasi të vazhdoni drejtpërdrejt në zgjidhjen e sistemit, mund ta bëni atë më pak të rëndë dhe më të përshtatshëm për llogaritjet. Kjo arrihet përmes transformimeve elementare – të tilla që zbatimi i tyre nuk e ndryshon në asnjë mënyrë përgjigjen përfundimtare. Duhet theksuar se disa nga transformimet elementare të mësipërme vlejnë vetëm për matricat, burimi i të cilave ishte pikërisht SLAE. Këtu është një listë e këtyre transformimeve:
- Ndrysho vargjet. Është e qartë se nëse ndryshojmë rendin e ekuacioneve në rekordin e sistemit, atëherë kjo nuk do të ndikojë në zgjidhjen në asnjë mënyrë. Prandaj, është e mundur edhe ndërrimi i rreshtave në matricën e këtij sistemi, pa harruar, natyrisht, kolonën e anëtarëve të lirë.
- Shumëzimi i të gjithë elementeve të një vargu me disa faktor. Shumë e dobishme! Me të, ju mund të zvogëloni numra të mëdhenj në matricë ose të hiqni zerat. Grupi i zgjidhjeve, si zakonisht, nuk do të ndryshojë dhe do të bëhet më i përshtatshëm për të kryer operacione të mëtejshme. Gjëja kryesore është që koeficienti të mos jetë i barabartë me zero.
- Fshi linjat me koeficientë proporcionalë. Kjo rrjedh pjesërisht nga paragrafi i mëparshëm. Nëse dy ose më shumë rreshta në matricë kanë koeficientë proporcionalë, atëherë kur shumëzoni / pjesëtoni njërën prej rreshtave me koeficientin e proporcionalitetit, fitohen dy (ose, përsëri, më shumë) rreshta absolutisht identike, dhe ju mund të hiqni ato shtesë, duke lënë vetëm një.
- Fshi rreshtin null. Nëse gjatë transformimeve fitohet një varg diku në të cilin të gjithë elementët, përfshirë anëtarin e lirë, janë zero, atëherë një varg i tillë mund të quhet zero dhe të hidhet jashtë matricës.
- Shtimi i elementeve të një rreshti elementësh të një tjetri (sipaskolonat përkatëse) shumëzuar me ndonjë koeficient. Transformimi më i errët dhe më i rëndësishëm nga të gjithë. Ia vlen të ndalemi më në detaje.
Shtimi i një vargu të shumëzuar me një faktor
Për lehtësinë e të kuptuarit, ia vlen të çmontoni këtë proces hap pas hapi. Dy rreshta janë marrë nga matrica:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Le të themi se duhet të shtoni të parën shumëzuar me koeficientin "-2" të dytës.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Më pas rreshti i dytë në matricë zëvendësohet me një të ri, ndërsa i pari mbetet i pandryshuar.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Duhet të theksohet se faktori i shumëzimit mund të zgjidhet në atë mënyrë që, si rezultat i mbledhjes së dy vargjeve, njëri nga elementët e vargut të ri të jetë i barabartë me zero. Prandaj, është e mundur të merret një ekuacion në sistem, ku do të ketë një të panjohur më pak. Dhe nëse merrni dy ekuacione të tilla, atëherë operacioni mund të bëhet përsëri dhe të merrni një ekuacion që tashmë do të përmbajë dy më pak të panjohura. Dhe nëse çdo herë kthehemi në koeficientin zero një për të gjitha rreshtat që janë më të ulët se ai origjinal, atëherë mundemi, si hapat, të zbresim në fund të matricës dhe të marrim një ekuacion me një të panjohur. Kjo quhetzgjidh sistemin duke përdorur metodën e Gausit.
Përgjithësisht
Le të ketë një sistem. Ka m ekuacione dhe n rrënjë të panjohura. Mund ta shkruani kështu:
Matrica kryesore është përpiluar nga koeficientët e sistemit. Një kolonë me anëtarë të lirë shtohet në matricën e zgjeruar dhe ndahet nga një shirit për lehtësi.
