Është e pamundur që shumë njerëz të mendojnë nëse është e mundur të llogariten ngjarje që janë pak a shumë të rastësishme. Me fjalë të thjeshta, a është realiste të dimë se cila anë e zarit do të bjerë më pas. Ishte kjo pyetje që bënë dy shkencëtarë të mëdhenj, të cilët hodhën themelet për një shkencë të tillë si teoria e probabilitetit, në të cilën probabiliteti i një ngjarjeje studiohet mjaft gjerësisht.
Origjina
Nëse përpiqeni të përcaktoni një koncept të tillë si teoria e probabilitetit, do të merrni sa vijon: kjo është një nga degët e matematikës që studion qëndrueshmërinë e ngjarjeve të rastësishme. Natyrisht, ky koncept nuk zbulon në të vërtetë të gjithë thelbin, ndaj është e nevojshme ta shqyrtojmë atë më në detaje.
Do të doja të filloja me krijuesit e teorisë. Siç u përmend më lart, kishte dy prej tyre, këta janë Pierre Fermat dhe Blaise Pascal. Ishin ata që ishin ndër të parët që u përpoqën të llogaritnin rezultatin e një ngjarjeje duke përdorur formula dhe llogaritjet matematikore. Në përgjithësi, bazat e kësaj shkence u shfaqën që në fillimMesjeta. Në atë kohë, mendimtarë dhe shkencëtarë të ndryshëm u përpoqën të analizonin lojërat e fatit, të tilla si ruleta, katrahurat, e kështu me radhë, duke krijuar kështu një model dhe përqindje të rënies së një numri të caktuar. Themeli u hodh në shekullin e shtatëmbëdhjetë nga shkencëtarët e lartpërmendur.
Në fillim, puna e tyre nuk mund t'i atribuohej arritjeve të mëdha në këtë fushë, sepse gjithçka që ata bënë ishin thjesht fakte empirike, dhe eksperimentet u vendosën vizualisht, pa përdorimin e formulave. Me kalimin e kohës, rezultoi të arrinte rezultate të shkëlqyera, të cilat u shfaqën si rezultat i vëzhgimit të hedhjes së zarit. Ishte ky mjet që ndihmoi në nxjerrjen e formulave të para të kuptueshme.
Asociates
Është e pamundur të mos përmendet një person i tillë si Christian Huygens, në procesin e studimit të një teme të quajtur "teoria e probabilitetit" (probabiliteti i një ngjarjeje mbulohet pikërisht në këtë shkencë). Ky person është shumë interesant. Ai, si shkencëtarët e paraqitur më lart, u përpoq të nxirrte rregullsinë e ngjarjeve të rastësishme në formën e formulave matematikore. Vlen të përmendet se ai nuk e bëri këtë së bashku me Pascal dhe Fermat, domethënë, të gjitha veprat e tij nuk kryqëzoheshin në asnjë mënyrë me këto mendje. Huygens nxori konceptet bazë të teorisë së probabilitetit.
Një fakt interesant është se vepra e tij doli shumë përpara rezultateve të punës së pionierëve, ose më mirë, njëzet vjet më parë. Ndër konceptet e përcaktuara, më të famshmit janë:
- koncepti i probabilitetit si një madhësi e rastësisë;
- pritje për diskreteraste;
- teorema të shumëzimit dhe mbledhjes së probabiliteteve.
Është gjithashtu e pamundur të mos kujtohet Jacob Bernoulli, i cili gjithashtu dha një kontribut të rëndësishëm në studimin e problemit. Duke kryer testet e tij, pavarësisht nga askush, ai arriti të paraqesë një provë të ligjit të numrave të mëdhenj. Nga ana tjetër, shkencëtarët Poisson dhe Laplace, të cilët punuan në fillim të shekullit të nëntëmbëdhjetë, ishin në gjendje të vërtetonin teoremat origjinale. Ishte që nga ky moment që teoria e probabilitetit filloi të përdoret për të analizuar gabimet gjatë vëzhgimeve. Këtë shkencë nuk mund ta anashkalonin as shkencëtarët rusë, ose më saktë Markov, Chebyshev dhe Dyapunov. Në bazë të punës së bërë nga gjenitë e mëdhenj, ata e fiksuan këtë lëndë si degë të matematikës. Këto shifra funksionuan tashmë në fund të shekullit të nëntëmbëdhjetë, dhe falë kontributit të tyre, fenomene të tilla si:
- ligji i numrave të mëdhenj;
- Teoria e zinxhirit Markov;
- teorema e kufirit qendror.
