Çfarë është aritmetika? Kur filloi njerëzimi të përdorte numrat dhe të punonte me ta? Ku shkojnë rrënjët e koncepteve të tilla të përditshme si numrat, thyesat, zbritja, mbledhja dhe shumëzimi, të cilat një person i ka bërë pjesë të pandashme të jetës dhe botëkuptimit të tij? Mendjet e lashta greke i admironin shkencat si matematika, aritmetika dhe gjeometria si simfonitë më të bukura të logjikës njerëzore.
Ndoshta aritmetika nuk është aq e thellë sa shkencat e tjera, por çfarë do të ndodhte me to nëse një person harron tabelën elementare të shumëzimit? Mendimi logjik i zakonshëm për ne, duke përdorur numra, thyesa dhe mjete të tjera, nuk ishte i lehtë për njerëzit dhe për një kohë të gjatë ishte i paarritshëm për paraardhësit tanë. Në fakt, para zhvillimit të aritmetikës, asnjë fushë e njohurive njerëzore nuk ishte vërtet shkencore.
Aritmetika është ABC e matematikës
Aritmetika është shkenca e numrave, me të cilën çdo person fillon të njihet me botën magjepsëse të matematikës. Siç tha M. V. Lomonosov, aritmetika është porta e të mësuarit, duke na hapur rrugën drejt njohurive botërore. Por ai ka të drejtëA mund të ndahet njohja e botës nga njohja e numrave dhe shkronjave, matematikës dhe të folurit? Ndoshta në kohët e vjetra, por jo në botën moderne, ku zhvillimi i shpejtë i shkencës dhe teknologjisë dikton ligjet e veta.
Fjala "arithmetic" (greqisht "arithmos") me origjinë greke, do të thotë "numër". Ajo studion numrat dhe gjithçka që mund të lidhet me ta. Kjo është bota e numrave: veprime të ndryshme me numra, rregulla numerike, zgjidhja e problemeve që lidhen me shumëzimin, zbritjen, etj.
Pranohet përgjithësisht se aritmetika është hapi fillestar i matematikës dhe një bazë solide për seksionet e saj më komplekse, si algjebra, analiza matematikore, matematika e lartë, etj.
Objekti kryesor i aritmetikës
Baza e aritmetikës është një numër i plotë, vetitë dhe modelet e të cilit konsiderohen në aritmetikën më të lartë ose në teorinë e numrave. Në fakt, forca e të gjithë ndërtesës - matematika - varet nga sa korrekte është marrë qasja kur merret parasysh një bllok kaq i vogël si një numër natyror.
Prandaj, pyetjes se çfarë është aritmetika mund t'i përgjigjemi thjesht: është shkenca e numrave. Po, për shtatë, nëntë të zakonshme dhe gjithë këtë komunitet të larmishëm. Dhe ashtu siç nuk mund të shkruash poezi të mirë apo edhe më mediokre pa një alfabet elementar, nuk mund të zgjidhësh as një problem elementar pa aritmetikë. Kjo është arsyeja pse të gjitha shkencat përparuan vetëm pas zhvillimit të aritmetikës dhe matematikës, përpara se të ishin vetëm një grup supozimesh.
Aritmetika është një shkencë fantazmë
Çfarë është aritmetika - shkenca natyrore apo fantazmë? Në fakt, siç argumentuan filozofët e lashtë grekë, as numrat dhe as shifrat nuk ekzistojnë në realitet. Kjo është vetëm një fantazmë që krijohet në të menduarit njerëzor kur merret parasysh mjedisi me proceset e tij. Në të vërtetë, çfarë është një numër? Askund nuk shohim diçka të tillë që mund të quhet numër, përkundrazi, një numër është një mënyrë e mendjes njerëzore për të studiuar botën. Apo ndoshta është studimi i vetes nga brenda? Filozofët kanë debatuar për këtë për shumë shekuj me radhë, ndaj ne nuk marrim përsipër të japim një përgjigje shteruese. Në një mënyrë apo tjetër, aritmetika ka arritur të zërë vendin e saj aq fort sa në botën moderne askush nuk mund të konsiderohet i përshtatur shoqërisht pa i ditur bazat e saj.
Si u shfaq numri natyror
Sigurisht, objekti kryesor mbi të cilin operon aritmetika është një numër natyror, si p.sh. 1, 2, 3, 4, …, 152… etj. Aritmetika e numrave natyrorë është rezultat i numërimit të objekteve të zakonshme, si lopët në një livadh. Megjithatë, përkufizimi i "shumë" ose "pak" dikur pushoi së iu përshtatur njerëzve dhe atyre iu desh të shpiknin teknika më të avancuara numërimi.
