Shumë probleme të lëvizjes në mekanikën klasike mund të zgjidhen duke përdorur konceptin e momentit të një grimce ose të gjithë sistemit mekanik. Le të hedhim një vështrim më të afërt në konceptin e momentit dhe gjithashtu të tregojmë se si njohuritë e marra mund të përdoren për të zgjidhur problemet fizike.
Karakteristika kryesore e lëvizjes
Në shekullin e 17-të, kur studionte lëvizjen e trupave qiellorë në hapësirë (rrotullimi i planetëve në sistemin tonë diellor), Isak Njutoni përdori konceptin e momentit. Me drejtësi, vërejmë se disa dekada më parë, Galileo Galilei kishte përdorur tashmë një karakteristikë të ngjashme kur përshkruante trupat në lëvizje. Megjithatë, vetëm Njutoni ishte në gjendje ta integronte atë në mënyrë të përmbledhur në teorinë klasike të lëvizjes së trupave qiellorë të zhvilluar prej tij.
Të gjithë e dinë se një nga madhësitë e rëndësishme që karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të koordinatave të trupit në hapësirë është shpejtësia. Nëse shumëzohet me masën e objektit në lëvizje, atëherë marrim sasinë e përmendur të lëvizjes, domethënë, formula e mëposhtme është e vlefshme:
p¯=mv¯
Siç mund ta shihni, p¯ ështënjë madhësi vektoriale drejtimi i së cilës përkon me atë të shpejtësisë v¯. Ajo matet në kgm/s.
Kuptimi fizik i p¯ mund të kuptohet me shembullin e mëposhtëm të thjeshtë: një kamion po lëviz me të njëjtën shpejtësi dhe një mizë po fluturon, është e qartë se një person nuk mund të ndalojë një kamion, por një mizë mund të bëjë atë pa probleme. Kjo do të thotë, sasia e lëvizjes është drejtpërdrejt proporcionale jo vetëm me shpejtësinë, por edhe me masën e trupit (varet nga vetitë inerciale).
Lëvizja e një pike ose grimce materiale
Kur merren parasysh shumë probleme të lëvizjes, madhësia dhe forma e një objekti lëvizës shpesh nuk luajnë një rol të rëndësishëm në zgjidhjen e tyre. Në këtë rast, prezantohet një nga përafrimet më të zakonshme - trupi konsiderohet një grimcë ose një pikë materiale. Është një objekt pa dimension, e gjithë masa e të cilit është e përqendruar në qendër të trupit. Ky përafrim i përshtatshëm është i vlefshëm kur dimensionet e trupit janë shumë më të vogla se distancat që përshkon. Një shembull i gjallë është lëvizja e një makine midis qyteteve, rrotullimi i planetit tonë në orbitën e tij.
Kështu, gjendja e grimcës së konsideruar karakterizohet nga masa dhe shpejtësia e lëvizjes së saj (vini re se shpejtësia mund të varet nga koha, domethënë të mos jetë konstante).
Cili është momenti i një grimce?
Shpesh këto fjalë nënkuptojnë sasinë e lëvizjes së një pike materiale, domethënë vlerën p¯. Kjo nuk është plotësisht e saktë. Le ta shikojmë këtë çështje më hollësisht, për këtë shkruajmë ligjin e dytë të Isak Njutonit, i cili tashmë është miratuar në klasën e 7-të të shkollës, kemi:
F¯=ma¯
Duke ditur që nxitimi është shkalla e ndryshimit të v¯ në kohë, ne mund ta rishkruajmë atë si më poshtë:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
Nëse forca vepruese nuk ndryshon me kalimin e kohës, atëherë intervali Δt do të jetë i barabartë me:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
Ana e majtë e këtij ekuacioni (F¯Δt) quhet momenti i forcës, ana e djathtë (Δp¯) është ndryshimi i momentit. Meqenëse është marrë parasysh rasti i lëvizjes së një pike materiale, kjo shprehje mund të quhet formula për momentin e një grimce. Ai tregon se sa do të ndryshojë momenti i tij total gjatë kohës Δt nën veprimin e impulsit të forcës përkatëse.