Pra, me historinë e lindjes së shkencës dhe me njerëzit kryesorë që ndikuan në të, gjithçka është pak a shumë e qartë. Tani është koha për të konkretizuar të gjitha faktet.
Konceptet themelore
Përpara se të prekim ligjet dhe teoremat, ia vlen të studiojmë konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ngjarja merr rolin kryesor në të. Kjo temë është mjaft voluminoze, por pa të nuk do të jetë e mundur të kuptohet gjithçka tjetër.
Një ngjarje në teorinë e probabilitetit është çdo grup rezultatesh të një eksperimenti. Nuk ka aq shumë koncepte të këtij fenomeni. Pra, shkencëtari Lotman,duke punuar në këtë fushë, tha se në këtë rast po flasim për diçka që "ka ndodhur, megjithëse mund të mos kishte ndodhur".
Ngjarjet e rastësishme (teoria e probabilitetit u kushton vëmendje të veçantë) është një koncept që nënkupton absolutisht çdo fenomen që ka aftësinë të ndodhë. Ose, anasjelltas, ky skenar mund të mos ndodhë kur plotësohen shumë kushte. Vlen gjithashtu të dihet se janë ngjarje të rastësishme ato që kapin të gjithë vëllimin e fenomeneve që kanë ndodhur. Teoria e probabilitetit tregon se të gjitha kushtet mund të përsëriten vazhdimisht. Ishte sjellja e tyre që quhej "përvojë" ose "test".
Një ngjarje e caktuar është ajo që do të ndodhë 100% në një test të caktuar. Prandaj, një ngjarje e pamundur është ajo që nuk do të ndodhë.
Kombinimi i një çifti veprimesh (konvencionalisht rasti A dhe rasti B) është një fenomen që ndodh njëkohësisht. Ato janë caktuar si AB.
Shuma e çifteve të ngjarjeve A dhe B është C, me fjalë të tjera, nëse të paktën njëra prej tyre ndodh (A ose B), atëherë do të merret C. Formula e fenomenit të përshkruar shkruhet si më poshtë: C=A + B.
Ngjarjet e ndara në teorinë e probabilitetit nënkuptojnë se dy raste janë reciprokisht ekskluzive. Ato nuk mund të ndodhin kurrë në të njëjtën kohë. Ngjarjet e përbashkëta në teorinë e probabilitetit janë antipodi i tyre. Kjo nënkupton që nëse A ka ndodhur, atëherë nuk ndërhyn me B.
Ngjarjet e kundërta (teoria e probabilitetit i trajton ato në detaje) janë të lehta për t'u kuptuar. Është më mirë të merreni me to në krahasim. Ato janë pothuajse të njëjta sidhe ngjarjet e papajtueshme në teorinë e probabilitetit. Por ndryshimi i tyre qëndron në faktin se një nga fenomenet e shumta duhet të ndodhë gjithsesi.
Ngjarjet ekuivalente janë ato veprime, mundësia e të cilave është e barabartë. Për ta bërë më të qartë, ne mund të imagjinojmë hedhjen e një monedhe: rënia e njërës anë të saj ka po aq gjasa të bjerë edhe nga ana tjetër.
Ngjarja e mbarë është më e lehtë për t'u parë me një shembull. Le të themi se ka episodin B dhe episodin A. E para është hedhja e zarit me shfaqjen e një numri tek, dhe e dyta është shfaqja e numrit pesë në peshore. Pastaj rezulton se A favorizon B.
Ngjarjet e pavarura në teorinë e probabilitetit projektohen vetëm në dy ose më shumë raste dhe nënkuptojnë pavarësinë e çdo veprimi nga një tjetër. Për shembull, A është humbja e bishtave kur hidhet një monedhë, dhe B është tërheqja e një krike nga kuverta. Ato janë ngjarje të pavarura në teorinë e probabilitetit. Me këtë moment u bë më e qartë.
Ngjarjet e varura në teorinë e probabilitetit janë gjithashtu të pranueshme vetëm për grupin e tyre. Ato nënkuptojnë varësinë e njërës nga tjetra, domethënë, fenomeni B mund të ndodhë vetëm nëse A ka ndodhur tashmë ose, përkundrazi, nuk ka ndodhur, kur ky është kushti kryesor për B.
