Statistikat matematikore janë një metodologji që ju lejon të merrni vendime të informuara përballë kushteve të pasigurta. Studimi i metodave për mbledhjen dhe sistemimin e të dhënave, përpunimin e rezultateve përfundimtare të eksperimenteve dhe eksperimenteve me rastësi masive dhe zbulimin e çdo modeli është ajo që bën kjo degë e matematikës. Merrni parasysh konceptet bazë të statistikave matematikore.
Diferenca me teorinë e probabilitetit
Metodat e statistikave matematikore kryqëzohen ngushtë me teorinë e probabilitetit. Të dy degët e matematikës merren me studimin e fenomeneve të shumta të rastësishme. Të dy disiplinat janë të lidhura me teorema kufitare. Megjithatë, ka një ndryshim të madh midis këtyre shkencave. Nëse teoria e probabilitetit përcakton karakteristikat e një procesi në botën reale në bazë të një modeli matematikor, atëherë statistikat matematikore bëjnë të kundërtën - ajo vendos vetitë e modelit nëbazuar në informacionin e vëzhguar.
Hapat
Zbatimi i statistikave matematikore mund të kryhet vetëm në lidhje me ngjarje ose procese të rastësishme, ose më mirë, me të dhënat e marra nga vëzhgimi i tyre. Dhe kjo ndodh në disa faza. Së pari, të dhënat e eksperimenteve dhe eksperimenteve i nënshtrohen përpunimit të caktuar. Ato janë porositur për qartësi dhe lehtësi analize. Pastaj bëhet një vlerësim i saktë ose i përafërt i parametrave të kërkuar të procesit të rastësishëm të vëzhguar. Ato mund të jenë:
- vlerësim i probabilitetit të një ngjarjeje (probabiliteti i saj fillimisht është i panjohur);
- studimi i sjelljes së një funksioni të shpërndarjes së pacaktuar;
- vlerësimi i pritjeve;
- vlerësimi i variancës
- etj.
Faza e tretë është verifikimi i çdo hipoteze të vendosur përpara analizës, d.m.th., marrja e një përgjigjeje në pyetjen se si rezultatet e eksperimenteve korrespondojnë me llogaritjet teorike. Në fakt, kjo është faza kryesore e statistikave matematikore. Një shembull do të ishte të konsiderohej nëse sjellja e një procesi të rastësishëm të vëzhguar është brenda shpërndarjes normale.
Popullsia
Konceptet bazë të statistikave matematikore përfshijnë popullatat e përgjithshme dhe ato të mostrës. Kjo disiplinë ka të bëjë me studimin e një grupi objektesh të caktuara në lidhje me disa pronë. Një shembull është puna e një shoferi taksie. Merrni parasysh këto ndryshore të rastësishme:
- ngarkesa ose numri i klientëve: në ditë, para drekës, pas drekës, …;
- koha mesatare e udhëtimit;
- numri i aplikacioneve hyrëse ose bashkëngjitja e tyre në rrethet e qytetit dhe shumë më tepër.
Vlen gjithashtu të theksohet se është e mundur të studiohet një grup procesesh të rastësishme të ngjashme, të cilat gjithashtu do të jenë një ndryshore e rastësishme që mund të vëzhgohet.
Pra, në metodat e statistikave matematikore, i gjithë grupi i objekteve në studim ose rezultatet e vëzhgimeve të ndryshme që kryhen në të njëjtat kushte në një objekt të caktuar quhet popullata e përgjithshme. Me fjalë të tjera, matematikisht në mënyrë më strikte, është një ndryshore e rastësishme që përcaktohet në hapësirën e ngjarjeve elementare, me një klasë nënbashkësish të përcaktuara në të, elementët e të cilave kanë një probabilitet të njohur.
popullata e mostrës
Ka raste kur është e pamundur ose jopraktike për ndonjë arsye (kosto, kohë) të kryhet një studim i vazhdueshëm për të studiuar çdo objekt. Për shembull, hapja e çdo kavanozi me reçel të mbyllur për të kontrolluar cilësinë e tij është një vendim i dyshimtë dhe përpjekja për të vlerësuar trajektoren e secilës molekulë ajri në një metër kub është e pamundur. Në raste të tilla përdoret metoda e vëzhgimit selektiv: një numër i caktuar objektesh zgjidhen (zakonisht rastësisht) nga popullata e përgjithshme dhe ato i nënshtrohen analizës së tyre.
Këto koncepte mund të duken të ndërlikuara në fillim. Prandaj, për të kuptuar plotësisht temën, duhet të studioni librin shkollor nga V. E. Gmurman "Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore". Kështu, një grup ose kampion kampionimi është një seri objektesh të zgjedhura në mënyrë të rastësishme nga grupi i përgjithshëm. Në terma të rreptë matematikore, kjo është një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura, të shpërndara në mënyrë uniforme, për secilën prej të cilave shpërndarja përkon me atë të treguar për ndryshoren e përgjithshme të rastit.
