Në matematikë, aritmetika modulare është një sistem llogaritjeje për numrat e plotë, me ndihmën e të cilit ata "kthehen" kur arrijnë një vlerë të caktuar - modulin (ose shumësin e tyre). Qasja moderne ndaj këtij lloji të shkencës u zhvillua nga Carl Friedrich Gauss në Disquisitiones Arithmeticae të tij botuar në 1801. Shkencëtarët e kompjuterave janë shumë të dashur për përdorimin e kësaj metode, pasi është shumë interesante dhe hap disa mundësi të reja në operacionet me numra.
Thelbi
Për shkak se numri i orëve fillon përsëri pasi të arrijë në 12, është moduli aritmetik 12. Sipas përkufizimit të mëposhtëm, 12 korrespondon jo vetëm me 12, por edhe me 0, kështu që mund të emërtohet edhe koha e quajtur " 12:00". "0:00". Në fund të fundit, 12 është e njëjtë me 0 modulin 12.
Aritmetika modulare mund të përpunohet matematikisht duke futur një lidhje kongruente me numrat e plotë që është në përputhje me veprimet në numra të plotënumrat: mbledhje, zbritje dhe shumëzim. Për një numër të plotë pozitiv n, dy numra a dhe b thuhet se janë modul n kongruentë nëse diferenca e tyre a - b është shumëfish i n (d.m.th., nëse ekziston një numër i plotë k i tillë që a - b=kn).
Zbritjet
Në matematikën teorike, aritmetika modulare është një nga themelet e teorisë së numrave, duke prekur pothuajse të gjitha aspektet e studimit të saj, dhe gjithashtu përdoret gjerësisht në teorinë e grupeve, unazave, nyjeve dhe algjebrës abstrakte. Në fushën e matematikës së aplikuar, përdoret në algjebër kompjuterike, kriptografi, shkenca kompjuterike, kimi, arte pamore dhe muzikë.
Praktik
Një aplikim shumë praktik është llogaritja e shumave kontrolluese në identifikuesit e numrave serialë. Për shembull, disa standarde të zakonshme të librave përdorin modulin aritmetik 11 (nëse është lëshuar përpara 1 janarit 2007) ose modulin 10 (nëse është lëshuar përpara ose pas 1 janarit 2007). Në mënyrë të ngjashme, për shembull, në Numrat e Llogarisë Ndërkombëtare të Bankës (IBAN). Kjo përdor aritmetikën modul 97 për të zbuluar gabimet e hyrjes së përdoruesit në numrat e llogarive bankare.
Në kimi, shifra e fundit e numrit të regjistrimit CAS (numri unik i identifikimit për çdo përbërje kimike) është shifra e kontrollit. Ajo llogaritet duke marrë shifrën e fundit të dy pjesëve të para të numrit të regjistrimit CAS shumëzuar me 1, shifrën e mëparshme 2 herë, shifrën e mëparshme 3 herë, etj., duke i mbledhur të gjitha dhe duke llogaritur modulin e shumës 10.
Çfarë është kriptografia? Fakti është seka një lidhje shumë të fortë me temën në diskutim. Në kriptografi, ligjet e aritmetikës modulare nënvizojnë drejtpërdrejt sistemet me çelës publik si RSA dhe Diffie-Hellman. Këtu ai siguron fushat e fundme që qëndrojnë në bazë të kthesave eliptike. Përdoret në algoritme të ndryshme simetrike të çelësave, duke përfshirë standardin e avancuar të enkriptimit (AES), algoritmin ndërkombëtar të kriptimit të të dhënave dhe RC4.
Aplikacion
Kjo metodë përdoret në zonat ku duhet të lexoni numrat. Është zhvilluar nga matematikanët, dhe të gjithë e përdorin atë, veçanërisht shkencëtarët kompjuterikë. Kjo është e dokumentuar mirë në libra si Aritmetika Modulare për Dummies. Megjithatë, një numër ekspertësh rekomandojnë që të mos merret seriozisht një literaturë e tillë.
Në shkencën kompjuterike, aritmetika modulare përdoret shpesh në operacione bitwise dhe operacione të tjera që përfshijnë struktura të dhënash rrethore me gjerësi fikse. Analistët duan ta përdorin atë. Operacioni modul zbatohet në shumë gjuhë programimi dhe kalkulatorë. Në këtë rast, është një shembull i një aplikimi të tillë. Krahasimi i modulit, ndarja me mbetje dhe truke të tjera përdoren gjithashtu në programim.
