Duke gjykuar nga popullariteti i kërkesës "Teorema e Fermat - një provë e shkurtër", ky problem matematikor është me të vërtetë me interes për shumë njerëz. Kjo teoremë u deklarua për herë të parë nga Pierre de Fermat në 1637 në buzë të një kopje të Arithmetic, ku ai pretendoi se ai kishte një zgjidhje që ishte shumë e madhe për t'u përshtatur në skaj.
Prova e parë e suksesshme u botua në 1995 - ishte prova e plotë e Teoremës së Fermatit nga Andrew Wiles. Është përshkruar si "progres befasues" dhe bëri që Wiles të merrte çmimin Abel në 2016. Edhe pse përshkruhet relativisht shkurt, vërtetimi i teoremës së Fermatit vërtetoi gjithashtu shumë nga teorema e modularitetit dhe hapi qasje të reja ndaj shumë problemeve të tjera dhe metodave efektive për ngritjen e modularitetit. Këto arritje e kanë avancuar matematikën 100 vjet në të ardhmen. Prova e teoremës së vogël të Fermat sot nuk ështëështë diçka e pazakontë.
Problemi i pazgjidhur stimuloi zhvillimin e teorisë algjebrike të numrave në shekullin e 19-të dhe kërkimin e një prove të teoremës së modularitetit në shekullin e 20-të. Kjo është një nga teoremat më të spikatura në historinë e matematikës dhe deri në provën e plotë të ndarjes së teoremës së fundit të Fermatit, ajo ishte në Librin e Rekordeve Guinness si "problemi matematikor më i vështirë", një nga veçoritë e të cilit është se ka numrin më të madh të provave të pasuksesshme.
Sfondi historik
Ekuacioni i Pitagorës x2 + y2=z2 ka një numër të pafund pozitiv zgjidhje me numra të plotë për x, y dhe z. Këto zgjidhje njihen si trinitetet e Pitagorës. Rreth vitit 1637, Fermat shkroi në buzë të librit se ekuacioni më i përgjithshëm a + b =cnuk ka zgjidhjet në numra natyrorë nëse n është një numër i plotë më i madh se 2. Edhe pse vetë Fermat pretendoi se kishte një zgjidhje për problemin e tij, ai nuk la asnjë detaj për vërtetimin e tij. Prova elementare e teoremës së Fermatit, e pretenduar nga krijuesi i saj, ishte më tepër shpikja e tij mburrje. Libri i matematikanit të madh francez u zbulua 30 vjet pas vdekjes së tij. Ky ekuacion, i quajtur Teorema e fundit e Fermatit, mbeti i pazgjidhur në matematikë për tre shekuj e gjysmë.
Teorema përfundimisht u bë një nga problemet më të dukshme të pazgjidhura në matematikë. Përpjekjet për të vërtetuar këtë shkaktuan një zhvillim të rëndësishëm të teorisë së numrave, dhe me pasazhinkohë, teorema e fundit e Fermatit u bë e njohur si një problem i pazgjidhur në matematikë.
Një histori e shkurtër e provave
Nëse n=4, siç vërtetohet nga vetë Fermat, mjafton të vërtetohet teorema për indekset n që janë numra të thjeshtë. Gjatë dy shekujve të ardhshëm (1637-1839) hamendësimi u vërtetua vetëm për numrat e parë 3, 5 dhe 7, megjithëse Sophie Germain përditësoi dhe vërtetoi një qasje që zbatohej për të gjithë klasën e numrave të parë. Në mesin e shekullit të 19-të, Ernst Kummer e zgjeroi këtë dhe vërtetoi teoremën për të gjithë numrat e thjeshtë të rregullt, ku numrat e parë të parregullt u analizuan individualisht. Bazuar në punën e Kummer dhe duke përdorur kërkime të sofistikuara kompjuterike, matematikanë të tjerë ishin në gjendje të zgjeronin zgjidhjen e teoremës, me qëllim që të mbulonin të gjithë eksponentët kryesorë deri në katër milionë, por prova për të gjithë eksponentët nuk ishte ende e disponueshme (që do të thotë se matematikanët zakonisht konsiderohet zgjidhja e teoremës së pamundur, jashtëzakonisht e vështirë ose e paarritshme me njohuritë aktuale).