Momenti i vrullit
Duke trajtuar konceptin e momentit të një grimce me masë m për lëvizjen lineare, le të kalojmë në shqyrtimin e një karakteristike të ngjashme për lëvizjen rrethore. Nëse një pikë materiale, që ka një moment p¯, rrotullohet rreth boshtit O në një distancë r¯ prej tij, atëherë shprehja e mëposhtme mund të shkruhet:
L¯=r¯p¯
Kjo shprehje paraqet momentin këndor të grimcës, e cila, si p¯, është një sasi vektoriale (L¯ drejtohet sipas rregullit të djathtë pingul me planin e ndërtuar në segmentet r¯ dhe p¯).
Nëse momenti p¯ karakterizon intensitetin e zhvendosjes lineare të trupit, atëherë L¯ ka një kuptim fizik të ngjashëm vetëm për një trajektore rrethore (rotacion rrethbosht).
Formula për momentin këndor të një grimce, e shkruar më sipër, në këtë formë nuk përdoret për zgjidhjen e problemeve. Nëpërmjet transformimeve të thjeshta matematikore, mund të arrini në shprehjen e mëposhtme:
L¯=Iω¯
Ku ω¯ është shpejtësia këndore, I është momenti i inercisë. Ky shënim është i ngjashëm me atë për momentin linear të një grimce (analogjia midis ω¯ dhe v¯ dhe midis I dhe m).
Ligjet e ruajtjes për p¯ dhe L¯
Në paragrafin e tretë të artikullit, u prezantua koncepti i impulsit të një force të jashtme. Nëse forca të tilla nuk veprojnë në sistem (ai është i mbyllur dhe në të ndodhin vetëm forca të brendshme), atëherë momenti i përgjithshëm i grimcave që i përkasin sistemit mbetet konstant, domethënë:
p¯=konst
Vini re se si rezultat i ndërveprimeve të brendshme, çdo koordinatë e momentit ruhet:
px=konst.; py=konst.; pz=konst
Zakonisht ky ligj përdoret për të zgjidhur problemet me përplasjen e trupave të ngurtë, siç janë topat. Është e rëndësishme të dini se pavarësisht nga natyra e përplasjes (absolutisht elastike apo plastike), sasia totale e lëvizjes do të mbetet gjithmonë e njëjtë para dhe pas goditjes.
Duke tërhequr një analogji të plotë me lëvizjen lineare të një pike, ne shkruajmë ligjin e ruajtjes për momentin këndor si më poshtë:
L¯=konst. ose unë1ω1¯=I2ω2 ¯
Dmth, çdo ndryshim i brendshëm në momentin e inercisë së sistemit çon në një ndryshim proporcional në shpejtësinë këndore të tij.rrotullimi.
Ndoshta një nga fenomenet e zakonshme që demonstron këtë ligj është rrotullimi i patinatorit në akull, kur ai grupon trupin e tij në mënyra të ndryshme, duke ndryshuar shpejtësinë e tij këndore.
Problemi i përplasjes së dy topave ngjitës
Le të shqyrtojmë një shembull të zgjidhjes së problemit të ruajtjes së momentit linear të grimcave që lëvizin drejt njëra-tjetrës. Le të jenë këto grimca topa me një sipërfaqe ngjitëse (në këtë rast, topi mund të konsiderohet një pikë materiale, pasi dimensionet e tij nuk ndikojnë në zgjidhjen e problemit). Pra, një top lëviz përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit X me një shpejtësi prej 5 m/s, ka një masë prej 3 kg. Topi i dytë lëviz përgjatë drejtimit negativ të boshtit X, shpejtësia dhe masa e tij janë përkatësisht 2 m/s dhe 5 kg. Është e nevojshme të përcaktohet se në cilin drejtim dhe me çfarë shpejtësie sistemi do të lëvizë pasi topat të përplasen dhe të ngjiten me njëri-tjetrin.
Momenti i sistemit para përplasjes përcaktohet nga diferenca në momentin për çdo top (diferenca merret sepse trupat janë të drejtuar në drejtime të ndryshme). Pas përplasjes, momenti p¯ shprehet me vetëm një grimcë, masa e së cilës është e barabartë me m1 + m2. Meqenëse topat lëvizin vetëm përgjatë boshtit X, kemi shprehjen:
m1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
Ku është shpejtësia e panjohur nga formula:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
Duke zëvendësuar të dhënat nga kushti, marrim përgjigjen: u=0, 625 m/s. Një vlerë pozitive e shpejtësisë tregon se sistemi do të lëvizë në drejtim të boshtit X pas goditjes, dhe jo kundër tij.