Konceptet themelore
Le të shqyrtojmë shkurtimisht një sërë konceptesh të tjera bazë të statistikave matematikore. Numri i objekteve në popullatën e përgjithshme ose mostrën quhet vëllim. Vlerat e mostrës që përftohen gjatë eksperimentit quhen realizimi i mostrës. Në mënyrë që një vlerësim i popullatës së përgjithshme bazuar në një kampion të jetë i besueshëm, është e rëndësishme të kemi një të ashtuquajtur kampion përfaqësues ose përfaqësues. Kjo do të thotë që kampioni duhet të përfaqësojë plotësisht popullatën. Kjo mund të arrihet vetëm nëse të gjithë elementët e popullatës kanë një probabilitet të barabartë për të qenë në kampion.
Mostrat dallojnë midis kthimit dhe moskthimit. Në rastin e parë, në përmbajtjen e kampionit, elementi i përsëritur kthehet në grupin e përgjithshëm, në rastin e dytë, jo. Zakonisht, në praktikë, përdoret kampionimi pa zëvendësime. Duhet gjithashtu të theksohet se madhësia e popullatës së përgjithshme gjithmonë tejkalon ndjeshëm madhësinë e kampionit. ekzistojnëshumë opsione për procesin e kampionimit:
- e thjeshtë - artikujt zgjidhen rastësisht një nga një;
- të shtypur - popullsia e përgjithshme ndahet në lloje dhe nga secili bëhet një zgjedhje; një shembull është një anketë e banorëve: burra dhe gra veçmas;
- mekanike - për shembull, zgjidhni çdo element të 10-të;
- serial - përzgjedhja bëhet në seri elementësh.
Shpërndarja statistikore
Sipas Gmurman, teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore janë disiplina jashtëzakonisht të rëndësishme në botën shkencore, veçanërisht në pjesën praktike të saj. Merrni parasysh shpërndarjen statistikore të kampionit.
Supozojmë se kemi një grup nxënësish që janë testuar në matematikë. Si rezultat, ne kemi një grup vlerësimesh: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - ky është materiali ynë kryesor statistikor.
Së pari, duhet ta renditim atë, ose të kryejmë një operacion renditjeje: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - dhe kështu të marrim një seri variacionale. Numri i përsëritjeve të secilit prej vlerësimeve quhet frekuenca e vlerësimit, dhe raporti i tyre me madhësinë e kampionit quhet frekuencë relative. Le të bëjmë një tabelë të shpërndarjes statistikore të kampionit, ose thjesht një seri statistikore:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
ose
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Le të kemi një ndryshore të rastësishme mbi të cilën do të kryejmë një sërë eksperimentesh dhe do të shohim se çfarë vlere merr kjo ndryshore. Supozoni se ajo mori vlerën a1 - m1 herë; a2 - m2 herë, etj. Madhësia e këtij kampioni do të jetë m1 + … + mk=m. Kompleti ai, ku i ndryshon nga 1 në k, është një seri statistikore.
Shpërndarja e intervalit
Në librin e VE Gmurman "Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore" është paraqitur gjithashtu një seri statistikore intervale. Përpilimi i tij është i mundur kur vlera e veçorisë në studim është e vazhdueshme në një interval të caktuar, dhe numri i vlerave është i madh. Konsideroni një grup studentësh, ose më mirë, lartësinë e tyre: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 13,14, 171 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - 30 nxënës gjithsej. Natyrisht, lartësia e një personi është një vlerë e vazhdueshme. Duhet të përcaktojmë hapin e intervalit. Për këtë përdoret formula e Sturges.
| h= | maksimum - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Kështu, vlera e 6 mund të merret si madhësia e intervalit. Gjithashtu duhet thënë se vlera 1+log2m është formula përpërcaktimi i numrit të intervaleve (natyrisht, me rrumbullakim). Kështu, sipas formulave, fitohen 6 intervale, secila prej të cilave ka një madhësi prej 6. Dhe vlera e parë e intervalit fillestar do të jetë numri i përcaktuar nga formula: min - h / 2=156 - 6/2=153. Le të bëjmë një tabelë që do të përmbajë intervalet dhe numrin e nxënësve, rritja e të cilëve ra brenda një intervali të caktuar.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Sigurisht, kjo nuk është e gjitha, sepse ka shumë më tepër formula në statistikat matematikore. Ne kemi shqyrtuar vetëm disa koncepte bazë.
Orari i shpërndarjes
Konceptet bazë të statistikave matematikore përfshijnë gjithashtu një paraqitje grafike të shpërndarjes, e cila dallohet nga qartësia. Ekzistojnë dy lloje grafikësh: shumëkëndëshi dhe histogrami. E para përdoret për një seri statistikore diskrete. Dhe për shpërndarje të vazhdueshme, përkatësisht, e dyta.