Vepra e Shimura dhe Taniyama
Në vitin 1955, matematikanët japonezë Goro Shimura dhe Yutaka Taniyama dyshuan se kishte një lidhje midis kthesave eliptike dhe formave modulare, dy degë shumë të ndryshme të matematikës. E njohur në atë kohë si hamendësimi Taniyama-Shimura-Weyl dhe (në fund të fundit) si teorema e modularitetit, ajo ekzistonte më vete, pa asnjë lidhje të dukshme me teoremën e fundit të Fermatit. Vetë ajo konsiderohej gjerësisht si një teoremë e rëndësishme matematikore, por konsiderohej (si teorema e Fermatit) e pamundur për t'u vërtetuar. Në atëNë të njëjtën kohë, vërtetimi i Teoremës së fundit të Fermatit (duke pjesëtuar dhe zbatuar formula komplekse matematikore) u krye vetëm gjysmë shekulli më vonë.
Në vitin 1984, Gerhard Frey vuri re një lidhje të dukshme midis këtyre dy problemeve të palidhura më parë dhe të pazgjidhura. Një konfirmim i plotë se të dy teoremat ishin të lidhura ngushtë u botua në 1986 nga Ken Ribet, i cili bazohej në një provë të pjesshme nga Jean-Pierre Serra, i cili vërtetoi të gjitha, përveç një pjese, të njohur si "hipoteza e epsilonit". E thënë thjesht, këto punime nga Frey, Serra dhe Ribe treguan se nëse teorema e modularitetit mund të vërtetohej, të paktën për një klasë gjysmë të qëndrueshme të kthesave eliptike, atëherë edhe prova e teoremës së fundit të Fermatit do të zbulohej herët a vonë gjithashtu. Çdo zgjidhje që mund të kundërshtojë teoremën e fundit të Fermatit mund të përdoret gjithashtu për të kundërshtuar teoremën e modularitetit. Prandaj, nëse teorema e modularitetit rezulton e vërtetë, atëherë sipas definicionit nuk mund të ketë një zgjidhje që kundërshton teoremën e fundit të Fermatit, që do të thotë se ajo duhet të ishte vërtetuar së shpejti.
Megjithëse të dyja teoremat ishin probleme të vështira në matematikë, të konsideruara të pazgjidhshme, puna e dy japonezëve ishte sugjerimi i parë se si teorema e fundit e Fermatit mund të zgjerohej dhe provohej për të gjithë numrat, jo vetëm për disa. I rëndësishëm për studiuesit që zgjodhën temën e studimit ishte fakti se, ndryshe nga teorema e fundit e Fermatit, teorema e modularitetit ishte fusha kryesore aktive e kërkimit, për të cilënu zhvilluan prova, dhe jo vetëm çudi historike, kështu që koha e shpenzuar për punën e saj mund të justifikohej nga pikëpamja profesionale. Megjithatë, konsensusi i përgjithshëm ishte se zgjidhja e hamendjes Taniyama-Shimura doli të ishte e papërshtatshme.
Teorema e fundit e fermës: prova e Wiles
Pasi mësoi se Ribet kishte vërtetuar saktësinë e teorisë së Frey, matematikani anglez Andrew Wiles, i cili ka qenë i interesuar për Teoremën e Fundit të Fermatit që nga fëmijëria dhe ka përvojë në punën me kthesat eliptike dhe domenet ngjitur, vendosi të përpiqet të provojë Taniyama-Shimura. Hamendja si një mënyrë për të vërtetuar Teoremën e Fundit të Fermatit. Në vitin 1993, gjashtë vjet pasi shpalli qëllimin e tij, ndërsa punonte fshehurazi në problemin e zgjidhjes së teoremës, Wiles arriti të provonte një hamendësim të lidhur, i cili nga ana tjetër do ta ndihmonte atë të provonte teoremën e fundit të Fermatit. Dokumenti i Wiles ishte i madh në madhësi dhe shtrirje.