Rezultati i një eksperimenti të rastësishëm i përbërë nga një komponent është ngjarje elementare. Teoria e probabilitetit shpjegon se ky është një fenomen që ka ndodhur vetëm një herë.
Formulat bazë
Pra, konceptet e "ngjarjes", "teorisë së probabilitetit",u dha edhe përkufizimi i termave bazë të kësaj shkence. Tani është koha për t'u njohur drejtpërdrejt me formulat e rëndësishme. Këto shprehje konfirmojnë matematikisht të gjitha konceptet kryesore në një temë kaq të vështirë si teoria e probabilitetit. Mundësia e një ngjarjeje gjithashtu luan një rol të madh këtu.
Më mirë filloni me formulat bazë të kombinatorikës. Dhe para se të vazhdoni me to, ia vlen të mendoni se çfarë është.
Kombinatorika është kryesisht një degë e matematikës, ajo merret me studimin e një numri të madh të numrave të plotë, si dhe me ndërrime të ndryshme si të vetë numrave ashtu edhe të elementeve të tyre, të dhëna të ndryshme, etj., duke çuar në shfaqjen e një sërë kombinimesh. Përveç teorisë së probabilitetit, kjo degë është e rëndësishme për statistikat, shkencat kompjuterike dhe kriptografinë.
Pra tani mund të kalojmë në paraqitjen e vetë formulave dhe përcaktimin e tyre.
E para do të jetë shprehja për numrin e permutacioneve, duket kështu:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Ekuacioni zbatohet vetëm nëse elementët ndryshojnë vetëm sipas renditjes.
Tani formula e vendosjes do të merret parasysh, duket kështu:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Kjo shprehje vlen jo vetëm për rendin e elementit, por edhe për përbërjen e tij.
Ekuacioni i tretë nga kombinatorika, dhe është gjithashtu i fundit, quhet formula për numrin e kombinimeve:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinimet janë përzgjedhje që nuk janë të renditura, përkatësisht, dhe ky rregull vlen për to.
Doli të ishte e lehtë të kuptosh formulat e kombinatorikës, tani mund të kalojmë në përkufizimin klasik të probabiliteteve. Kjo shprehje duket si kjo:
P(A)=m: n.
Në këtë formulë, m është numri i kushteve të favorshme për ngjarjen A dhe n është numri i absolutisht të gjitha rezultateve elementare dhe po aq të mundshme.
Ka një numër të madh shprehjesh, artikulli nuk do t'i mbulojë të gjitha, por do të preket më e rëndësishmja, si p.sh., probabiliteti i shumës së ngjarjeve:
P(A + B)=P(A) + P(B) - kjo teoremë është për të shtuar vetëm ngjarje të papajtueshme;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - dhe kjo është për të shtuar vetëm ato të përputhshme.
Probabiliteti i prodhimit të ngjarjeve:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – kjo teoremë është për ngjarje të pavarura;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - dhe kjo është për të varur.
Formula e ngjarjes përfundon listën. Teoria e probabilitetit na tregon për teoremën e Bayes, e cila duket kështu:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Në këtë formulë, H1, H2, …, H është grup i plotë hipotezash.
Le të ndalemi këtu, atëherë do të shqyrtohen shembuj të aplikimit të formulave për zgjidhjen e problemeve specifike nga praktika.
Shembuj
Nëse studioni me kujdes ndonjë seksionmatematikë, nuk bën pa ushtrime dhe zgjidhje mostrash. Kështu është edhe teoria e probabilitetit: ngjarjet, shembujt këtu janë një komponent integral që konfirmon llogaritjet shkencore.
Formula për numrin e permutacioneve
Le të themi se ka tridhjetë letra në një kuvertë letrash, duke filluar me vlerën nominale një. Pyetja e radhës. Sa mënyra ka për të grumbulluar kuvertën në mënyrë që letrat me vlerë nominale një dhe dy të mos jenë pranë njëra-tjetrës?
Detyra është vendosur, tani le të kalojmë në zgjidhjen e saj. Së pari ju duhet të përcaktoni numrin e permutacioneve të tridhjetë elementeve, për këtë marrim formulën e mësipërme, rezulton P_30=30!.
