Polyedra jo vetëm që zënë një vend të spikatur në gjeometri, por ndodhin edhe në jetën e përditshme të çdo personi. Për të mos përmendur sendet shtëpiake të krijuara artificialisht në formën e shumëkëndëshave të ndryshëm, duke filluar me një kuti shkrepse dhe duke përfunduar me elemente arkitekturore, kristale në formën e një kubi (kripë), prizmi (kristal), piramidë (sheelite), tetëkëndësh (diamanti), etj. e.
Koncepti i një poliedri, llojet e poliedrit në gjeometri
Gjeometria si shkencë përmban një pjesë të stereometrisë që studion karakteristikat dhe vetitë e figurave tredimensionale. Trupat gjeometrikë, faqet e të cilëve në hapësirën tredimensionale janë të formuara nga rrafshe (fytyra) të kufizuara, quhen "polyedra". Llojet e poliedrave përfshijnë më shumë se një duzinë përfaqësuesish, të ndryshëm në numrin dhe formën e fytyrave.
Megjithatë, të gjitha poliedrat kanë veti të përbashkëta:
- Të gjithë kanë 3 komponentë thelbësorë: fytyrën(sipërfaqja e një shumëkëndëshi), kulmi (këndet e formuara në kryqëzimin e faqeve), skaji (ana e një figure ose një segment i formuar në kryqëzimin e dy faqeve).
- Çdo skaj i shumëkëndëshit lidh dy dhe vetëm dy faqe që janë ngjitur me njëra-tjetrën.
- Konveksiteti do të thotë që trupi ndodhet plotësisht vetëm në njërën anë të planit në të cilin shtrihet njëra nga fytyrat. Rregulli vlen për të gjitha fytyrat e poliedrit. Shifra të tilla gjeometrike në stereometri quhen poliedra konvekse. Përjashtim bëjnë poliedrat në formë ylli, të cilat janë derivate të trupave të rregullt gjeometrikë shumëkëndësh.
Polyhedra mund të ndahet me kusht në:
- Llojet e poliedrave konveks, që përbëhen nga klasat e mëposhtme: të zakonshme ose klasike (prizëm, piramidë, paralelipiped), të rregullt (të quajtur edhe trupa të ngurtë platonike), gjysmë të rregullta (emri i dytë - trupat e ngurtë arkimedian).
- Polyedra jo konvekse (në formë ylli).
Prizmi dhe vetitë e tij
Stereometria si një degë e gjeometrisë studion vetitë e figurave tredimensionale, llojet e poliedrave (një prej tyre është një prizëm). Një prizëm është një trup gjeometrik që ka domosdoshmërisht dy fytyra absolutisht identike (ato quhen edhe baza) të shtrira në plane paralele, dhe numrin n të faqeve anësore në formën e paralelogrameve. Nga ana tjetër, prizmi ka gjithashtu disa lloje, duke përfshirë lloje të tilla poliedrash si:
- Parallelepiped - formohet nëse baza është një paralelogram -shumëkëndësh me 2 palë kënde të kundërta të barabarta dhe 2 palë brinjë të kundërta kongruente.
- Një prizëm i drejtë ka skaje pingul me bazën.
- Prizmi i anuar karakterizohet nga prania e këndeve jo të drejta (përveç 90) ndërmjet faqeve dhe bazës.
- Një prizëm i rregullt karakterizohet nga baza në formën e një shumëkëndëshi të rregullt me faqe anësore të barabarta.
Vetitë themelore të një prizmi:
- Bazat kongruente.
- Të gjitha skajet e prizmit janë të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.
- Të gjitha faqet anësore janë në formë paralelogrami.
Piramida
Piramida është një trup gjeometrik, i cili përbëhet nga një bazë dhe numri i n-të i faqeve trekëndore, të lidhura në një pikë - në krye. Duhet të theksohet se nëse faqet anësore të piramidës përfaqësohen domosdoshmërisht nga trekëndësha, atëherë baza mund të jetë ose një shumëkëndësh trekëndësh, ose një katërkëndësh, ose një pesëkëndësh, e kështu me radhë ad infinitum. Në këtë rast, emri i piramidës do të korrespondojë me poligonin në bazë. Për shembull, nëse një trekëndësh shtrihet në bazën e një piramide, ai është një piramidë trekëndore, një katërkëndësh është një katërkëndësh, etj.
