Diferencimi dhe integrimi: përkufizimi, koncepti, format

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-08 04:58

Diferencimi dhe integrimi janë një ekuacion që përmban derivate. Këto të fundit, nëse u përmbahemi vetive matematikore, ndahen në të zakonshme dhe private. Derivatet përfaqësojnë shkallën e ndryshimit dhe ekuacioni diferencial përshkruan marrëdhënien midis një sasie që ndryshon vazhdimisht gjatë procesit të zgjidhjes, duke formuar variabla të rinj.

Një profesor universiteti mund të lundrojë lehtësisht operacionet komplekse me integrale, t'i shndërrojë ato në një tërësi të vetme dhe më pas të provojë llogaritjen me metodën e anasjelltë. Megjithatë, aftësia për të kujtuar shpejt detajet e formulave komplekse nuk është e disponueshme për të gjithë, prandaj rekomandohet të rifreskoni kujtesën ose të zbuloni materiale të reja.

Kuptimi dhe përdorimi kryesor

Në literaturën shkencore, një derivat përkufizohet si norma që i nënshtrohet transformimit të një funksioni bazuar në një nga variablat e tij. Diferencimi është thelbi i llogaritjes, i cili mund të krahasohet me fillimin e kërkimit të një tangjente në një pikë. Siç e dini, kjo e fundit ka lloje të ndryshme dhekërkon formula llogaritëse për të kërkuar. Supozoni se ju duhet të gjeni pjerrësinë e tangjentes me grafikun në pikën P. Si ta bëni këtë? Mjafton të vizatoni një shirit hark përmes objektit të caktuar dhe ta ngrini lart derisa të kemi një vijë të ndarë.

Një funksion f në x quhet i diferencueshëm në pikën x=a nëse derivati f '(a) ekziston në çdo emërtim të domenit të tij. Le të demonstrojmë një shembull:

f '(a)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Me qëllim që ekuacioni t'i nënshtrohet diferencimit dhe integrimit të funksioneve në mënyrë që vendndodhja e tij të bëhet e mundur në çdo pikë x, ai nuk duhet të ndërpritet. Duke ndërtuar paraprakisht një imazh skematik, mund të verifikoni vlefshmërinë e deklaratës. Është për këtë arsye që domeni f'(x) përcaktohet nga ekzistenca e kufijve të tij.

Supozojmë se y=f(x) është funksion i x, atëherë derivati i f(x) jepet si dy/dx. Përkufizohet gjithashtu si një ekuacion linear, ku është e nevojshme të gjenden të dhënat e nevojshme për y.

Megjithatë, nëse kërkojmë derivatin e y në rastin e parë, atëherë në rastin tjetër duhet të gjejmë f(x) të x.

d/dx × (f(x)) l_a ose df/dx l_a

Rrjedhimisht, përcaktimi i shpejtësisë së ndryshimit të funksionit f(x) në raport me x në një pikë a të shtrirë në sipërfaqen e tij.

Nëse njohim derivatin f', i cili është i diferencueshëm në domenin e tij, atëherë mund të gjejmë vlerën e tij f. Në llogaritjen integrale, ne e quajmë f anti-derivativ ose primitiv të funksionit f'. Metoda e llogaritjes së tij njihet si anti-diferencim.ose integrim.

Llojet dhe format

Një ekuacion me një ose më shumë terma që përfshin derivate të ndryshores së varur në lidhje me të pavarurin njihet si diferencial. Me fjalë të tjera, ai përbëhet nga një grup vlerash numerike, të zakonshme ose private, që mund të ndryshojnë në procesin e zgjidhjes.

Aktualisht, ekzistojnë llojet e mëposhtme të ekuacioneve diferenciale.

E zakonshme. Një barazi e thjeshtë e varur drejtpërdrejt nga një ndryshore:

dy/dx + 5x=5y

Derivate të pjesshme:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²v/dx² – c² × d² v/dt²

Koeficienti më i lartë. Kjo specie karakterizohet nga pjesëmarrja në rendin e ekuacionit diferencial, siç tregohet në shembullin e mëposhtëm, ku është i barabartë me 3. Numri konsiderohet më i larti nga të pranishmit:

d³v/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Funksionet mund të marrin disa forma, megjithatë, preferohet të përdoret një kuotë e vetme me formula karakteristike të integrimit dhe diferencimit.

y'=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Lineare. Ndryshorja në ekuacion është ngritur në fuqinë e një. Grafiku i këtij lloji funksioni është zakonisht një vijë e drejtë. Për shembull, (3x + 5), por (x³ + 4x^{2) nuk është i këtij lloji sepse kërkon një zgjidhje tjetër.}

dy/dx + xy=5x

Jolineare. Çdo integrim dhe diferencim i serive me mënyra të dyfishta për të përftuar barazi - referojuni formularit të konsideruar:

d²y/dx^{2 - ln y=10}

Metodat për marrjen e shpejtë të rezultateve

Nuk mjafton të shikosh formularin për të kuptuar se si të përballosh dhe zbatosh njohuritë e marra në praktikë. Aktualisht, ka disa mënyra për të zgjidhur ekuacionin diferencial.

