Një nga figurat që shfaqet gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike në hapësirë është një kon. Ai, ndryshe nga poliedrat, i përket klasës së figurave të rrotullimit. Le të shqyrtojmë në artikull se çfarë nënkuptohet me të në gjeometri dhe të eksplorojmë karakteristikat e seksioneve të ndryshme të konit.
Koni në gjeometri
Supozojmë se ka ndonjë kurbë në aeroplan. Mund të jetë një parabolë, një rreth, një elips, etj. Merrni një pikë që nuk i përket rrafshit të specifikuar dhe lidhni të gjitha pikat e kurbës me të. Sipërfaqja që rezulton quhet kon ose thjesht kon.
Nëse kurba origjinale është e mbyllur, atëherë sipërfaqja konike mund të mbushet me lëndë. Figura e përftuar në këtë mënyrë është një trup tredimensional. Quhet gjithashtu një kon. Disa kone letre tregohen më poshtë.
Sipërfaqja konike gjendet në jetën e përditshme. Për shembull, një kon akullore ose një kon me shirita e trafikut ka këtë formë, e cila është krijuar për të tërhequr vëmendjen e shoferëve dhekëmbësorët.
Llojet e koneve
Siç mund ta merrni me mend, shifrat në shqyrtim ndryshojnë nga njëra-tjetra nga lloji i kurbës mbi të cilën janë formuar. Për shembull, ekziston një kon i rrumbullakët ose një eliptik. Kjo kurbë quhet baza e figurës. Megjithatë, forma e bazës nuk është e vetmja veçori që lejon klasifikimin e koneve.
Karakteristika e dytë e rëndësishme është pozicioni i lartësisë në raport me bazën. Lartësia e një koni është një segment i drejtë, i cili ulet nga maja e figurës në rrafshin e bazës dhe është pingul me këtë rrafsh. Nëse lartësia kryqëzon bazën në qendrën gjeometrike (për shembull, në qendër të rrethit), atëherë koni do të jetë i drejtë, nëse segmenti pingul bie në çdo pikë tjetër të bazës ose përtej saj, atëherë figura do të jetë i zhdrejtë.
Më tej në artikull do të konsiderojmë vetëm një kon të rrumbullakët të drejtë si një përfaqësues të ndritshëm të klasës së konsideruar të figurave.
Emrat gjeometrikë të elementeve të konit
U tha më lart se koni ka një bazë. Ai kufizohet nga një rreth, i cili quhet udhëzues i konit. Segmentet që lidhin udhëzuesin me një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e bazës quhen gjeneratorë. Bashkësia e të gjitha pikave të gjeneratorëve quhet sipërfaqja konike ose anësore e figurës. Për një kon të djathtë të rrumbullakët, të gjithë gjeneratorët kanë të njëjtën gjatësi.
Pika ku kryqëzohen gjeneratorët quhet maja e figurës. Ndryshe nga poliedrat, një kon ka një kulm të vetëm dhe nrbuzë.
Një vijë e drejtë që kalon nga maja e figurës dhe qendra e rrethit quhet bosht. Boshti përmban lartësinë e një koni të drejtë, kështu që formon një kënd të drejtë me rrafshin e bazës. Ky informacion është i rëndësishëm kur llogaritet zona e seksionit boshtor të konit.
Koni i drejtë i rrumbullakët - figura e rrotullimit
Koni i konsideruar është një figurë mjaft simetrike, e cila mund të merret si rezultat i rrotullimit të trekëndëshit. Supozoni se kemi një trekëndësh me një kënd të drejtë. Për të marrë një kon, mjafton ta rrotulloni këtë trekëndësh rreth njërës nga këmbët siç tregohet në figurën më poshtë.
Mund të shihet se boshti i rrotullimit është boshti i konit. Njëra nga këmbët do të jetë e barabartë me lartësinë e figurës, dhe këmba e dytë do të bëhet rrezja e bazës. Hipotenuza e një trekëndëshi si rezultat i rrotullimit do të përshkruajë një sipërfaqe konike. Do të jetë gjenerata e konit.
Kjo metodë e marrjes së një koni të drejtë të rrumbullakët është e përshtatshme për t'u përdorur për të studiuar marrëdhënien matematikore midis parametrave linearë të figurës: lartësia h, rrezja e bazës së rrumbullakët r dhe udhëzuesi g. Formula përkatëse rrjedh nga vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë. Është renditur më poshtë:
g2=h2+ r2.
Meqenëse kemi një ekuacion dhe tre ndryshore, kjo do të thotë që për të vendosur në mënyrë unike parametrat e një koni të rrumbullakët, duhet të dini çdo dy sasi.
Seksionet e një koni nga një plan që nuk përmban kulmin e figurës
Çështja e ndërtimit të seksioneve të një figure nuk ështëi parëndësishëm. Fakti është se forma e seksionit të konit nga sipërfaqja varet nga pozicioni relativ i figurës dhe sekanti.
Supozojmë se e kryqëzojmë konin me një rrafsh. Cili do të jetë rezultati i këtij operacioni gjeometrik? Opsionet e formës së seksionit janë paraqitur në figurën më poshtë.
Seksioni rozë është një rreth. Formohet si rezultat i kryqëzimit të figurës me një plan që është paralel me bazën e konit. Këto janë seksione pingul me boshtin e figurës. Figura e formuar mbi planin e prerjes është një kon i ngjashëm me atë origjinal, por me një rreth më të vogël në bazë.