Bazuar në këtë rregull, do të zbulojmë se sa opsione ka për të palosur kuvertën në mënyra të ndryshme, por duhet të zbresim prej tyre ato në të cilat janë letrat e para dhe të dyta. Për ta bërë këtë, le të fillojmë me opsionin kur i pari është mbi të dytin. Rezulton se letra e parë mund të zërë njëzet e nëntë vende - nga e para në të njëzet e nëntën, dhe karta e dytë nga e dyta në të tridhjetin, rezulton njëzet e nëntë vende për një palë letra. Nga ana tjetër, pjesa tjetër mund të zërë njëzet e tetë vende, dhe në çdo mënyrë. Kjo do të thotë, për një ndryshim prej njëzet e tetë letrash, ka njëzet e tetë opsione P_28=28!
Si rezultat, rezulton se nëse marrim parasysh zgjidhjen kur letra e parë është mbi të dytin, ka 29 ⋅ 28 mundësi shtesë!=29!
Duke përdorur të njëjtën metodë, duhet të llogaritni numrin e opsioneve të tepërta për rastin kur karta e parë është nën të dytin. Gjithashtu rezulton 29 ⋅ 28!=29!
Si rrjedh se ka 2 ⋅ 29 opsione shtesë!, ndërsa ka 30 mënyra të nevojshme për të ndërtuar një kuvertë! - 2 ⋅ 29!. Mbetet vetëm për të numëruar.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Tani ju duhet të shumëzoni të gjithë numrat nga një në njëzet e nëntë së bashku dhe më pas në fund të shumëzoni gjithçka me 28. Përgjigja është 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Zgjidhja e shembullit. Formula për numrin e vendosjes
Në këtë problem, ju duhet të zbuloni se sa mënyra ka për të vendosur pesëmbëdhjetë vëllime në një raft, por me kusht që të ketë tridhjetë vëllime gjithsej.
Ky problem ka një zgjidhje pak më të lehtë se ai i mëparshmi. Duke përdorur formulën tashmë të njohur, është e nevojshme të llogaritet numri i përgjithshëm i vendndodhjeve nga tridhjetë vëllime prej pesëmbëdhjetë.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 … ⋅ 16=202 843 17020 204
Përgjigjja, përkatësisht, do të jetë 202 843 204 931 727 360 000.
Tani le ta marrim detyrën pak më të vështirë. Ju duhet të zbuloni se sa mënyra ka për të rregulluar tridhjetë libra në dy rafte librash, me kusht që vetëm pesëmbëdhjetë vëllime të mund të jenë në një raft.
Para se të filloj zgjidhjen, do të doja të sqaroja se disa probleme zgjidhen në disa mënyra, kështu që në këtë ka dy mënyra, por në të dyja përdoret e njëjta formulë.
Në këtë problem, ju mund të merrni përgjigjen nga ai i mëparshmi, sepse aty kemi llogaritur sa herë mund të mbushni një raft me pesëmbëdhjetë libra për-ndryshe. Doli A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Raftin e dytë do ta llogarisim duke përdorur formulën e ndërrimit, sepse në të janë vendosur pesëmbëdhjetë libra, ndërsa kanë mbetur vetëm pesëmbëdhjetë. Përdor formulën P_15=15!.
Rezulton se totali do të jetë A_30^15 ⋅ P_15 mënyra, por, përveç kësaj, prodhimi i të gjithë numrave nga tridhjetë në gjashtëmbëdhjetë do të duhet të shumëzohet me prodhimin e numrave nga një në pesëmbëdhjetë, si si rezultat, prodhimi i të gjithë numrave nga një deri në tridhjetë, kështu që përgjigja është 30!
Por ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër - më lehtë. Për ta bërë këtë, mund të imagjinoni se ka një raft për tridhjetë libra. Të gjitha janë vendosur në këtë aeroplan, por meqenëse gjendja kërkon që të ketë dy rafte, e presim një të gjatë në gjysmë, del dy pesëmbëdhjetë secila. Nga kjo rezulton se opsionet e vendosjes mund të jenë P_30=30!.
Zgjidhja e shembullit. Formula për numrin e kombinimit
Tani do të shqyrtojmë një variant të problemit të tretë nga kombinatorika. Duhet të zbulosh sa mënyra ka për të rregulluar pesëmbëdhjetë libra, me kusht që të duhet të zgjedhësh nga tridhjetë absolutisht identikë.
