Në kursin shkollor të gjeometrisë së ngurtë, një nga figurat më të thjeshta që ka dimensione jo zero përgjatë tre akseve hapësinore është një prizëm katërkëndor. Konsideroni në artikull se çfarë lloj figure është, nga cilat elementë përbëhet dhe gjithashtu si mund të llogarisni sipërfaqen dhe vëllimin e saj.
Koncepti i një prizmi
Në gjeometri, një prizëm është një figurë hapësinore, e cila formohet nga dy baza identike dhe sipërfaqe anësore që lidhin anët e këtyre bazave. Vini re se të dy bazat shndërrohen në njëra-tjetrën duke përdorur funksionin e përkthimit paralel nga disa vektorë. Ky caktim i prizmit çon në faktin se të gjitha anët e tij janë gjithmonë paralelograme.
Numri i anëve të bazës mund të jetë arbitrar, duke filluar nga tre. Kur ky numër tenton në pafundësi, prizmi kthehet pa probleme në një cilindër, pasi baza e tij bëhet rreth dhe paralelogramet anësore, duke u lidhur, formojnë një sipërfaqe cilindrike.
Ashtu si çdo shumëfaqësh, një prizëm karakterizohet ngaanët (rrafshet që lidhin figurën), skajet (segmentet përgjatë të cilave kryqëzohen çdo dy anë) dhe kulmet (pikat e takimit të tre anëve, për një prizëm dy prej tyre janë anësore dhe e treta është baza). Sasitë e tre elementëve të emërtuar të figurës ndërlidhen me shprehjen e mëposhtme:
P=C + B - 2
Këtu P, C dhe B janë respektivisht numri i skajeve, anëve dhe kulmeve. Kjo shprehje është shënimi matematikor i teoremës së Euler-it.
Figura e mësipërme tregon dy prizma. Në bazën e njërit prej tyre (A) shtrihet një gjashtëkëndësh i rregullt, dhe anët anësore janë pingul me bazat. Figura B tregon një prizëm tjetër. Anët e tij nuk janë më pingul me bazat dhe baza është një pesëkëndësh i rregullt.
Çfarë është një prizëm katërkëndor?
Siç është e qartë nga përshkrimi i mësipërm, lloji i prizmit përcaktohet kryesisht nga lloji i shumëkëndëshit që formon bazën (të dyja bazat janë të njëjta, kështu që mund të flasim për njërën prej tyre). Nëse ky shumëkëndësh është një paralelogram, atëherë marrim një prizëm katërkëndor. Kështu, të gjitha anët e këtij lloji të prizmit janë paralelograme. Një prizëm katërkëndor ka emrin e vet - një paralelipiped.
Numri i brinjëve të një paralelipipedi është gjashtë, dhe secila anë ka një paralele të ngjashme me të. Meqenëse bazat e kutisë janë dy anë, katër të tjerat janë anësore.
Numri i kulmeve të paralelopipedit është tetë, gjë që mund të shihet lehtë nëse kujtojmë se kulmet e prizmit formohen vetëm në kulmet e shumëkëndëshave bazë (4x2=8). Duke zbatuar teoremën e Euler-it, marrim numrin e skajeve:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Nga 12 brinjë, vetëm 4 janë formuar në mënyrë të pavarur nga anët. 8 të tjerat shtrihen në rrafshet e bazave të figurës.
Më tej në artikull do të flasim vetëm për prizmat katërkëndësh.
Llojet e paralelopipedëve
Lloji i parë i klasifikimit është veçoritë e paralelogramit në themel. Mund të duket kështu:
- e rregullt, këndet e së cilës nuk janë të barabarta me 90o;
- drejtkëndësh;
- një katror është një katërkëndësh i rregullt.
Lloji i dytë i klasifikimit është këndi në të cilin ana kalon bazën. Dy raste të ndryshme janë të mundshme këtu:
- ky kënd nuk është i drejtë, atëherë prizmi quhet i zhdrejtë ose i zhdrejtë;
- këndi është 90o, atëherë një prizëm i tillë është drejtkëndor ose thjesht i drejtë.