Në muzikë, moduli aritmetik 12 përdoret kur merret parasysh një sistem me temperament të barabartë prej dymbëdhjetë tonesh, në të cilin oktava dhe enharmonia janë ekuivalente. Me fjalë të tjera, çelësat në raportin 1-2 ose 2-1 janë ekuivalent. Në muzikë dhe shkencat e tjera humane, aritmetika luan një rol mjaft domethënës, por në tekstet shkolloreshkencëtarët kompjuterikë zakonisht nuk shkruajnë për të.
Metodë e zvogëlimit të nëntëve
Metoda e konvertimit 9s ofron një kontroll të shpejtë të llogaritjeve aritmetike dhjetore manuale. Ai bazohet në modulin aritmetik modular 9 dhe në veçanti në vetinë vendimtare 10 10 1.
ka shembuj të tjerë. Moduli aritmetik 7 përdoret në algoritme që përcaktojnë ditën e javës për një datë të caktuar. Në veçanti, kongruenca e Zeller-it dhe algoritmi i Doomsday përdorin shumë modulin aritmetik 7.
Aplikacione të tjera
Tashmë është thënë për aritmetikën modulare në kriptografi. Në këtë fushë, ajo është thjesht e pazëvendësueshme. Në përgjithësi, aritmetika modulare gjen aplikime edhe në disiplina të tilla si ligji, ekonomia (siç është teoria e lojës) dhe fusha të tjera të shkencave sociale. Me fjalë të tjera, ku ndarja proporcionale dhe shpërndarja e burimeve luan një rol të madh.
Për shkak se aritmetika modulare ka një gamë kaq të gjerë përdorimesh, është e rëndësishme të dimë se sa e vështirë është të zgjidhësh një sistem krahasimesh. Një sistem linear kongruencash mund të zgjidhet në kohë polinomiale në formën e eliminimit Gaussian. Kjo përshkruhet më në detaje nga teorema e kongruencës lineare. Algoritme të tilla si reduktimi Montgomery ekzistojnë gjithashtu për të lejuar që veprimet e thjeshta aritmetike të kryhen me efikasitet. Për shembull, moduli i shumëzimit dhe i fuqisë n, për numra të mëdhenj. Kjo është shumë e rëndësishme të dihet për të kuptuar se çfarëkriptografia. Në fund të fundit, ai thjesht funksionon me operacione të ngjashme.
Kongruenca
Disa operacione, të tilla si gjetja e logaritmit diskret ose kongruencës kuadratike, duket se janë po aq komplekse sa faktorizimi i numrave të plotë dhe kështu janë pika fillestare për algoritmet kriptografike dhe enkriptimin. Këto probleme mund të jenë NP-të ndërmjetme.
Shembuj
Në vijim janë tre funksione C mjaft të shpejta - dy për kryerjen e shumëzimit modular dhe një për ngritjen në numra modularë për numra të plotë të panënshkruar deri në 63 bit, pa tejkalim kalimtar.
Menjëherë pas zbulimit të numrave të plotë (1, 2, 3, 4, 5…) bëhet e qartë se ata ndahen në dy grupe:
- Çek: i pjesëtueshëm me 2 (0, 2, 4, 6..).
- Tek: i papjesëtueshëm me 2 (1, 3, 5, 7…).
Pse është i rëndësishëm ky dallim? Ky është fillimi i abstraksionit. Vëmë re vetitë e numrit (p.sh., çift ose tek) dhe jo vetëm vetë numri ("37").
Kjo na lejon të eksplorojmë matematikën në një nivel më të thellë dhe të gjejmë marrëdhënie midis llojeve të numrave dhe jo atyre specifike.
Vetitë e një numri
Të jesh një "tre" është vetëm një veçori tjetër e një numri. Ndoshta jo aq i dobishëm sa çift/tek, por është aty. Ne mund të krijojmë rregulla si "trembëdhjetë x tre venë=trembëdhjetë" dhe kështu me radhë. Por është e çmendur. Ne nuk mund të bëjmë fjalë të reja gjatë gjithë kohës.