Piramidat janë poliedra të ngjashme me kon. Llojet e poliedrave të këtij grupi, përveç atyre të listuara më sipër, përfshijnë edhe përfaqësuesit e mëposhtëm:
- Një piramidë e rregullt ka një poligon të rregullt në bazën e saj dhe lartësia e saj është projektuar në qendërnjë rreth i gdhendur në bazë ose i rrethuar rreth tij.
- Një piramidë drejtkëndore formohet kur një nga skajet anësore kryqëzohet me bazën në një kënd të drejtë. Në këtë rast, është gjithashtu e drejtë ta quajmë këtë skaj lartësia e piramidës.
Vetitë piramidale:
- Nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë kongruente (me të njëjtën lartësi), atëherë të gjitha kryqëzohen me bazën në të njëjtin kënd, dhe rreth bazës mund të vizatoni një rreth me qendër që përkon me projeksionin e maja e piramidës.
- Nëse baza e piramidës është një shumëkëndësh i rregullt, atëherë të gjitha skajet anësore janë kongruente dhe faqet janë trekëndësha dykëndësh.
Polyedron i rregullt: llojet dhe vetitë e shumëkëndëshave
Në stereometri, një vend të veçantë zënë trupat gjeometrikë me faqe absolutisht të barabarta, në kulmet e të cilëve lidhet i njëjti numër skajesh. Këto trupa të ngurtë quhen trupa platonike, ose poliedra të rregullta. Llojet e poliedrave me veti të tilla kanë vetëm pesë forma:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodekahedron.
- Icosahedron.
Polyedrat e rregullta ia detyrojnë emrin e tyre filozofit të lashtë grek Platonit, i cili i përshkroi këto trupa gjeometrikë në shkrimet e tij dhe i lidhi me elementet natyrore: toka, uji, zjarri, ajri. Figura e pestë iu dha ngjashmëria me strukturën e universit. Sipas mendimit të tij, atomet e elementeve natyrore në formë ngjajnë me llojet e poliedrave të rregullt. Për shkak të pronës së saj më emocionuese -simetria, këto trupa gjeometrikë ishin me interes të madh jo vetëm për matematikanët dhe filozofët e lashtë, por edhe për arkitektët, artistët dhe skulptorët e të gjitha kohërave. Prania e vetëm 5 llojeve të poliedrave me simetri absolute u konsiderua një zbulim themelor, madje atyre iu dha një lidhje me parimin hyjnor.
Hexahedron dhe vetitë e tij
Në formën e një gjashtëkëndëshi, pasardhësit e Platonit supozuan një ngjashmëri me strukturën e atomeve të tokës. Natyrisht, aktualisht kjo hipotezë është hedhur poshtë plotësisht, gjë që megjithatë nuk i pengon figurat të tërheqin mendjen e figurave të famshme me estetikën e tyre në kohët moderne.
Në gjeometri, një gjashtëkëndor, i njohur gjithashtu si një kub, konsiderohet një rast i veçantë i një paralelipipedi, i cili, nga ana tjetër, është një lloj prizmi. Prandaj, vetitë e kubit lidhen me vetitë e prizmit, me ndryshimin e vetëm që të gjitha faqet dhe qoshet e kubit janë të barabarta me njëra-tjetrën. Vetitë e mëposhtme rrjedhin nga kjo:
- Të gjitha skajet e kubit janë kongruentë dhe shtrihen në plane paralele në lidhje me njëri-tjetrin.
- Të gjitha fytyrat janë katrore kongruente (në një kub janë gjithsej 6), secila prej të cilave mund të merret si bazë.
- Të gjitha këndet e ndërfaqes janë 90.
- Një numër i barabartë skajesh buron nga çdo kulm, përkatësisht 3.
- Kubi ka 9 akse simetrie, të cilat të gjitha kryqëzohen në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të gjashtëkëndëshit, të quajtur qendra e simetrisë.
Tetrahedron
Një katërkëndësh është një katërkëndësh me faqe të barabarta në formën e trekëndëshave, secila nga kulmet e të cilitështë pika e kryqëzimit të tre fytyrave.
