Prizmi gjashtëkëndor dhe karakteristikat e tij kryesore

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Gjeometria hapësinore është studimi i prizmave. Karakteristikat e tyre të rëndësishme janë vëllimi që përmbajnë, sipërfaqja dhe numri i elementeve përbërës. Në artikull, ne do t'i shqyrtojmë të gjitha këto veti për një prizëm gjashtëkëndor.

Për cilin prizëm po flasim?

Një prizëm gjashtëkëndor është një figurë e formuar nga dy shumëkëndësha me gjashtë brinjë dhe gjashtë kënde, dhe gjashtë paralelograme që lidhin gjashtëkëndëshat e shënuar në një formacion të vetëm gjeometrik.

Figura tregon një shembull të këtij prizmi.

Gjashtëkëndëshi i shënuar me të kuqe quhet baza e figurës. Natyrisht, numri i bazave të tij është i barabartë me dy, dhe të dyja janë identike. Faqet e verdha-gjelbër të një prizmi quhen anët e tij. Në figurë ato janë paraqitur me katrorë, por në përgjithësi janë paralelogramë.

Prizmi gjashtëkëndor mund të jetë i pjerrët dhe i drejtë. Në rastin e parë, këndet midis bazës dhe anëve nuk janë të drejta, në të dytën ato janë të barabarta me 90o. Gjithashtu, ky prizëm mund të jetë i saktë dhe i pasaktë. Gjashtëkëndore e rregulltprizmi duhet të jetë i drejtë dhe të ketë një gjashtëkëndësh të rregullt në bazë. Prizmi i mësipërm në figurë i plotëson këto kërkesa, ndaj quhet i saktë. Më tej në artikull do të studiojmë vetëm vetitë e tij, si një rast i përgjithshëm.

Elementet

Për çdo prizëm elementët kryesorë të tij janë skajet, faqet dhe kulmet. Prizmi gjashtëkëndor nuk bën përjashtim. Figura e mësipërme ju lejon të numëroni numrin e këtyre elementeve. Pra, marrim 8 fytyra ose anët (dy baza dhe gjashtë paralelograme anësore), numri i kulmeve është 12 (6 kulme për secilën bazë), numri i skajeve të një prizmi gjashtëkëndor është 18 (gjashtë anësore dhe 12 për bazat).

Në vitet 1750, Leonhard Euler (një matematikan zviceran) vendosi për të gjitha poliedrat, të cilat përfshijnë një prizëm, një marrëdhënie matematikore midis numrave të elementeve të treguar. Kjo marrëdhënie duket si:

numri i skajeve=numri i fytyrave + numri i kulmeve - 2.

Shifrat e mësipërme plotësojnë këtë formulë.

Diagonalet e prizmit

Të gjitha diagonalet e një prizmi gjashtëkëndor mund të ndahen në dy lloje:

• ata që shtrihen në rrafshet e fytyrave të saj;
• ato që i përkasin të gjithë vëllimit të figurës.

Figura më poshtë tregon të gjitha këto diagonale.

Mund të shihet se D₁ është diagonalja anësore, D₂ dhe D₃ janë diagonalet e gjithë prizmin, D₄ dhe D_{5 - diagonalet e bazës.}

Gjatësitë e diagonaleve të brinjëve janë të barabarta me njëra-tjetrën. Është e lehtë për t'i llogaritur ato duke përdorur teoremën e njohur të Pitagorës. Le të jetë a gjatësia e anës së gjashtëkëndëshit, b gjatësia e skajit anësor. Atëherë diagonalja ka gjatësi:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonalja D₄ është gjithashtu e lehtë për t'u përcaktuar. Nëse kujtojmë se një gjashtëkëndësh i rregullt përshtatet në një rreth me rreze a, atëherë D_{4 është diametri i këtij rrethi, domethënë, marrim formulën e mëposhtme:}

D_4=2a.

Diagonale D₅bazat janë disi më të vështira për t'u gjetur. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh barabrinjës ABC (shih Fig.). Për të AB=BC=a, këndi ABC është 120^{o. Nëse e ulim lartësinë nga ky kënd (ajo do të jetë gjithashtu përgjysmues dhe mediana), atëherë gjysma e bazës AC do të jetë e barabartë me:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Ana AC është diagonalja e D_{5, kështu që marrim:}

D_5=AC=√3a.

Tani mbetet të gjejmë diagonalet D₂dhe D_{3 të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor. Për ta bërë këtë, duhet të shihni se ato janë hipotenuset e trekëndëshave kënddrejtë përkatës. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, marrim:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Kështu, diagonalja më e madhe për çdo vlerë të a dhe b ështëD_2.

Sipërfaqja

Për të kuptuar se çfarë është në rrezik, mënyra më e lehtë është të shqyrtojmë zhvillimin e këtij prizmi. Është treguar në foto.

Mund të shihet se për të përcaktuar sipërfaqen e të gjitha anëve të figurës në shqyrtim, është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e katërkëndëshit dhe sipërfaqja e gjashtëkëndëshit veçmas, pastaj t'i shumëzoni ato. nga numrat e plotë përkatës të barabartë me numrin e secilit n-gon në prizëm dhe shtoni rezultatet. Gjashtëkëndëshat 2, drejtkëndëshat 6.

Për sipërfaqen e një drejtkëndëshi marrim:

S_1=ab.

Atëherë sipërfaqja anësore është:

S_2=6ab.

Për të përcaktuar sipërfaqen e një gjashtëkëndëshi, mënyra më e lehtë është të përdorni formulën përkatëse, e cila duket si:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Duke zëvendësuar numrin n të barabartë me 6 në këtë shprehje, marrim sipërfaqen e një gjashtëkëndëshi:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Kjo shprehje duhet të shumëzohet me dy për të marrë sipërfaqen e bazave të prizmit:

S_os=3√3a^2.

Mbetet të shtojmë S_os dhe S_{2 për të marrë sipërfaqen totale të figurës:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Vëllimi i prizmit

Pas formulës përzona e një baze gjashtëkëndore, llogaritja e vëllimit që përmban prizmin në fjalë është po aq e lehtë sa lëmimi i dardhave. Për ta bërë këtë, ju vetëm duhet të shumëzoni sipërfaqen e njërës bazë (gjashtëkëndësh) me lartësinë e figurës, gjatësia e së cilës është e barabartë me gjatësinë e skajit anësor. Marrim formulën:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Vini re se prodhimi i bazës dhe lartësisë jep vlerën e vëllimit të absolutisht çdo prizmi, duke përfshirë atë të zhdrejtë. Sidoqoftë, në rastin e fundit, llogaritja e lartësisë është e ndërlikuar, pasi nuk do të jetë më e barabartë me gjatësinë e brinjës anësore. Sa i përket një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, vlera e vëllimit të tij është një funksion i dy ndryshoreve: brinjëve a dhe b.