Tjetri:
- rreshti i parë i matricës shumëzohet me koeficientin k=(-a21/a11);
- shtohen rreshti i parë i modifikuar dhe rreshti i dytë i matricës;
- në vend të rreshtit të dytë, rezultati i shtimit nga paragrafi i mëparshëm futet në matricë;
- tani koeficienti i parë në rreshtin e ri të dytë është a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Tani është kryer e njëjta seri transformimesh, përfshihen vetëm rreshtat e parë dhe të tretë. Prandaj, në çdo hap të algoritmit, elementi a21 zëvendësohet me një31. Pastaj çdo gjë përsëritet për një41, … am1. Rezultati është një matricë ku elementi i parë në rreshtat [2, m] është i barabartë me zero. Tani duhet të harroni linjën numër një dhe të kryeni të njëjtin algoritëm duke filluar nga rreshti i dytë:
koeficienti
Algoritmi duhet të përsëritet derisa të shfaqet koeficienti k=(-am, m-1/amm të shfaqet). Kjo do të thotë që algoritmi u ekzekutua për herë të fundit vetëm për ekuacionin më të ulët. Tani matrica duket si një trekëndësh, ose ka një formë të shkallëzuar. Rreshti i fundit përmban ekuacionin amn × x =bm. Koeficienti dhe termi i lirë dihen dhe rrënja shprehet përmes tyre: x =bm/amn. Rrënja që rezulton zëvendësohet në rreshtin e sipërm për të gjetur xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Dhe kështu me radhë për analogji: në çdo rresht tjetër ka një rrënjë të re dhe, pasi të keni arritur "majën" e sistemit, mund të gjeni një grup zgjidhjesh [x1, … x ]. Do të jetë e vetmja.
Kur nuk ka zgjidhje
Nëse në një nga rreshtat e matricës të gjithë elementët, përveç termit të lirë, janë të barabartë me zero, atëherë ekuacioni që i korrespondon kësaj rreshti duket si 0=b. Nuk ka zgjidhje. Dhe meqenëse një ekuacion i tillë përfshihet në sistem, atëherë grupi i zgjidhjeve të të gjithë sistemit është bosh, domethënë është i degjeneruar.
Kur ka një numër të pafund zgjidhjesh
Mund të rezultojë se në matricën trekëndore të reduktuar nuk ka rreshta me një element - koeficientin e ekuacionit, dhe një - një anëtar të lirë. Ka vetëm vargje që, kur rishkruhen, do të duken si një ekuacion me dy ose më shumë ndryshore. Kjo do të thotë që sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Në këtë rast, përgjigja mund të jepet në formën e një zgjidhjeje të përgjithshme. Si ta bëni atë?
Të gjithavariablat në matricë ndahen në bazë dhe të lirë. Themelore - këto janë ato që qëndrojnë "në skaj" të rreshtave në matricën e shkallëzuar. Pjesa tjetër janë falas. Në zgjidhjen e përgjithshme, variablat bazë shkruhen në terma të atyre të lirë.
Për lehtësi, matrica fillimisht rishkruhet përsëri në një sistem ekuacionesh. Pastaj në të fundit prej tyre, ku ka mbetur saktësisht vetëm një ndryshore bazë, ajo mbetet në njërën anë, dhe gjithçka tjetër transferohet në tjetrën. Kjo bëhet për çdo ekuacion me një ndryshore bazë. Më pas, në pjesën tjetër të ekuacioneve, ku është e mundur, në vend të ndryshores bazë zëvendësohet shprehja e marrë për të. Nëse rezultati është përsëri një shprehje që përmban vetëm një variabël bazë, ai shprehet përsëri nga atje dhe kështu me radhë, derisa çdo variabël bazë të shkruhet si një shprehje me ndryshore të lira. Kjo është zgjidhja e përgjithshme e SLAE.
Mund të gjeni gjithashtu zgjidhjen bazë të sistemit - jepni variablave falas çdo vlerë dhe më pas llogaritni vlerat e variablave bazë për këtë rast të veçantë. Ka pafundësisht shumë zgjidhje të veçanta.
Zgjidhje me shembuj specifik
Këtu është një sistem ekuacionesh.
Për lehtësi, është më mirë të bëni matricën e saj menjëherë
Dihet se kur zgjidhet me metodën e Gausit, ekuacioni që korrespondon me rreshtin e parë do të mbetet i pandryshuar në fund të transformimeve. Prandaj, do të jetë më fitimprurëse nëse elementi i sipërm i majtë i matricës është më i vogli - atëherë elementët e parëpjesa tjetër e rreshtave pas operacioneve do të kthehet në zero. Kjo do të thotë se në matricën e përpiluar do të jetë e dobishme të vendosni rreshtin e dytë në vend të të parës.