Vetitë e tetraedrit të rregullt:
- Të gjitha faqet e një katërkëndëshi janë trekëndësha barabrinjës, që do të thotë se të gjitha faqet e një tetraedri janë kongruente.
- Meqenëse baza përfaqësohet me një figurë të rregullt gjeometrike, domethënë ka brinjë të barabarta, faqet e tetraedrit konvergjojnë në të njëjtin kënd, domethënë të gjitha këndet janë të barabarta.
- Shuma e këndeve të sheshta në secilën nga kulmet është 180, pasi të gjitha këndet janë të barabarta, atëherë çdo kënd i një tetraedri të rregullt është 60.
- Secila nga kulmet është projektuar në pikën e kryqëzimit të lartësive të faqes së kundërt (ortokendrës).
Oktaedri dhe vetitë e tij
Duke përshkruar llojet e poliedrave të rregullt, nuk mund të mos vërehet një objekt i tillë si një tetëkëndor, i cili mund të përfaqësohet vizualisht si dy piramida të rregullta katërkëndëshe të ngjitura së bashku me baza.
Vetitë e oktaedrit:
- Vetë emri i një trupi gjeometrik sugjeron numrin e fytyrave të tij. Oktaedri përbëhet nga 8 trekëndësha barabrinjës kongruentë, në secilën nga kulmet e të cilëve konvergojnë një numër i barabartë faqesh, përkatësisht 4.
- Meqenëse të gjitha faqet e një oktaedri janë të barabarta, këndet e tij ndërfaqe janë gjithashtu të barabarta, secila prej të cilave është e barabartë me 60, dhe shuma e këndeve të rrafshët të cilësdo kulme është kështu 240.
dodekahedron
Nëse imagjinojmë se të gjitha fytyrat e një trupi gjeometrik janë një pesëkëndësh i rregullt, atëherë marrim një dodekaedron -një figurë prej 12 shumëkëndëshash.
Vetitë e dodekaedrit:
- Tri fytyra kryqëzohen në çdo kulm.
- Të gjitha fytyrat janë të barabarta dhe kanë të njëjtën gjatësi buzë dhe sipërfaqe të barabartë.
- Dodekaedri ka 15 boshte dhe rrafshe simetrie, dhe secili prej tyre kalon nëpër kulmin e faqes dhe mesit të skajit të kundërt.
Icosahedron
Jo më pak interesante se dodekaedri, figura e ikozaedrit është një trup gjeometrik tredimensional me 20 faqe të barabarta. Ndër vetitë e një njëzetekadishi të rregullt, mund të vërehen këto:
- Të gjitha faqet e ikozaedrit janë trekëndësha dykëndësh.
- Pesë faqe konvergojnë në çdo kulm të shumëkëndëshit dhe shuma e këndeve ngjitur të kulmit është 300.
- Ikozaedroni, ashtu si dodekaedri, ka 15 boshte dhe plane simetrie që kalojnë nëpër pikat e mesit të faqeve të kundërta.
Poligona gjysmë të rregullt
Përveç trupave të ngurtë platonike, grupi i poliedrave konveks përfshin edhe trupat e ngurtë të Arkimedit, të cilat janë poliedra të rregullta të cunguara. Llojet e poliedrave të këtij grupi kanë këto karakteristika:
- Trupat gjeometrikë kanë faqe të barabarta çifte të disa llojeve, për shembull, një katërkëndor i cunguar ka 8 faqe, si një katërkëndor i rregullt, por në rastin e një trupi të Arkimedit, 4 faqe do të jenë trekëndore dhe 4 do të jenë gjashtëkëndore.
- Të gjithë këndet e një kulmi janë kongruentë.
Syll poliedra
Përfaqësuesit e llojeve jovëllimore të trupave gjeometrikë janë poliedra yjorë, fytyrat e të cilave kryqëzohen me njëra-tjetrën. Ato mund të formohen duke bashkuar dy trupa të rregullt 3D ose duke zgjatur fytyrat e tyre.
Kështu, poliedra të tillë yjor njihen si: format yjore të tetëkëndëshit, dodekaedrit, ikozaedrit, kuboktaedrit, ikosododekaedrit.