Por zbulimi i vërtetë ndodhi kur mendimi njerëzor arriti në pikën që është e mundur të caktohen 2 kilogramë dhe 2 tulla dhe 2 pjesë me të njëjtin numër "dy". Fakti është se ju duhet të abstraktoni nga format, vetitë dhe kuptimi i objekteve, atëherë mund të kryeni disa veprime me këto objekte në formën e numrave natyrorë. Kështu lindi aritmetika e numrave, e cilau zhvillua dhe u zgjerua më tej, duke zënë pozita gjithnjë e më të mëdha në jetën e shoqërisë.
Koncepte të tilla të thella të numrit si numri zero dhe negativ, thyesat, emërtimet e numrave me numra dhe në mënyra të tjera, kanë një histori të pasur dhe interesante zhvillimi.
Egjiptianët aritmetikë dhe praktikë
Dy shoqëruesit më të vjetër të njeriut në eksplorimin e botës rreth nesh dhe zgjidhjen e problemeve të përditshme janë aritmetika dhe gjeometria.
Besohet se historia e aritmetikës e ka origjinën në Lindjen e Lashtë: në Indi, Egjipt, Babiloni dhe Kinë. Kështu, papirusi Rinda me origjinë egjiptiane (i quajtur kështu sepse i përkiste pronarit me të njëjtin emër), që daton në shekullin e 20-të. BC, përveç të dhënave të tjera të vlefshme, përmban zgjerimin e një thyese në shumën e thyesave me emërues të ndryshëm dhe një numërues të barabartë me një.
Për shembull: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Por cili është qëllimi i një dekompozimi kaq kompleks? Fakti është se qasja egjiptiane nuk toleronte mendime abstrakte për numrat, përkundrazi, llogaritjet u bënë vetëm për qëllime praktike. Kjo do të thotë, egjiptiani do të angazhohet në një gjë të tillë si llogaritjet, vetëm për të ndërtuar një varr, për shembull. Ishte e nevojshme të llogaritet gjatësia e skajit të strukturës, dhe kjo e detyroi një person të ulej pas papirusit. Siç mund ta shihni, përparimi egjiptian në llogaritje u shkaktua më tepër nga ndërtimi masiv sesa nga dashuria për shkencën.
Për këtë arsye, llogaritjet e gjetura në papirus nuk mund të quhen reflektime mbi temën e thyesave. Me shumë mundësi, kjo është një përgatitje praktike që ka ndihmuar në të ardhmen.zgjidh problema me thyesa. Egjiptianët e lashtë, të cilët nuk i njihnin tabelat e shumëzimit, bënë llogaritje mjaft të gjata, të zbërthyera në shumë nëndetyra. Ndoshta kjo është një nga ato nën-detyrat. Është e lehtë të shihet se llogaritjet me pjesë të tilla të punës janë shumë të mundimshme dhe jo premtuese. Ndoshta për këtë arsye nuk e shohim kontributin e madh të Egjiptit të lashtë në zhvillimin e matematikës.
Greqia e lashtë dhe aritmetika filozofike
Shumë njohuri për Lindjen e Lashtë u zotëruan me sukses nga grekët e lashtë, dashamirës të famshëm të reflektimeve abstrakte, abstrakte dhe filozofike. Ata nuk ishin më pak të interesuar për praktikën, por është e vështirë të gjesh teoricienët dhe mendimtarët më të mirë. Kjo i ka sjellë dobi shkencës, pasi është e pamundur të thellohesh në aritmetikë pa e shkëputur atë nga realiteti. Sigurisht, ju mund të shumëzoni 10 lopë dhe 100 litra qumësht, por nuk do të arrini shumë larg.
Grekët që mendojnë thellë lanë një gjurmë të rëndësishme në histori dhe shkrimet e tyre kanë ardhur deri tek ne:
- Euklidi dhe Elementet.
- Pytagora.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Dhe, natyrisht, grekët, të cilët e kthyen gjithçka në filozofi, dhe veçanërisht pasuesit e veprës së Pitagorës, ishin aq të magjepsur nga numrat, saqë i konsideronin ato si misterin e harmonisë së botës. Numrat janë studiuar dhe hulumtuar në atë masë sa që disa prej tyre dhe çifteve të tyre u janë caktuar veti të veçanta. Për shembull:
- Numrat perfekt janë ata që janë të barabartë me shumën e të gjithë pjesëtuesve të tyre, me përjashtim të vetë numrit (6=1+2+3).
