Teoria e probabilitetit është një degë e veçantë e matematikës, e cila studiohet vetëm nga studentët e institucioneve të arsimit të lartë. A ju pëlqejnë llogaritjet dhe formulat? A nuk keni frikë nga perspektiva e njohjes me shpërndarjen normale, entropinë e ansamblit, pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete? Atëherë kjo temë do të jetë me interes të madh për ju. Le të njihemi me disa nga konceptet bazë më të rëndësishme të këtij seksioni të shkencës.
Kujtoni bazat
Edhe nëse mbani mend konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit, mos i neglizhoni paragrafët e parë të artikullit. Fakti është se pa një kuptim të qartë të bazave, nuk do të jeni në gjendje të punoni me formulat e diskutuara më poshtë.
Pra, ka një ngjarje të rastësishme, një eksperiment. Si rezultat i veprimeve të kryera, ne mund të marrim disa rezultate - disa prej tyre janë më të zakonshme, të tjera më pak të zakonshme. Probabiliteti i një ngjarjeje është raporti i numrit të rezultateve të pranuara në të vërtetë të një lloji me numrin total të atyre të mundshme. Vetëm duke ditur përkufizimin klasik të këtij koncepti, mund të filloni të studioni pritshmërinë matematikore dhe variancën e vazhdueshmevariabla të rastësishme.
Mesatarja aritmetike
Edhe në shkollë, në mësimet e matematikës, keni filluar të punoni me mesataren aritmetike. Ky koncept përdoret gjerësisht në teorinë e probabilitetit dhe për këtë arsye nuk mund të injorohet. Gjëja kryesore për ne për momentin është se do ta hasim në formulat për pritjen matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme.
Ne kemi një sekuencë numrash dhe duam të gjejmë mesataren aritmetike. Gjithçka që kërkohet nga ne është të përmbledhim gjithçka në dispozicion dhe të pjesëtojmë me numrin e elementeve në sekuencë. Le të kemi numrat nga 1 deri në 9. Shuma e elementeve do të jetë 45 dhe këtë vlerë do ta ndajmë me 9. Përgjigja: - 5.
Dispersion
Në aspektin shkencor, varianca është katrori mesatar i devijimeve të vlerave të veçorive të marra nga mesatarja aritmetike. Njëra shënohet me shkronjën latine të madhe D. Çfarë nevojitet për ta llogaritur? Për secilin element të sekuencës, ne llogarisim ndryshimin midis numrit të disponueshëm dhe mesatares aritmetike dhe e katrorojmë atë. Do të ketë saktësisht aq vlera sa mund të ketë rezultate për ngjarjen që po shqyrtojmë. Më pas, ne përmbledhim gjithçka që kemi marrë dhe e ndajmë me numrin e elementeve në sekuencë. Nëse kemi pesë rezultate të mundshme, atëherë pjesëtojeni me pesë.
Dispersioni gjithashtu ka veti që duhet t'i mbani mend për ta zbatuar atë gjatë zgjidhjes së problemeve. Për shembull, nëse ndryshorja e rastësishme rritet me X herë, varianca rritet me X herë katrori (d.m.th., XX). Nuk është kurrë më pak se zero dhe nuk varet ngaduke zhvendosur vlerat me një vlerë të barabartë lart ose poshtë. Gjithashtu, për provat e pavarura, varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave.
Tani patjetër duhet të shqyrtojmë shembuj të variancës së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe të pritshmërisë matematikore.
Supozoni se kemi kryer 21 eksperimente dhe kemi marrë 7 rezultate të ndryshme. Ne vëzhguam secilën prej tyre, përkatësisht, 1, 2, 2, 3, 4, 4 dhe 5 herë. Cila do të jetë varianca?