Operacioni modul (mod i shkurtuar ose "%" në shumë gjuhë programimi) është pjesa e mbetur kurndarje. Për shembull, "5 mod 3=2", që do të thotë 2 është mbetja kur ndani 5 me 3.
Kur konvertoni termat e përditshëm në matematikë, një "numër çift" është vendi ku është "0 mod 2", që do të thotë se pjesa e mbetur është 0 kur ndahet me 2. Një numër tek është "1 mod 2" (ka një mbetje nga 1).
Numrat çift dhe tek
Çfarë është çift x çift x tek x tek? Epo, është 0 x 0 x 1 x 1=0. Në fakt, ju mund të shihni nëse një numër çift shumëzohet diku, ku i gjithë rezultati do të jetë zero.
Mashtrimi me matematikën modulare është se ne e kemi përdorur tashmë për të ruajtur kohën - nganjëherë quhet "aritmetikë e orës".
Për shembull: 7:00 e mëngjesit (paradite/pm - nuk ka rëndësi). Ku do të jetë akrepi i orës pas 7 orësh?
Modulimet
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 është mbetja kur 14 pjesëtohet me 12. Ekuacioni 14 mod 12=2 mod 12 do të thotë 14 orë dhe 2 orë shikoni e njëjta gjë në një orë 12-orëshe. Ato janë kongruente, të treguara me një shenjë të trefishtë të barabartë: 14 ≡ 2 mod 12.
Një shembull tjetër: është ora 8:00 e mëngjesit. Ku do të jetë dora e madhe pas 25 orësh?
Në vend që të shtoni 25 në 8, mund të kuptoni se 25 orë janë vetëm "1 ditë + 1 orë". Përgjigja është e thjeshtë. Pra, ora do të përfundojë 1 orë përpara - në 9:00.
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. Ju konvertuat në mënyrë intuitive 25 në 1 dhe e shtuat këtë deri në 8.
Duke përdorur orën si një analogji, mund të kuptojmë nëserregullat e aritmetikës modulare dhe ato funksionojnë.
Mblerje/Zbritje
Le të themi se dy herë duken njësoj në orën tonë ("2:00" dhe "14:00"). Nëse u shtojmë të njëjtat x orë të dyjave, çfarë ndodh? Epo, ata ndryshojnë për të njëjtën sasi në orën! 2:00 + 5 orë ≡ 14:00 + 5 orë - të dyja do të shfaqen 7:00.
Pse? Ne thjesht mund të shtojmë 5 në 2 mbetjet që kanë të dyja dhe ato avancojnë në të njëjtën mënyrë. Për të gjithë numrat kongruentë (2 dhe 14), mbledhja dhe zbritja kanë të njëjtin rezultat.
Është më e vështirë të dihet nëse shumëzimi qëndron i njëjtë. Nëse 14 ≡ 2 (mod 12), a mund t'i shumëzojmë të dy numrat dhe të marrim të njëjtin rezultat? Le të shohim se çfarë ndodh kur shumëzojmë me 3.
Epo, 2:003 × 6:00. Por çfarë është 14:003?
Mos harroni, 14=12 + 2. Kështu që mund të themi
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
Pjesa e parë (123) mund të injorohet! Mbushja e 12 orëve që mbart 14 thjesht përsëritet disa herë. Por kujt i bëhet vonë? Gjithsesi ne e injorojmë tejmbushjen.
Shumëzimi
Kur shumëzohet, ka rëndësi vetëm pjesa e mbetur, pra të njëjtat 2 orë për 14:00 dhe 2:00. Në mënyrë intuitive, kjo është se si unë e shoh shumëzimin që nuk ndryshon marrëdhënien me matematikën modulare (ju mund të shumëzoni të dy anët e një marrëdhënieje modulare dhe të merrni të njëjtin rezultat).
Ne e bëjmë atë në mënyrë intuitive, por është mirë t'i vëmë një emër. Keni një fluturim që arrin në orën 15:00. Aivonuar me 14 orë. Në çfarë ore do të zbresë?
14 ≡ 2 mod 12. Pra, mendoni si ora 2, kështu që avioni do të ulet në orën 5 të mëngjesit. Zgjidhja është e thjeshtë: 3 + 2=5 e mëngjesit. Ky është pak më i komplikuar se operacioni i thjeshtë i modulit, por parimi është i njëjtë.