Kjo është:

1. Ndarja e ndryshueshme. Ekzekutohet kur shembulli mund të vizatohet si dy / dx=f(y) g(x). E veçanta qëndron në faktin se f dhe g janë funksione që u përkasin vlerave të tyre. Për shkak të kësaj, problema duhet të transformohet: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Dhe vetëm atëherë shkoni te artikulli tjetër.
2. Metoda e faktorit integrues. Përdoret kur shembulli është dy / dx + p(x) y=q(x), ku p dhe q janë vetëm funksione të x.

Llogaritjet diferenciale të rendit të parë duken si y'+ P(x) y=Q(x) sepse ato përmbajnë funksionet e nevojshme dhe derivatin e y. Rritja e mëvonshme e emrit funksionon në të njëjtin parim. Për shembull, derivatet e një funksioni të panjohur mund të rezultojnë të jenë privatë dhe të zakonshëm.

Integrale të pacaktuar

Nëse ju jepet shpejtësia e biçikletës tuaj kur shkoni për një xhiro, në varësi të kohës - a mund ta llogarisni distancën e përshkuar duke përdorur minutat e shpenzuara? Kjo detyrë duket si një barrë dërrmuese, por integralendihmoni për të përballuar këto veti sa më efikase të jetë e mundur, duke marrë rezultatin.

Literatura shkencore thekson se ato janë ana e kundërt e diferencimit. Në të vërtetë, integrimi është një metodë për të shtuar gjërat së bashku. Ai lidh grimcat së bashku, duke krijuar diçka të re - të gjithë. Gjëja kryesore në çdo shembull të ngjashëm është gjetja e integraleve të pacaktuar dhe kontrollimi i rezultateve të integrimit me diferencim. Kjo do të ndihmojë në shmangien e gabimeve të panevojshme.

Nëse do të gjeni sipërfaqen e ndonjë kurbe të rastësishme, për shembull, y=f(x), atëherë përdorni këtë metodë. Mos harroni se vetëm vëmendja do t'ju shpëtojë nga një gabim.

Formulat për zgjidhje

Pra, duke u njohur me konceptin bazë të diferencimit dhe integrimit - llogaritja e anasjelltë përmes funksioneve, është e nevojshme të shqyrtojmë shkurtimisht disa nga bazat. Ato janë renditur më poshtë.

Rregullat bazë të llogaritjes

Funksionet e integruara si f (x) mund të përkthehen lehtësisht në barazi nëse ekuacioni shprehet si:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Këtu F (x) quhet antiderivativ ose primitiv. f(x) - integrand. dx - vepron si një agjent numerik shtesë. C është një konstante e integruar ose arbitrare. x - vepron në varësi të anës së barazisë.

Nga pohimi i mësipërm, mund të konkludojmë se integrimi dhe diferencimi i serive janë dy procese të kundërta. Së bashku ata veprojnë si një nga llojet e operacioneve të synuaramarrja e rezultatit përfundimtar të kryer në vetë ekuacionin.

Tani që dimë më shumë rreth veçorive të llogaritjes, rekomandohet të theksohen ndryshimet kryesore të nevojshme për të kuptuar më tej:

1. Diferencimi dhe integrimi mund të përmbushin njëkohësisht rregullat e linearitetit.
2. Operacionet synojnë të gjejnë zgjidhjen më të saktë, megjithatë, ato nënkuptojnë kufizime për përcaktimin e tyre.
3. Kur diferencohet një shembull polinomi, rezultati është 1 më pak se shkalla e funksionit, ndërsa në rastin e integrimit, rezultati i përftuar shndërrohet në një tjetër, duke vepruar në mënyrë të kundërt.
4. Dy llojet e zgjidhjeve, siç u përmend më herët, janë të kundërta me njëra-tjetrën. Ato janë llogaritur duke përdorur formulat e integrimit dhe diferencimit.
5. Derivati i çdo funksioni është unik, por, nga ana tjetër, dy integrale, në një shembull, mund të ndryshojnë nga një konstante. Është ky rregull që paraqet vështirësinë kryesore gjatë ekzekutimit të detyrave.
6. Kur kemi të bëjmë me derivate, mund të marrim parasysh derivatet në një pikë. Ashtu si integralet, ato ofrojnë funksione gjatë një intervali.
7. Gjeometrikisht, një derivat përshkruan shpejtësinë e ndryshimit të një sasie në lidhje me një tjetër, ndërsa integrali i pacaktuar përfaqëson një kurbë. Ai shtrihet në një drejtim paralel dhe gjithashtu ka tangjente kur vijat e dhëmbëzuara kryqëzohen me të tjerat në mënyrë ortogonale ndaj boshtit që përfaqëson variablin.

Metodat e shtimit

Nëse keni probleme me mënyrën se si zbatohet përmbledhjaoperacionet matematikore të diferencimit të integrimit, duhet të njiheni me kujdes me formulat bazë. Janë aksiomë në mësimdhënie, prandaj përdoren kudo. Ju lutemi vini re, kur aplikohen në shembujt tuaj, formulat janë të sakta vetëm nëse fillojnë me i=1.

Zgjidhje copë-copë

Ndonjëherë një funksion kërkon një qasje jo standarde për të arritur në rezultatin përfundimtar dhe për të përmbushur kushtet e barazisë. Nga ana tjetër, integrimi dhe diferencimi i serive bazohet në identitetin, i cili shprehet me: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Algoritmi i teknikës së konsideruar duket kështu:

1. Shprehni një funksion të integruar si produkt i dy shprehjeve. Le të shënojmë njërën prej tyre f (x), tjetrën g' (x).
2. Tani vazhdoni të identifikoni dy formula të tjera që mund të zbatohen në paragrafin e parë. Linja do të ndryshojë. Me diferencim, ne transformojmë f '(x) për të marrë shprehjet f(x). Le të kalojmë në pjesën tjetër - g (x) është e integruar në g'(x). Në këtë rast, dx mbetet në formën e tij origjinale dhe nuk përdoret.
3. Futni shprehjet e marra në formulë në pjesë. Kjo përfundon procedurën dhe tani mund të provoni të vlerësoni integralin e ri në të djathtë, pasi është bërë shumë më e lehtë për t'u kuptuar.

Më parë, kjo metodë përfshinte integrimin me pjesë duke përdorur një matricë. Metoda ishte e suksesshme, por mori shumë kohë, sepse aktualisht përdoret më rrallë, në veçantirastet kur një zgjidhje është pothuajse e pamundur të gjendet. Për ta bërë këtë, thjesht vendosni f dhe g' në rreshtin e parë dhe llogaritni f ' dhe g në të dytën.

Pse na duhet integrimi sipas pjesëve?

Situatat ndodhin ndryshe. Ndonjëherë zgjidhjet janë shumë më të vështira sesa në shikim të parë. Prandaj, është e nevojshme të veçohen problemet kryesore që hasen shpesh në integrimin term pas termi dhe diferencimin e serive të fuqisë. Merrni parasysh dy rregulla themelore.

Së pari, pjesën që synojmë të integrojmë, domethënë atë të zgjedhur për g '(x), duhet të jemi në gjendje ta transformojmë. Është e rëndësishme ta bëni këtë sa më shpejt që të jetë e mundur. Çështja është se integrimi kompleks për g rrallë çon në një integral të përmirësuar, duke rritur kompleksitetin. E gjithë kjo ndikon negativisht në lirinë e veprimeve tona gjatë vendimeve, dhe gjithashtu varet nga fuqitë, sinuset dhe kosinuset. Mund të duhet kohë për të gjetur përgjigjen e duhur, por të çojë tek ajo e duhura dhe jo tek ajo konfuze.

Së dyti, çdo gjë tjetër, domethënë pjesa që synojmë të diferencojmë dhe të shënojmë F, duhet të bie në sy pas transformimit. Pas një procedure të thjeshtë, do të vërejmë se integrali i ri do të jetë më i thjeshtuar se paraardhësi i tij.

Pra, kur kombinojmë dy rregulla dhe i përdorim për t'i zgjidhur, ne kemi mundësinë të përdorim diferencimin dhe integrimin e funksioneve të fuqisë, gjë që ka kuptim të merret parasysh në pjesë.