Së pari, le të llogarisim mesataren aritmetike: shuma e elementeve, natyrisht, është 21. Pjestojeni me 7, duke marrë 3. Tani zbrisni 3 nga secili numër në sekuencën origjinale, katrore secilën vlerë dhe shtoni rezultatet së bashku. Rezulton 12. Tani na mbetet ta ndajmë numrin me numrin e elementeve dhe, me sa duket, kjo është e gjitha. Por ka një kapje! Le ta diskutojmë.
varësia nga numri i eksperimenteve
Rezulton se kur llogaritet varianca, emëruesi mund të jetë një nga dy numrat: ose N ose N-1. Këtu N është numri i eksperimenteve të kryera ose numri i elementeve në sekuencë (i cili, në fakt, është i njëjtë). Nga çfarë varet?
Nëse numri i testeve matet me qindra, atëherë duhet të vendosim në emërues N. Nëse në njësi, atëherë N-1. Shkencëtarët vendosën ta vizatojnë kufirin në mënyrë mjaft simbolike: sot ai shkon përgjatë numrit 30. Nëse kryenim më pak se 30 eksperimente, atëherë do ta ndajmë sasinë me N-1, dhe nëse më shumë, atëherë me N.
Detyra
Le të kthehemi te shembulli ynë i zgjidhjes së problemit të variancës dhe pritshmërisë. nemori një numër të ndërmjetëm prej 12, i cili duhej pjesëtuar me N ose N-1. Meqenëse kemi kryer 21 eksperimente, që janë më pak se 30, ne do të zgjedhim opsionin e dytë. Pra përgjigja është: varianca është 12/2=2.
Pritje
Le të kalojmë te koncepti i dytë, të cilin duhet ta konsiderojmë në këtë artikull. Pritshmëria matematikore është rezultat i shtimit të të gjitha rezultateve të mundshme të shumëzuara me probabilitetet përkatëse. Është e rëndësishme të kuptohet se vlera rezultuese, si dhe rezultati i llogaritjes së variancës, merret vetëm një herë për të gjithë detyrën, pavarësisht sa rezultate merr në konsideratë.
Formula e pritjes është mjaft e thjeshtë: marrim një rezultat, e shumëzojmë me probabilitetin e tij, e shtojmë të njëjtën gjë për rezultatin e dytë, të tretë, etj. Gjithçka që lidhet me këtë koncept është e lehtë për t'u llogaritur. Për shembull, shuma e pritjeve matematikore është e barabartë me pritjet matematikore të shumës. E njëjta gjë vlen edhe për veprën. Jo çdo sasi në teorinë e probabilitetit lejon që të kryhen operacione të tilla të thjeshta. Le të marrim një detyrë dhe të llogarisim vlerën e dy koncepteve që kemi studiuar njëherësh. Përveç kësaj, ne ishim të hutuar nga teoria - është koha për të praktikuar.
Një shembull tjetër
Kemi kryer 50 prova dhe kemi marrë 10 lloje rezultatesh - numra nga 0 në 9 - që shfaqen në përqindje të ndryshme. Këto janë, përkatësisht: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Kujtojmë që për të marrë probabilitetet, duhet të ndani vlerat e përqindjes me 100. Kështu, marrim 0.02; 0, 1, etj. Le të përfaqësojmë për variancën e një rastësievlera dhe pritshmëria matematikore shembull i zgjidhjes së problemit.
Llogaritni mesataren aritmetike duke përdorur formulën që mbajmë mend nga shkolla fillore: 50/10=5.
Tani le t'i përkthejmë probabilitetet në numrin e rezultateve "në copa" për ta bërë më të lehtë numërimin. Marrim 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dhe 9. Nga secila vlerë e përftuar zbresim mesataren aritmetike, pas së cilës ne katrorim secilin prej rezultateve të fituara. Shihni si ta bëni këtë duke përdorur elementin e parë si shembull: 1 - 5=(-4). Më tej: (-4)(-4)=16. Për vlerat e tjera, bëni vetë këto veprime. Nëse keni bërë gjithçka siç duhet, atëherë pasi të keni shtuar të gjitha rezultatet e ndërmjetme do të merrni 90.
