Teorema e Pitagorës: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve në katror

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 05:41

Çdo nxënës e di se katrori i hipotenuzës është gjithmonë i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror. Ky pohim quhet teorema e Pitagorës. Është një nga teoremat më të famshme në trigonometri dhe matematikë në përgjithësi. Konsideroni atë në më shumë detaje.

Koncepti i një trekëndëshi kënddrejt

Para se të shqyrtojmë teoremën e Pitagorës, në të cilën katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve që janë në katror, duhet të shqyrtojmë konceptin dhe vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë, për të cilin teorema është e vlefshme.

Trekëndëshi është një figurë e sheshtë me tre kënde dhe tre brinjë. Një trekëndësh kënddrejtë, siç nënkupton edhe emri i tij, ka një kënd të drejtë, domethënë, ky kënd është 90o.

Nga vetitë e përgjithshme për të gjithë trekëndëshat, dihet se shuma e të tre këndeve të kësaj figure është 180^o, që do të thotë se për një trekëndësh kënddrejtë shuma e dy kënde që nuk janë të drejta, është 180^o -90^o=90^o. Fakti i fundit do të thotë se çdo kënd në një trekëndësh kënddrejtë që nuk është kënd i drejtë do të jetë gjithmonë më i vogël se 90^o.

Ana që shtrihet përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë. Dy anët e tjera janë këmbët e trekëndëshit, ato mund të jenë të barabarta me njëra-tjetrën ose mund të ndryshojnë. Nga trigonometria dihet se sa më i madh të jetë këndi kundrejt të cilit shtrihet një anë në një trekëndësh, aq më e madhe është gjatësia e kësaj brinjë. Kjo do të thotë që në një trekëndësh kënddrejtë hipotenuza (shtrirë përballë këndit 90^o) do të jetë gjithmonë më e madhe se çdo këmbë (shtrirë përballë këndeve < 90^o).

Shënimi matematik i teoremës së Pitagorës

Kjo teoremë thotë se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror më parë. Për ta shkruar këtë formulim në mënyrë matematikore, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë në të cilin brinjët a, b dhe c janë përkatësisht dy këmbët dhe hipotenuza. Në këtë rast, teorema, e cila shprehet si katrori i hipotenuzës është e barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve, mund të përfaqësohet me formulën e mëposhtme: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Prej këtu mund të merren formula të tjera të rëndësishme për praktikë: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) dhe c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Vini re se në rastin e një trekëndëshi barabrinjës kënddrejtë, domethënë a=b, formulimi: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilavenë katror, i shkruar matematikisht si: c²=a² + b²=2a ^{2, që nënkupton barazinë: c=a√2.}

Sfondi historik

Teorema e Pitagorës, e cila thotë se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror, ishte e njohur shumë kohë përpara se filozofi i famshëm grek t'i kushtonte vëmendje. Shumë papiruse të Egjiptit të lashtë, si dhe pllaka b alte të babilonasve, konfirmojnë se këta popuj përdorën vetinë e shënuar të anëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Për shembull, një nga piramidat e para egjiptiane, Piramida e Khafre, ndërtimi i së cilës daton në shekullin e 26 para Krishtit (2000 vjet para jetës së Pitagorës), u ndërtua bazuar në njohuritë e raportit të pamjes në një trekëndësh kënddrejtë 3x4x5.

Pse atëherë teorema mban emrin e një greku? Përgjigja është e thjeshtë: Pitagora është i pari që vërtetoi matematikisht këtë teoremë. Shkrimet e mbijetuara babilonase dhe egjiptiane përmendin vetëm përdorimin e tij, por nuk japin ndonjë provë matematikore.

Besohet se Pitagora vërtetoi teoremën në shqyrtim duke përdorur vetitë e trekëndëshave të ngjashëm, të cilat ai i përftoi duke vizatuar një lartësi në një trekëndësh kënddrejtë nga këndi 90o në hipotenuza.

Një shembull i përdorimit të teoremës së Pitagorës

Shqyrtoni një problem të thjeshtë: është e nevojshme të përcaktohet gjatësia e një shkalle të pjerrët L, nëse dihet se ajo ka një lartësi H=3metra, dhe distanca nga muri kundrejt të cilit mbështetet shkalla deri te këmba e saj është P=2,5 metra.

Në këtë rast, H dhe P janë këmbët, dhe L është hipotenuza. Meqenëse gjatësia e hipotenuzës është e barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve, marrim: L²=H² + P 2^{, prej nga L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metra ose 3 metra dhe 90,5 cm.}