Ekziston gjithashtu një mënyrë për të hequr x, e cila ju lejon të përdorni në mënyrë efektive transformimet në të ndryshmesituatave. Për shembull, ne mund të integrojmë lehtësisht duke shumëzuar një funksion me një polinom, të cilin e anulojmë me diferencim.

∫ x^{2 mëkat(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

Për f marrim fuqinë e x (në një rast më të përgjithshëm, një polinom), dhe përdorim gjithashtu g'. Natyrisht, çdo diferencim zvogëlon shkallën e numrit me një, prandaj, nëse në shembull është mjaft i lartë, aplikoni integrimin term pas termi disa herë. Kjo do të ndihmojë në kursimin e kohës.

Kompleksiteti i disa ekuacioneve

Në këtë rast bëhet fjalë për diferencimin dhe integrimin e serive të fuqisë. Funksioni mund të konsiderohet sikur x është zona e intervalit të konvergjencës së pikave. Vërtetë, metoda nuk është e përshtatshme për të gjithë. Fakti është se çdo funksion mund të shprehet si seri fuqie, duke u shndërruar në një strukturë lineare dhe anasjelltas.

Për shembull, jepet e_{x. Ne mund ta shprehim atë si një ekuacion, i cili është në të vërtetë vetëm një polinom i pafund. Seria e fuqisë është e lehtë për t'u parë duke llogaritur, por nuk është gjithmonë efikase.}

Integrali i caktuar si kufi i shumës

Shiko integrimin dhe diferencimin grafik të mëposhtëm.

Për të kuptuar lehtësisht një funksion kompleks, mjafton ta kuptoni plotësisht. Le të vlerësojmë zonën PRSQP midis kurbës y=f (x), boshtit x dhe koordinatave "x=a" dhe "x=b". Tani ndajeni intervalin [a, b] në nënintervale të barabarta 'n', të shënuara me sa vijonkështu:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Ku x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh dhe x =b=a + nh ose n=(b - a) / h. (një).

Vini re se si n → ∞ h → 0.

Hapësira e konsideruar PRSQP është shuma e të gjitha nënfushave "n", ku secila përcaktohet në një mediokritet të caktuar [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Me qasjen e duhur, këto funksione mund të diferencohen dhe integrohen për një zgjidhje të shpejtë.}

Tani shikoni ABDM në foto. Bazuar në të, këshillohet të bëhet vëzhgimi i mëposhtëm për zonat: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Vini re gjithashtu se kur h → 0 ose x_r - x_{r-1 → 0, të tre zonat bëhen pothuajse të barabarta me njëra-tjetrën mik. Prandaj, ne kemi:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

ose S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Në këtë rast, s dhe S tregojnë shumën e sipërfaqeve të të gjithë drejtkëndëshave të poshtëm dhe të sipërm të ngritur mbi intervalet [х _r–1, x_{r] për r=1, 2, 3, …, n përkatësisht. Për ta vënë këtë në perspektivë, ekuacioni (1) mund të rishkruhet siforma:}

s zona e zonës < (PRSQP) < S_{… (4)}

Përveç kësaj, supozohet se vlerat kufitare (2) dhe (3) janë të njëjta në të dyja rastet, dhe vetëm zona nën kurbë është e zakonshme. Si rezultat, ne kemi:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=zonat PRSQP=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Sipërfaqja është gjithashtu kufiri i hapësirës midis drejtkëndëshave poshtë kurbës dhe mbi kurbë. Për lehtësi, duhet t'i kushtoni vëmendje lartësisë së figurës, e barabartë me kurbën në skajin e majtë të çdo nënintervali. Prandaj, ekuacioni rishkruhet në versionin përfundimtar:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

ose ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

Përfundim

Diferencimi dhe integrimi ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një sërë veçorish, formulash dhe ndryshimesh të kundërta. Njëri nuk mund të shndërrohet në tjetrin pa ndihmë. Nëse diferencimi ndihmon për të gjetur derivatin, atëherë integrimi kryen një veprim krejtësisht të ndryshëm. Ajo shton disa pjesë, mund të ndihmojë me gradat duke i reduktuar ato ose të përmirësojë shembullin duke e thjeshtuar.

Përdoret gjithashtu për të testuar ekuacionet e diferencuara. Me fjalë të tjera, ato veprojnë si një entitet i vetëm që nuk mund të bashkëjetojnë veçmas, pasi ato plotësojnë njëra-tjetrën. Duke zbatuar rregullat, duke njohur shumë teknika, tani ju jeni të garantuar për të zgjidhurdetyra sfiduese.