Vazhdoni llogaritjen e variancës dhe mesatares duke pjesëtuar 90 me N. Pse zgjedhim N dhe jo N-1? Kjo është e drejtë, sepse numri i eksperimenteve të kryera i kalon 30. Pra: 90/10=9. Ne morëm dispersionin. Nëse merrni një numër tjetër, mos u dëshpëroni. Me shumë mundësi, keni bërë një gabim banal në llogaritjet. Kontrollo dy herë atë që ke shkruar dhe gjithçka me siguri do të bjerë në vend.
Më në fund, le të kujtojmë formulën e pritjes. Ne nuk do t'i japim të gjitha llogaritjet, do të shkruajmë vetëm përgjigjen me të cilën mund të kontrolloni pasi të keni përfunduar të gjitha procedurat e kërkuara. Pritshmëria do të jetë e barabartë me 5, 48. Kujtojmë vetëm se si të kryejmë operacionet, duke përdorur shembullin e elementeve të parë: 00, 02 + 10, 1… e kështu me radhë. Siç mund ta shihni, ne thjesht shumëzojmë vlerën e rezultatit me probabilitetin e tij.
Devijim
Një koncept tjetër i lidhur ngushtë me variancën dhe vlerën e pritur ështëdevijimi standard. Ai shënohet ose me shkronjat latine sd, ose me germën e vogël greke "sigma". Ky koncept tregon se si, mesatarisht, vlerat devijojnë nga tipari qendror. Për të gjetur vlerën e tij, duhet të llogaritni rrënjën katrore të variancës.
Nëse ndërtoni një grafik të një shpërndarjeje normale dhe dëshironi të shihni vlerën e devijimit standard drejtpërdrejt në të, kjo mund të bëhet në disa faza. Merrni gjysmën e figurës në të majtë ose të djathtë të modalitetit (vlera qendrore), vizatoni një pingul me boshtin horizontal në mënyrë që zonat e figurave që rezultojnë të jenë të barabarta. Vlera e segmentit ndërmjet mesit të shpërndarjes dhe projeksionit që rezulton në boshtin horizontal do të jetë devijimi standard.
Softuer
Siç mund ta shihni nga përshkrimet e formulave dhe shembujve të paraqitur, llogaritja e variancës dhe pritshmërisë matematikore nuk është procedura më e lehtë nga pikëpamja aritmetike. Për të mos humbur kohë, ka kuptim të përdorni programin e përdorur në arsimin e lartë - quhet "R". Ka funksione që ju lejojnë të llogaritni vlerat për shumë koncepte nga statistikat dhe teoria e probabilitetit.
Për shembull, ju përcaktoni një vektor vlerash. Kjo bëhet si më poshtë: vektori <-c(1, 5, 2…). Tani, kur duhet të llogaritni disa vlera për këtë vektor, shkruani një funksion dhe e jepni si argument. Për të gjetur variancën, do t'ju duhet të përdorni var. Një shembull i sajpërdorimi: var(vektor). Pastaj thjesht shtypni "enter" dhe merrni rezultatin.
Në përfundim
Varianca dhe pritshmëria matematikore janë konceptet bazë të teorisë së probabilitetit, pa të cilat është e vështirë të llogaritet diçka në të ardhmen. Në kursin kryesor të leksioneve në universitete, ato konsiderohen tashmë në muajt e parë të studimit të lëndës. Është pikërisht për shkak të mungesës së të kuptuarit të këtyre koncepteve të thjeshta dhe pamundësisë për t'i llogaritur ato që shumë studentë fillojnë menjëherë të mbeten prapa në program dhe më vonë marrin nota të dobëta në fund të seancës, gjë që i privon nga bursa.
Praktikoni të paktën një javë për gjysmë ore në ditë, duke zgjidhur probleme të ngjashme me ato të paraqitura në këtë artikull. Më pas, në çdo test të teorisë së probabilitetit do të përballeni me shembuj pa këshilla të jashtme dhe fletë mashtrimi.