Lloji i tretë i klasifikimit lidhet me lartësinë e prizmit. Nëse prizmi është drejtkëndor, dhe baza është ose katror ose drejtkëndësh, atëherë quhet kuboid. Nëse ka një katror në bazë, prizmi është drejtkëndor dhe lartësia e tij është e barabartë me gjatësinë e anës së katrorit, atëherë marrim figurën e njohur kubike.
Sipërfaqja dhe sipërfaqja e prizmit
Sellë e të gjitha pikave që shtrihen në dy baza të një prizmi(paralelogramë) dhe në anët e saj (katër paralelogramë) formojnë sipërfaqen e figurës. Sipërfaqja e kësaj sipërfaqeje mund të llogaritet duke llogaritur sipërfaqen e bazës dhe këtë vlerë për sipërfaqen anësore. Atëherë shuma e tyre do të japë vlerën e dëshiruar. Matematikisht, kjo shkruhet si më poshtë:
S=2So+ Sb
Këtu So dhe Sb janë respektivisht sipërfaqja e bazës dhe e sipërfaqes anësore. Numri 2 para So shfaqet sepse ka dy baza.
Vini re se formula e shkruar është e vlefshme për çdo prizëm, dhe jo vetëm për sipërfaqen e një prizmi katërkëndor.
Është e dobishme të kujtojmë se sipërfaqja e një paralelogrami Sp llogaritet me formulën:
Sp=ah
Ku simbolet a dhe h tregojnë përkatësisht gjatësinë e njërës anë të saj dhe lartësinë e tërhequr në këtë anë.
Sipërfaqja e një prizmi drejtkëndor me bazë katror
Në një prizëm të rregullt katërkëndor, baza është një katror. Për saktësi, ne e shënojmë anën e saj me shkronjën a. Për të llogaritur sipërfaqen e një prizmi të rregullt katërkëndor, duhet të dini lartësinë e tij. Sipas përcaktimit për këtë sasi, është e barabartë me gjatësinë e pingulit të rënë nga një bazë në tjetrën, domethënë e barabartë me distancën midis tyre. Le ta shënojmë me shkronjën h. Meqenëse të gjitha faqet anësore janë pingul me bazat për llojin e prizmit në shqyrtim, lartësia e një prizmi të rregullt katërkëndor do të jetë e barabartë me gjatësinë e skajit të tij anësor.
BFormula e përgjithshme për sipërfaqen e një prizmi është dy terma. Sipërfaqja e bazës në këtë rast është e lehtë për t'u llogaritur, është e barabartë me:
So=a2
Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore, argumentojmë si më poshtë: kjo sipërfaqe formohet nga 4 drejtkëndësha identikë. Për më tepër, anët e secilës prej tyre janë të barabarta me a dhe h. Kjo do të thotë se zona e Sb do të jetë e barabartë me:
Sb=4ah
Vini re se produkti 4a është perimetri i bazës katrore. Nëse e përgjithësojmë këtë shprehje në rastin e një baze arbitrare, atëherë për një prizëm drejtkëndor sipërfaqja anësore mund të llogaritet si më poshtë:
Sb=Poh
Ku Po është perimetri i bazës.
Duke iu rikthyer problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një prizmi të rregullt katërkëndor, mund të shkruajmë formulën përfundimtare:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Sipërfaqja e një paralelipipedi të pjerrët
Llogaritja e tij është disi më e vështirë sesa për një drejtkëndëshe. Në këtë rast, zona e bazës së një prizmi katërkëndor llogaritet duke përdorur të njëjtën formulë si për një paralelogram. Ndryshimet kanë të bëjnë me mënyrën e përcaktimit të sipërfaqes anësore.
Për ta bërë këtë, përdorni të njëjtën formulë përmes perimetrit siç është dhënë në paragrafin e mësipërm. Vetëm tani do të ketë shumëzues paksa të ndryshëm. Formula e përgjithshme për Sb në rastin e një prizmi të zhdrejtë është:
Sb=Psrc
Këtu c është gjatësia e skajit anësor të figurës. Vlera Psr është perimetri i fetës drejtkëndore. Ky mjedis ndërtohet si më poshtë: është e nevojshme që të gjitha faqet anësore të priten me një rrafsh në mënyrë që të jetë pingul me të gjitha. Drejtkëndëshi që rezulton do të jetë prerja e dëshiruar.