Për zgjidhjen, natyrisht, do të zbatohet formula për numrin e kombinimeve. Nga kushti bëhet e qartë se renditja e pesëmbëdhjetë librave identikë nuk është e rëndësishme. Prandaj, fillimisht duhet të zbuloni numrin total të kombinimeve të tridhjetë librave me pesëmbëdhjetë.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: pesëmbëdhjetë!=155 117 520
Kjo është ajo. Duke përdorur këtë formulë, në kohën më të shkurtër të mundshme u bë e mundurzgjidh një problem të tillë, përgjigja, përkatësisht, është 155 117 520.
Zgjidhja e shembullit. Përkufizimi klasik i probabilitetit
Me formulën e mësipërme, mund të gjeni përgjigjen për një problem të thjeshtë. Por do të ndihmojë për të parë dhe ndjekur vizualisht rrjedhën e veprimeve.
Në problem është dhënë se në urnë ka dhjetë topa absolutisht identikë. Prej tyre, katër janë të verdha dhe gjashtë janë blu. Një top merret nga urna. Duhet të zbuloni probabilitetin për t'u bërë blu.
Për të zgjidhur problemin, është e nevojshme të caktoni marrjen e topit blu si ngjarje A. Kjo përvojë mund të ketë dhjetë rezultate, të cilat, nga ana tjetër, janë elementare dhe po aq të mundshme. Në të njëjtën kohë, nga dhjetë, gjashtë janë të favorshme për ngjarjen A. Ne e zgjidhim sipas formulës:
P(A)=6: 10=0, 6
Duke zbatuar këtë formulë, zbuluam se probabiliteti për të marrë topin blu është 0.6.
Zgjidhja e shembullit. Probabiliteti i shumës së ngjarjeve
Tani do të paraqitet një variant, i cili zgjidhet duke përdorur formulën për probabilitetin e shumës së ngjarjeve. Pra, në gjendjen e dhënë që ka dy kuti, e para përmban një gri dhe pesë topa të bardhë, dhe e dyta përmban tetë topa gri dhe katër topa të bardhë. Si rezultat, njëra prej tyre u mor nga kutia e parë dhe e dytë. Ju duhet të zbuloni se cila është mundësia që topat që merrni të jenë gri dhe të bardhë.
Për të zgjidhur këtë problem, duhet të etiketoni ngjarjet.
- Pra, A - merrni një top gri nga kutia e parë: P(A)=1/6.
- A' - merrni një top të bardhë gjithashtu nga kutia e parë: P(A')=5/6.
- B - topi gri është hequr tashmë nga kutia e dytë: P(B)=2/3.
- B' – merrni një top gri nga kutia e dytë: P(B')=1/3.
Sipas gjendjes së problemit duhet të ndodhë një nga dukuritë: AB' ose A'B. Duke përdorur formulën, marrim: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Tani është përdorur formula e shumëzimit të probabilitetit. Më pas, për të gjetur përgjigjen, duhet të zbatoni ekuacionin për mbledhjen e tyre:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Kështu, duke përdorur formulën, mund të zgjidhni probleme të ngjashme.
Rezultati
Artikulli jepte informacion mbi temën "Teoria e probabilitetit", në të cilën probabiliteti i një ngjarjeje luan një rol vendimtar. Sigurisht, jo gjithçka u mor parasysh, por, bazuar në tekstin e paraqitur, teorikisht mund të njiheni me këtë pjesë të matematikës. Shkenca në fjalë mund të jetë e dobishme jo vetëm në punën profesionale, por edhe në jetën e përditshme. Me ndihmën e tij, ju mund të llogarisni çdo mundësi për çdo ngjarje.
Teksti preku gjithashtu data të rëndësishme në historinë e formimit të teorisë së probabilitetit si shkencë, dhe emrat e njerëzve, veprat e të cilëve u investuan në të. Kjo është mënyra se si kurioziteti njerëzor çoi në faktin që njerëzit mësuan të llogarisin edhe ngjarje të rastësishme. Dikur ata thjesht ishin të interesuar për të, por sot të gjithë tashmë e dinë për të. Dhe askush nuk do të thotë se çfarë na pret në të ardhmen, çfarë zbulimesh të tjera të shkëlqyera në lidhje me teorinë në shqyrtim do të bëhen. Por një gjë është e sigurt - kërkimi nuk qëndron ende!