Më pas, duhet të ndryshoni rreshtin e dytë dhe të tretë në mënyrë që elementët e parë të bëhen zero. Për ta bërë këtë, shtoni ato në të parën, shumëzuar me një koeficient:
rreshti i dytë: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
rreshti i tretë: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Tani, për të mos u ngatërruar, duhet të shkruani një matricë me rezultate të ndërmjetme të transformimeve.
Natyrisht, një matricë e tillë mund të bëhet më e lexueshme me ndihmën e disa operacioneve. Për shembull, mund të hiqni të gjitha "minuset" nga rreshti i dytë duke shumëzuar çdo element me "-1".
Vlen gjithashtu të përmendet se në rreshtin e tretë të gjithë elementët janë shumëfish të tre. Atëherë mundeniprerë vargun me këtë numër, duke shumëzuar çdo element me "-1/3" (minus - në të njëjtën kohë për të hequr vlerat negative).
Duket shumë më bukur. Tani duhet të lëmë vetëm rreshtin e parë dhe të punojmë me të dytën dhe të tretën. Detyra është të shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, shumëzuar me një faktor të tillë që elementi a32 të bëhet zero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (nëse gjatë disa transformimeve në përgjigje rezultoi se nuk ishte një numër i plotë, rekomandohet ta lini atë "siç është", në formën e një fraksioni të zakonshëm, dhe vetëm atëherë, kur të merren përgjigjet, vendosni nëse do të rrumbullakosni dhe shndërroni në një formë tjetër të shënim)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matrica shkruhet sërish me vlera të reja.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Siç mund ta shihni, matrica që rezulton tashmë ka një formë të shkallëzuar. Prandaj, nuk kërkohen transformime të mëtejshme të sistemit me metodën e Gausit. Ajo që mund të bëhet këtu është të hiqni koeficientin e përgjithshëm "-1/7" nga rreshti i tretë.
Tani të gjithëbukur. Pika është e vogël - shkruani matricën përsëri në formën e një sistemi ekuacionesh dhe llogaritni rrënjët
x + 2v + 4z=12 (1)
7v + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmi me të cilin do të gjenden rrënjët tani quhet lëvizja e kundërt në metodën e Gausit. Ekuacioni (3) përmban vlerën z:
z=61/9
Tjetra, kthehu te ekuacioni i dytë:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Dhe ekuacioni i parë ju lejon të gjeni x:
x=(12 - 4z - 2v)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Ne kemi të drejtë ta quajmë një sistem të tillë të përbashkët, madje edhe të përcaktuar, domethënë, të kesh një zgjidhje unike. Përgjigja është shkruar në formën e mëposhtme:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Shembull i një sistemi të pacaktuar
Është analizuar varianti i zgjidhjes së një sistemi të caktuar me metodën e Gausit, tani është e nevojshme të shqyrtohet rasti nëse sistemi është i pacaktuar, domethënë mund të gjenden pafundësisht shumë zgjidhje për të.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Vetë forma e sistemit është tashmë alarmante, sepse numri i të panjohurave është n=5, dhe rangu i matricës së sistemit është tashmë saktësisht më i vogël se ky numër, sepse numri i rreshtave është m=4, pra, rendi më i madh i përcaktorit katror është 4. Pra,Ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe ne duhet të kërkojmë formën e tij të përgjithshme. Metoda e Gausit për ekuacionet lineare ju lejon ta bëni këtë.
Së pari, si zakonisht, përpilohet matrica e shtuar.
Rreshti i dytë: koeficienti k=(-a21/a11)=-3. Në rreshtin e tretë, elementi i parë është para transformimeve, kështu që nuk keni nevojë të prekni asgjë, duhet ta lini ashtu siç është. Rreshti i katërt: k=(-a41/a11)=-5
Duke shumëzuar elementet e rreshtit të parë me secilin nga koeficientët e tyre me radhë dhe duke i shtuar ato në rreshtat e kërkuar, marrim një matricë të formës së mëposhtme:
Siç mund ta shihni, rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt përbëhen nga elementë proporcionalë me njëri-tjetrin. E dyta dhe e katërta janë përgjithësisht të njëjta, kështu që njëra prej tyre mund të hiqet menjëherë, dhe pjesa tjetër të shumëzohet me koeficientin "-1" dhe të merret rreshti numër 3. Dhe përsëri, lini një nga dy rreshtat identikë.