Seksioni i gjelbër është një elips. Përftohet nëse rrafshi i prerjes nuk është paralel me bazën, por ai vetëm kryqëzon sipërfaqen anësore të konit. Një figurë e prerë mbi rrafsh quhet një kon i zhdrejtë eliptik.
Seksionet blu dhe portokalli janë përkatësisht parabolike dhe hiperbolike. Siç mund ta shihni nga figura, ato fitohen nëse rrafshi i prerjes kryqëzon njëkohësisht sipërfaqen anësore dhe bazën e figurës.
Për të përcaktuar zonat e seksioneve të konit që u morën parasysh, është e nevojshme të përdorni formulat për figurën përkatëse në aeroplan. Për shembull, për një rreth, ky është numri Pi i shumëzuar me katrorin e rrezes, dhe për një elips, ky është prodhimi i Pi dhe gjatësia e gjysmëboshteve të vogla dhe të mëdha:
rrethi: S=pir2;
elipsë: S=piab.
Seksione që përmbajnë majën e konit
Tani shqyrtoni opsionet për seksionet që lindin nëse rrafshi i prerjes ështëkalojnë nëpër majën e konit. Tre raste janë të mundshme:
- Seksioni është një pikë e vetme. Për shembull, një plan që kalon nëpër kulm dhe paralel me bazën jep pikërisht një seksion të tillë.
- Seksioni është një vijë e drejtë. Kjo situatë ndodh kur rrafshi është tangjent në një sipërfaqe konike. Vija e drejtë e seksionit në këtë rast do të jetë gjenerata e konit.
- Seksion boshtor. Formohet kur avioni përmban jo vetëm majën e figurës, por edhe të gjithë boshtin e saj. Në këtë rast, rrafshi do të jetë pingul me bazën e rrumbullakët dhe do ta ndajë konin në dy pjesë të barabarta.
Natyrisht, sipërfaqet e dy llojeve të para të seksioneve janë të barabarta me zero. Sa i përket zonës së prerjes tërthore të konit për llojin e tretë, kjo çështje diskutohet më në detaje në paragrafin tjetër.
Seksioni boshtor
U vu re më lart se seksioni boshtor i një koni është figura e formuar kur koni kryqëzohet nga një rrafsh që kalon nëpër boshtin e tij. Është e lehtë të merret me mend se ky seksion do të përfaqësojë figurën e paraqitur në figurën më poshtë.
Ky është një trekëndësh dykëndësh. Kulmi i seksionit boshtor të konit është kulmi i këtij trekëndëshi, i formuar nga kryqëzimi i brinjëve identike. Këto të fundit janë të barabarta me gjatësinë e gjeneratorit të konit. Baza e trekëndëshit është diametri i bazës së konit.
Llogaritja e sipërfaqes së seksionit boshtor të një koni reduktohet në gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshit që rezulton. Nëse fillimisht dihet rrezja e bazës r dhe lartësia h e konit, atëherë sipërfaqja S e seksionit në shqyrtim do të jetë:
S=hr.
Kjoshprehja është pasojë e aplikimit të formulës standarde për sipërfaqen e një trekëndëshi (gjysma e prodhimit të lartësisë me bazën).
Vini re se nëse gjenerata e një koni është e barabartë me diametrin e bazës së tij të rrumbullakët, atëherë seksioni boshtor i konit është një trekëndësh barabrinjës.
Një seksion trekëndor formohet kur rrafshi i prerjes është pingul me bazën e konit dhe kalon nëpër boshtin e tij. Çdo plan tjetër paralel me atë të emërtuar do të japë një hiperbolë në seksion. Megjithatë, nëse rrafshi përmban kulmin e konit dhe e ndërpret bazën e tij jo përmes diametrit, atëherë seksioni që rezulton do të jetë gjithashtu një trekëndësh dykëndësh.
Problemi i përcaktimit të parametrave linearë të konit
Le të tregojmë se si të përdorim formulën e shkruar për sipërfaqen e seksionit boshtor për të zgjidhur një problem gjeometrik.
Dihet që sipërfaqja e seksionit boshtor të konit është 100 cm2. Trekëndëshi që rezulton është barabrinjës. Sa është lartësia e konit dhe rrezja e bazës së tij?
Meqenëse trekëndëshi është barabrinjës, lartësia e tij h lidhet me gjatësinë e brinjës a si më poshtë:
h=√3/2a.
Duke pasur parasysh se brinja e trekëndëshit është dyfishi i rrezes së bazës së konit, dhe duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën për zonën e prerjes tërthore, marrim:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Atëherë lartësia e konit është:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Mbetet të zëvendësohet vlera e sipërfaqes nga gjendja e problemitdhe merrni përgjigjen:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Në cilat fusha është e rëndësishme të njihni parametrat e seksioneve të konsideruara?
Studimi i llojeve të ndryshme të seksioneve të konit nuk është vetëm me interes teorik, por ka edhe zbatime praktike.
Së pari, duhet theksuar zona e aerodinamikës, ku me ndihmën e seksioneve konike mund të krijohen forma ideale të lëmuara të trupave të fortë.
Së dyti, seksionet konike janë trajektore përgjatë të cilave objektet hapësinore lëvizin në fusha gravitacionale. Çfarë lloji specifik i seksionit përfaqëson trajektoren e lëvizjes së trupave kozmikë të sistemit përcaktohet nga raporti i masave të tyre, shpejtësive absolute dhe distancave ndërmjet tyre.