- Numrat miqësorë janë ata numra, njëri prej të cilëveështë e barabartë me shumën e të gjithë pjesëtuesve të të dytit dhe anasjelltas (pitagorianët dinin vetëm një çift të tillë: 220 dhe 284).
Grekët, të cilët besonin se shkenca duhet dashur dhe jo me të për hir të fitimit, arritën sukses të madh duke eksploruar, luajtur dhe duke shtuar numra. Duhet theksuar se jo të gjitha kërkimet e tyre u përdorën gjerësisht, disa prej tyre mbetën vetëm "për bukuri".
Mendimtarët lindorë të Mesjetës
Në të njëjtën mënyrë, në mesjetë, aritmetika ia detyron zhvillimin e saj bashkëkohësve lindorë. Indianët na dhanë numrat që ne përdorim në mënyrë aktive, një koncept të tillë si "zero" dhe versionin pozicional të llogaritjes, të njohur për perceptimin modern. Nga Al-Kashi, i cili punoi në Samarkand në shekullin e 15-të, ne trashëguam thyesat dhjetore, pa të cilat është e vështirë të imagjinohet aritmetika moderne.
Njohja e Evropës me arritjet e Lindjes në shumë mënyra u bë e mundur falë punës së shkencëtarit italian Leonardo Fibonacci, i cili shkroi veprën "Libri i Abacus", duke prezantuar risitë lindore. Ai u bë gur themeli i zhvillimit të algjebrës dhe aritmetikës, kërkimit dhe aktiviteteve shkencore në Evropë.
aritmetika ruse
Dhe, më në fund, aritmetika, e cila gjeti vendin e saj dhe zuri rrënjë në Evropë, filloi të përhapet në tokat ruse. Aritmetika e parë ruse u botua në 1703 - ishte një libër për aritmetikën nga Leonty Magnitsky. Për një kohë të gjatë ai mbeti i vetmi tekst shkollor në matematikë. Ai përmban momentet fillestare të algjebrës dhe gjeometrisë. Numrat e përdorur në shembujt e librit të parë aritmetik në Rusi janë arabisht. Edhe pse numrat arabë janë parë më parë, në gdhendjet që datojnë në shekullin e 17-të.
Vetë libri është zbukuruar me imazhe të Arkimedit dhe Pitagorës, dhe në fletën e parë - imazhi i aritmetikës në formën e një gruaje. Ajo ulet në një fron, nën të është shkruar në hebraisht një fjalë që tregon emrin e Zotit dhe në shkallët që të çojnë në fron janë të shkruara fjalët "ndarje", "shumëzimi", "shtim" etj.. të vërteta. që tani konsiderohen të zakonshme.
Një libër shkollor me 600 faqe mbulon të dyja bazat si tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit dhe aplikimet për shkencat e lundrimit.
Nuk është për t'u habitur që autori zgjodhi imazhe të mendimtarëve grekë për librin e tij, sepse ai vetë u mahnit nga bukuria e aritmetikës, duke thënë: "Aritmetika është numëruesi, ka art të ndershëm, të palakmueshëm …". Kjo qasje ndaj aritmetikës është mjaft e justifikuar, sepse është futja e saj e përhapur që mund të konsiderohet fillimi i zhvillimit të shpejtë të mendimit shkencor në Rusi dhe arsimit të përgjithshëm.
Temat e parë jokryetar
Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka vetëm 2 pjesëtues pozitivë: 1 dhe vetveten. Të gjithë numrat e tjerë, përveç 1, quhen të përbërë. Shembuj të numrave të thjeshtë: 2, 3, 5, 7, 11 dhe të gjithë të tjerët që nuk kanë pjesëtues përveç 1 dhe vetvetes.
Sa i përket numrit 1, ai është në një llogari të veçantë - ekziston një marrëveshje që nuk duhet të konsiderohet as e thjeshtë dhe as e përbërë. I thjeshtë në shikim të parë, një numër i thjeshtë fsheh brenda vetes shumë mistere të pazgjidhura.
Teorema e Euklidit thotë se ka një numër të pafund të numrave të thjeshtë dhe Eratosthenes shpiku një "sitë" speciale aritmetike që eliminon numrat jo të thjeshtë, duke lënë vetëm ata të thjeshtë.