Figura e mësipërme tregon një shembull të një kutie të zhdrejtë. Seksioni i tij i çelur kryq formon kënde të drejta me anët. Perimetri i seksionit është Psr. Formohet nga katër lartësi paralelogramesh anësore. Për këtë prizëm katërkëndor, sipërfaqja anësore llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme.
Gjatësia e diagonales së një kuboidi
Diagonalja e një paralelipipedi është një segment që lidh dy kulme që nuk kanë brinjë të përbashkëta që i formojnë ato. Ekzistojnë vetëm katër diagonale në çdo prizëm katërkëndor. Për një kuboid me një drejtkëndësh në bazën e tij, gjatësitë e të gjitha diagonaleve janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Figura më poshtë tregon figurën përkatëse. Segmenti i kuq është diagonalja e tij.
Llogaritja e gjatësisë së saj është shumë e thjeshtë, nëse ju kujtohet teorema e Pitagorës. Çdo student mund të marrë formulën e dëshiruar. Ka formën e mëposhtme:
D=√(A2+ B2 + C2)
Këtu D është gjatësia e diagonales. Karakteret e mbetura janë gjatësia e anëve të kutisë.
Shumë njerëz ngatërrojnë diagonalen e një paralelipipedi me diagonalet e brinjëve të tij. Më poshtë është një foto ku ngjyrasegmentet paraqesin diagonalet e brinjëve të figurës.
Gjatësia e secilës prej tyre përcaktohet gjithashtu nga teorema e Pitagorës dhe është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të gjatësisë së anëve përkatëse.
Vëllimi i prizmit
Përveç sipërfaqes së një prizmi të rregullt katërkëndor ose llojeve të tjera të prizmave, për të zgjidhur disa probleme gjeometrike, duhet të dini edhe vëllimin e tyre. Kjo vlerë për absolutisht çdo prizëm llogaritet me formulën e mëposhtme:
V=Soh
Nëse prizmi është drejtkëndor, atëherë mjafton të llogarisim sipërfaqen e bazës së tij dhe ta shumëzojmë me gjatësinë e skajit të anës për të marrë vëllimin e figurës.
Nëse prizmi është një prizëm i rregullt katërkëndor, atëherë vëllimi i tij do të jetë:
V=a2h.
Është e lehtë të shihet se kjo formulë është shndërruar në një shprehje për vëllimin e një kubi nëse gjatësia e skajit anësor h është e barabartë me anën e bazës a.
Problem me një kuboid
Për të konsoliduar materialin e studiuar do të zgjidhim problemin e mëposhtëm: ka një paralelipiped drejtkëndor, brinjët e të cilit janë 3 cm, 4 cm dhe 5 cm. Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja, gjatësia diagonale dhe vëllimi.
Për definicion, do të supozojmë se baza e figurës është një drejtkëndësh me brinjë 3 cm dhe 4 cm. Atëherë sipërfaqja e saj është 12 cm2 dhe periudha është 14 cm. Duke përdorur formulën për sipërfaqen e prizmit, marrim:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Për të përcaktuar gjatësinë e diagonales dhe vëllimin e figurës, mund të përdorni drejtpërdrejt shprehjet e mësipërme:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem me një paralelipiped të zhdrejtë
Figura më poshtë tregon një prizëm të zhdrejtë. Anët e saj janë të barabarta: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Duhet të gjeni sipërfaqen e kësaj figure.
Së pari, le të përcaktojmë sipërfaqen e bazës. Figura tregon se këndi akut është 50o. Atëherë zona e saj është:
So=ha=mëkat(50o)ba
Për të përcaktuar sipërfaqen e sipërfaqes anësore, duhet të gjeni perimetrin e drejtkëndëshit të hijezuar. Brinjët e këtij drejtkëndëshi janë asin(45o) dhe bsin(60o). Atëherë perimetri i këtij drejtkëndëshi është:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Sipërfaqja e përgjithshme e kësaj kutie është:
S=2So+ Sb=2(mëkat(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Zëvendësojmë të dhënat nga kushti i problemit me gjatësitë e brinjëve të figurës, marrim përgjigjen:
S=458, 5496 cm3
Nga zgjidhja e këtij problemi shihet se funksionet trigonometrike përdoren për të përcaktuar sipërfaqet e figurave të zhdrejta.
