Studimit të polinomit të shkallës së dytë i kushtohet shumë vëmendje në lëndën e algjebrës së klasës së tetë. Nëse ky material përvetësohet dobët nga studenti, atëherë problemet janë të pashmangshme në provimet e OGE dhe Provimit të Unifikuar të Shtetit, si në nivel profili ashtu edhe në bazë. Aftësitë e detyrueshme që lidhen me funksionet kuadratike përfshijnë vizatimin dhe analizimin e grafikëve, zgjidhjen e ekuacioneve.
Faktorizimi i një trinomi katror është një nga problemet standarde të shkollës. Është ndihmës në zgjidhjen e pabarazisë me metodën e intervalit.
Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni
Gjëja e parë për të faktorizuar një polinom është gjetja e rrënjëve të tij.
Rrënjët janë numra që e kthejnë shumën e monomëve në polinom në zero, i cili grafikisht duket si një kryqëzim me boshtin horizontal. Ato përcaktohen duke përdorur diskriminuesin ose teoremën e Vietës.
Diskriminuesi i sëpatës së trinomit2 + bx + c llogaritet me formulën: D=b2m- 4ac.
Në rastin kur diskriminuesi nuk është negativ,rrënjët shprehen nëpërmjet saj dhe koeficientët polinom:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Nëse diskriminuesi është zero, x1dhe x2 janë të njëjta.
Për të zgjidhur disa trinomiale, është e përshtatshme të përdoret teorema Vieta:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Duhet një sasi e caktuar intuite matematikore për të zbatuar teoremën. Përfundimi është se, duke ditur shumën dhe prodhimin e dy të panjohurave, zgjidhni këta numra. Nëse ekzistojnë, ato gjenden në mënyrë unike (deri në një ndryshim).
Mund të verifikoni vlefshmërinë e teoremës duke llogaritur shumën dhe prodhimin e rrënjëve në terma të përgjithshëm. Formulat për x1 dhe x2 kontrollohen gjithashtu me zëvendësim të drejtpërdrejtë.
Rregulli i faktorizimit
Problemi mund të zgjidhet me numra realë nëse polinomi ka rrënjë. Zbërthimi përcaktohet nga formula:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Shembuj
Problem: gjeni faktorizimin e trinomeve katrore.
a) x2 - 6x + 5
Zgjidhje: shkruani koeficientët e trinomit:
a=1; b=-6; c=5.
Përdorimi i teoremës Vieta:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Mund të shihet se x1 =1, x2 =5.
Nëse, sipas barazive të shkruara të teoremës,është e mundur të gjenden shpejt rrënjët, duhet të vazhdoni menjëherë me llogaritjen e diskriminuesit.
Pasi të gjenden rrënjët, duhet t'i zëvendësoni ato në formulën e zgjerimit:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Rezultati i regjistruar në këtë formular mund të konsiderohet përfundimtar.
b) 2x2 + x - 1
Zgjidhja:
a=2, b=1, c=-1.
Nëse koeficienti kryesor është i ndryshëm nga 1, zbatimi i teoremës Vieta zakonisht kërkon më shumë kohë sesa zgjidhja përmes diskriminuesit, kështu që le të kalojmë në llogaritjen e tij.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Formula është:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Zgjidhja:
a=1; b=-8; c=16.
D=0.
Meqenëse diskriminuesi është zero, kemi rastin e koincidencës së rrënjëve:
x1 =x2 =4.
Megjithatë, kjo situatë nuk është thelbësisht e ndryshme nga ato të konsideruara më parë.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Rezultati shpesh shkruhet si: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Zgjidhja:
a=1; b=-7; c=1.
D=45.
Ky shembull ndryshon nga të mëparshmit në atë që një rrënjë racionale nuk mund të nxirret nga diskriminuesi. Kjo do të thotë se rrënjët e polinomit janë irracionale.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Ose ekuivalente, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Opsioni i fundit është më i përshtatshëm për t'u përdorur për zgjerimin e shkrimit. Duke hequr koeficientin e vjetër, i cili këtu është i barabartë me 1, marrim:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Për rastin kur diskriminuesi është negativ, në kuadër të kurrikulës shkollore mjafton përgjigja e mëposhtme: trinomi nuk ka rrënjë dhe për rrjedhojë nuk mund të faktorizohet. Trinomi të tillë quhen edhe të pakalueshëm. Është e rëndësishme të kuptohet se ne po flasim vetëm për praninë ose mungesën e rrënjëve të vërteta.
Nëse merret parasysh fusha e numrave kompleks, faktorizimi i një trinomi katror është i mundur me çdo diskriminues.
Gabimet tipike
1) Në fillim të studimit të një polinomi, shumë njerëz i shkruajnë koeficientët gabimisht, për shembull, ata i kushtojnë vëmendje renditjes së monomëve në shënim.
Pra, faktori kryesor a në ekuacionin 101 është 79x + 38x2është 38, jo 101 siç mund të mendoni.
Një gabim tjetër që lidhet me koeficientët e ekuacionit është i ashtuquajturi "humbje e shenjës". Në të njëjtin shembull, koeficienti b=-79, jo 79.
2) Duke u mësuar me përdorimin e teoremës Vieta për rastin kur a=1, nxënësit e shkollës ndonjëherë harrojnë formulimin e saj të plotë. Në polinomin nga paragrafi i parë, është e gabuar të supozohet se shuma e rrënjëve është 79, pasi koeficienti i parë është i ndryshëm nga 1.
3) Gabimet llogaritëse janë problemi më i zakonshëm për studentët. Në shumë raste, kontrolli ndihmon për t'i shmangur ato.zëvendësim.
Polinome të shkallës së tretë dhe më të lartë
Polinomet e një shkalle më të lartë merren parasysh rrallë në shkollë, pasi problemi i gjetjes së rrënjëve për polinomet e shkallës së tretë dhe më të lartë është i mundimshëm. Ekzistojnë algoritme me kompleksitet të lartë llogaritës për zgjerimin e një polinomi të shkallës së tretë dhe të katërt. Për shkallën e pestë e lart, vërtetohet një teoremë mbi pazgjidhshmërinë e ekuacionit në radikale në formë të përgjithshme.
Raste të veçanta të këtyre polinomeve, që mund të konsiderohen në shkollën e mesme, karakterizohen nga prania e rrënjëve racionale lehtësisht të zgjedhura. Numri i këtyre të fundit nuk mund të kalojë shkallën e polinomit. Kur punoni me planin kompleks, numri i tyre është saktësisht i njëjtë me shkallën më të lartë.
Polinomet e shkallës tek kanë gjithmonë të paktën një rrënjë reale. Kjo është e lehtë për t'u treguar grafikisht - një funksion i vazhdueshëm i dhënë nga një polinom i tillë ka vlera pozitive dhe negative, që do të thotë se kalon përmes 0.
Të gjitha rrënjët e dy polinomeve përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre janë proporcional.
Në përgjithësi, problemi i gjetjes së rrënjëve dhe problemi i ndërtimit të një dekompozimi mund të konsiderohen ekuivalente.