Rezultati është një matricë e tillë. Sistemi ende nuk është shkruar, këtu është e nevojshme të përcaktohen variablat bazë - duke qëndruar në koeficientët a11=1 dhe a22=1, dhe falas - të gjitha të tjerat.
Ka vetëm një ndryshore bazë në ekuacionin e dytë - x2. Prandaj, mund të shprehet prej andej, duke shkruar përmes ndryshoreve x3, x4, x5, të cilat janë falas.
Zëvendësoni shprehjen që rezulton në ekuacionin e parë.
Doli një ekuacion në të ciline vetmja variabël bazë është x1. Le të bëjmë të njëjtën gjë me të si me x2.
Të gjitha variablat bazë, nga të cilat janë dy, janë shprehur në terma tre të lira, tani mund ta shkruani përgjigjen në formë të përgjithshme.
Mund të specifikoni gjithashtu një nga zgjidhjet e veçanta të sistemit. Për raste të tilla, si rregull, zerat zgjidhen si vlera për variablat e lirë. Atëherë përgjigja do të jetë:
-16, 23, 0, 0, 0.
Një shembull i një sistemi jokonsistent
Zgjidhja e sistemeve jokonsistente të ekuacioneve me metodën e Gausit është më e shpejta. Ai përfundon sapo në njërën nga fazat fitohet një ekuacion që nuk ka zgjidhje. Domethënë, faza me llogaritjen e rrënjëve, e cila është mjaft e gjatë dhe e zymtë, zhduket. Sistemi i mëposhtëm është duke u shqyrtuar:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Si zakonisht, matrica është përpiluar:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dhe reduktuar në një formë të shkallëzuar:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pas transformimit të parë, rreshti i tretë përmban një ekuacion të formës
0=7, pa zgjidhje. Prandaj, sistemiështë jokonsistente dhe përgjigja është grupi bosh.
Përparësitë dhe disavantazhet e metodës
Nëse zgjidhni metodën për të zgjidhur SLAE në letër me stilolaps, atëherë metoda që u mor në konsideratë në këtë artikull duket më tërheqëse. Në transformimet elementare, është shumë më e vështirë të ngatërrohesh sesa ndodh nëse duhet të kërkosh manualisht për përcaktuesin ose ndonjë matricë të ndërlikuar të anasjelltë. Sidoqoftë, nëse përdorni programe për të punuar me të dhëna të këtij lloji, për shembull, fletëllogaritëse, atëherë rezulton se programe të tilla tashmë përmbajnë algoritme për llogaritjen e parametrave kryesorë të matricave - përcaktuesin, minorat, matricat e anasjellta dhe të transpozuara, etj.. Dhe nëse jeni të sigurt që makina do t'i llogarisë vetë këto vlera dhe nuk do të gabojë, është më e përshtatshme të përdorni metodën e matricës ose formulat e Cramer, sepse aplikimi i tyre fillon dhe përfundon me llogaritjen e përcaktuesve dhe matricave të anasjellta.
Aplikacion
Meqenëse zgjidhja Gaussian është një algoritëm, dhe matrica është, në fakt, një grup dy-dimensionale, ajo mund të përdoret në programim. Por meqenëse artikulli e pozicionon veten si një udhëzues "për dummies", duhet thënë se vendi më i lehtë për të vendosur metodën janë spreadsheets, për shembull, Excel. Përsëri, çdo SLAE e futur në një tabelë në formën e një matrice do të konsiderohet nga Excel si një grup dydimensional. Dhe për operacionet me ta, ka shumë komanda të këndshme: mbledhje (mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi!), Shumëzim me një numër, shumëzim matricë (gjithashtu mekufizime të caktuara), gjetja e matricave të anasjellta dhe të transpozuara dhe, më e rëndësishmja, llogaritja e përcaktorit. Nëse kjo detyrë që kërkon shumë kohë zëvendësohet me një komandë të vetme, është shumë më e shpejtë të përcaktohet rangu i një matrice dhe, si rrjedhim, të përcaktohet përputhshmëria ose mospërputhja e saj.