Thelbi i tij është të nënvizoni numrin e parë të pashkruar, dhe më pas të kryqëzoni ata që janë shumëfish të tij. Ne e përsërisim këtë procedurë shumë herë - dhe marrim një tabelë me numra të thjeshtë.
Teorema Themelore e Aritmetikës
Ndër vëzhgimet rreth numrave të thjeshtë, teorema themelore e aritmetikës duhet përmendur në mënyrë të veçantë.
Teorema themelore e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë më i madh se 1 është ose i thjeshtë, ose mund të zbërthehet në një prodhim të numrave të thjeshtë deri në rendin e faktorëve dhe në një mënyrë unike.
Teorema kryesore e aritmetikës është vërtetuar mjaft e rëndë dhe të kuptuarit e saj nuk duket më si bazat më të thjeshta.
Në shikim të parë, numrat e thjeshtë janë një koncept elementar, por nuk janë. Edhe fizika dikur e konsideronte atomin elementar, derisa gjeti të gjithë universin brenda tij. Një tregim i mrekullueshëm nga matematikani Don Tzagir "Pesëdhjetë milionët e para" i kushtohet numrave të thjeshtë.
Nga "tre mollë" te ligjet deduktive
Ajo që me të vërtetë mund të quhet themeli i përforcuar i të gjithë shkencës janë ligjet e aritmetikës. Edhe në fëmijëri, të gjithë përballen me aritmetikën, duke studiuar numrin e këmbëve dhe krahëve të kukullave,numri i kubeve, mollëve etj. Kështu studiojmë aritmetikën, e cila më pas kalon në rregulla më komplekse.
E gjithë jeta jonë na njeh me rregullat e aritmetikës, të cilat për njeriun e zakonshëm janë bërë më të dobishmet nga gjithçka që jep shkenca. Studimi i numrave është "arithmetic-baby", i cili e fut një person në botën e numrave në formën e numrave në fëmijërinë e hershme.
Aritmetika e lartë është një shkencë deduktive që studion ligjet e aritmetikës. Ne i njohim shumicën prej tyre, megjithëse mund të mos e dimë formulimin e saktë të tyre.
Ligji i mbledhjes dhe shumëzimit
Dy numra natyrorë a dhe b mund të shprehen si një shumë a+b, e cila do të jetë gjithashtu një numër natyror. Ligjet e mëposhtme zbatohen për shtimin:
- Komutativ, që thotë se shuma nuk ndryshon nga rirregullimi i termave, ose a+b=b+a.
- Asociative, që thotë se shuma nuk varet nga mënyra se si janë grupuar termat në vende, ose a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Rregullat e aritmetikës, si mbledhja, janë ndër më elementaret, por ato përdoren nga të gjitha shkencat, për të mos përmendur jetën e përditshme.
Dy numra natyrorë a dhe b mund të shprehen si prodhim ab ose ab, që është gjithashtu një numër natyror. Të njëjtat ligje komutative dhe shoqëruese zbatohen për produktin si për shtimin:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Pyes vetense ekziston një ligj që bashkon mbledhjen dhe shumëzimin, i quajtur gjithashtu ligj shpërndarës ose shpërndarës:
a(b+c)=ab+ac
Ky ligj në fakt na mëson të punojmë me kllapa duke i zgjeruar ato, kështu që ne mund të punojmë me formula më komplekse. Këto janë ligjet që do të na udhëheqin nëpër botën e çuditshme dhe komplekse të algjebrës.
Ligji i rendit aritmetik
Ligji i rendit përdoret nga logjika njerëzore çdo ditë, duke krahasuar orët dhe duke numëruar kartëmonedhat. Dhe, megjithatë, ajo duhet të zyrtarizohet në formën e formulimeve specifike.
Nëse kemi dy numra natyrorë a dhe b, atëherë opsionet e mëposhtme janë të mundshme:
- a është e barabartë me b, ose a=b;
- a është më pak se b, ose a < b;
- a është më i madh se b, ose a > b.
Nga tre opsione, vetëm një mund të jetë e drejtë. Ligji bazë që rregullon rendin thotë: nëse a < b dhe b < c, atëherë a< c.
Ka edhe ligje që lidhen me rendin me shumëzimin dhe mbledhjen: nëse a< është b, atëherë a + c < b+c dhe ac< bc.
Ligjet e aritmetikës na mësojnë të punojmë me numra, shenja dhe kllapa, duke e kthyer gjithçka në një simfoni harmonike numrash.
Njehsimi pozicional dhe jopozicional
Mund të thuhet se numrat janë një gjuhë matematikore, nga komoditeti i së cilës varet shumë. Ka shumë sisteme numrash, të cilët, si alfabetet e gjuhëve të ndryshme, ndryshojnë nga njëri-tjetri.
Le të shqyrtojmë sistemet e numrave nga pikëpamja e ndikimit të pozicionit në vlerën sasiorenumrat në këtë pozicion. Kështu, për shembull, sistemi romak është jopozicional, ku çdo numër është i koduar nga një grup i caktuar karakteresh të veçanta: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ata janë të barabartë, përkatësisht, me numrat 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. Në një sistem të tillë, numri nuk ndryshon përkufizimin e tij sasior në varësi të pozicionit të tij: i pari, i dyti, etj. Për të marrë numra të tjerë, duhet të shtoni ato bazë. Për shembull:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sistemi i numrave më i njohur për ne duke përdorur numrat arabë është pozicional. Në një sistem të tillë, shifra e një numri përcakton numrin e shifrave, për shembull, numrat treshifrorë: 333, 567, etj. Pesha e çdo shifre varet nga pozicioni në të cilin ndodhet kjo apo ajo shifër, për shembull, numri 8 në pozicionin e dytë ka një vlerë prej 80. Kjo është tipike për sistemin dhjetor, ka sisteme të tjera pozicionale, p.sh., binare.
Aritmetikë binare
Jemi njohur me sistemin dhjetor, i përbërë nga numra njëshifrorë dhe shumëshifrorë. Numri në të majtë të një numri shumëshifror është dhjetë herë më i rëndësishëm se ai në të djathtë. Pra, jemi mësuar të lexojmë 2, 17, 467, etj. Seksioni i quajtur "aritmetikë binare" ka një logjikë dhe qasje krejtësisht të ndryshme. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse aritmetika binare nuk u krijua për logjikën njerëzore, por për logjikën kompjuterike. Nëse aritmetika e numrave e ka origjinën nga numërimi i objekteve, i cili u abstragua më tej nga vetitë e objektit në aritmetikë "të zhveshur", atëherë kjo nuk do të funksionojë me një kompjuter. Për të qenë në gjendje për të ndarëme njohuritë e tij për një kompjuter, një person duhej të shpikte një model të tillë llogaritjeje.
Aritmetika binare funksionon me alfabetin binar, i cili përbëhet vetëm nga 0 dhe 1. Dhe përdorimi i këtij alfabeti quhet sistem binar.
Dallimi midis aritmetikës binare dhe aritmetikës dhjetore është se rëndësia e pozicionit në të majtë nuk është më 10, por 2 herë. Numrat binare janë të formës 111, 1001 etj. Si të kuptojmë numra të tillë? Pra, merrni parasysh numrin 1100:
- Shifra e parë në të majtë është 18=8, duke kujtuar se shifra e katërt, që do të thotë se duhet të shumëzohet me 2, marrim pozicionin 8.
- shifra e dytë 14=4 (pozicioni 4).
- shifra e tretë 02=0 (pozicioni 2).
- shifra e katërt 01=0 (pozicioni 1).
- Pra numri ynë është 1100=8+4+0+0=12.
Dmth, kur kaloni në një shifër të re në të majtë, rëndësia e tij në sistemin binar shumëzohet me 2, dhe në dhjetor - me 10. Një sistem i tillë ka një minus: është shumë i madh një rritje në shifra që nevojiten për të shkruar numrat. Shembuj të paraqitjes së numrave dhjetorë si numra binarë mund të gjenden në tabelën e mëposhtme.
Numrat dhjetorë në formë binare tregohen më poshtë.
Përdoren edhe sistemet oktal dhe heksadecimal.
Kjo aritmetikë misterioze
Çfarë është aritmetika, "dy herë dy" apo misteret e paeksploruara të numrave? Siç mund ta shihni, aritmetika mund të duket e thjeshtë në shikim të parë, por lehtësia e saj e padukshme është mashtruese. Mund të studiohet edhe nga fëmijët së bashku me tezen Owl ngakarikaturë "Arithmetic-baby", dhe ju mund të zhyteni në kërkime thellësisht shkencore të një rendi pothuajse filozofik. Në histori, ajo ka kaluar nga numërimi i objekteve në adhurimin e bukurisë së numrave. Vetëm një gjë dihet me siguri: me vendosjen e postulateve bazë të aritmetikës, e gjithë shkenca mund të mbështetet në shpatullën e saj të fortë.