Një e metë u zbulua në një pjesë të punimit të tij origjinal gjatë rishikimit të kolegëve dhe kërkoi një vit tjetër bashkëpunimi me Richard Taylor për të zgjidhur së bashku teoremën. Si rezultat, prova përfundimtare e Wiles për Teoremën e Fundit të Fermatit nuk vonoi shumë. Në 1995, ajo u botua në një shkallë shumë më të vogël se puna e mëparshme matematikore e Wiles, duke ilustruar se ai nuk gaboi në përfundimet e tij të mëparshme në lidhje me mundësinë e vërtetimit të teoremës. Arritja e Wiles u publikua gjerësisht në shtypin popullor dhe u popullarizua në libra dhe programe televizive. Pjesët e mbetura të hamendjes Taniyama-Shimura-Weil, të cilat tani janë vërtetuar dhee njohur si teorema e modularitetit, u vërtetuan më pas nga matematikanë të tjerë që u mbështetën në punën e Wiles midis 1996 dhe 2001. Për arritjen e tij, Wiles është nderuar dhe ka marrë çmime të shumta, duke përfshirë çmimin Abel 2016.
Vërtetimi i teoremës së fundit të Fermat nga Wiles është një rast i veçantë i zgjidhjes së teoremës së modularitetit për kurbat eliptike. Sidoqoftë, ky është rasti më i famshëm i një operacioni matematikor kaq të madh. Së bashku me zgjidhjen e teoremës së Ribe, matematikani britanik mori gjithashtu një provë të teoremës së fundit të Fermatit. Teorema e fundit e Fermatit dhe teorema e modularitetit u konsideruan pothuajse universalisht të paprovueshme nga matematikanët modernë, por Andrew Wiles ishte në gjendje t'i provonte botës shkencore se edhe ekspertët mund të gabojnë.
Wyles së pari njoftoi zbulimin e tij të mërkurën më 23 qershor 1993 në një leksion në Kembrixh të titulluar "Format modulare, kthesat eliptike dhe paraqitjet e Galois". Megjithatë, në shtator 1993, u zbulua se llogaritjet e tij përmbanin një gabim. Një vit më vonë, më 19 shtator 1994, në atë që ai do ta quante "momenti më i rëndësishëm i jetës së tij të punës", Wiles u ndesh me një zbulim që e lejoi atë të rregullonte zgjidhjen e problemit deri në pikën ku mund të kënaqte matematikën. komunitet.
Përshkrimi i punës
Dëshmia e Teoremës së Fermatit nga Andrew Wiles përdor shumë metoda nga gjeometria algjebrike dhe teoria e numrave dhe ka shumë degëzime në këtofushat e matematikës. Ai përdor gjithashtu konstruksionet standarde të gjeometrisë algjebrike moderne, të tilla si kategoria e skemave dhe teoria Iwasawa, si dhe metoda të tjera të shekullit të 20-të që nuk ishin të disponueshme për Pierre de Fermat.
Dy artikujt që përmbajnë provat janë 129 faqe dhe janë shkruar gjatë shtatë viteve. John Coates e përshkroi këtë zbulim si një nga arritjet më të mëdha të teorisë së numrave dhe John Conway e quajti atë arritjen kryesore matematikore të shekullit të 20-të. Wiles, për të vërtetuar teoremën e fundit të Fermatit duke vërtetuar teoremën e modularitetit për rastin e veçantë të kthesave eliptike gjysmë të qëndrueshme, zhvilloi metoda të fuqishme për ngritjen e modularitetit dhe hapi qasje të reja për shumë probleme të tjera. Për zgjidhjen e teoremës së fundit të Fermatit, ai u shpall kalorës dhe mori çmime të tjera. Kur u bë e ditur se Wiles kishte fituar çmimin Abel, Akademia Norvegjeze e Shkencave e përshkroi arritjen e tij si "një provë të lezetshme dhe elementare të teoremës së fundit të Fermatit."
Si ishte
Një nga njerëzit që shqyrtoi dorëshkrimin origjinal të Wiles me zgjidhjen e teoremës ishte Nick Katz. Gjatë shqyrtimit të tij, ai i bëri britanikut një sërë pyetjesh sqaruese që e shtynë Wiles të pranonte se puna e tij përmban qartë një boshllëk. Në një pjesë kritike të provës, u bë një gabim që jepte një vlerësim për rendin e një grupi të caktuar: sistemi Euler i përdorur për të zgjeruar metodën Kolyvagin dhe Flach ishte i paplotë. Gabimi, megjithatë, nuk e bëri punën e tij të padobishme - çdo pjesë e punës së Wiles ishte shumë domethënëse dhe novatore në vetvete, siç ishin shumë.zhvillimet dhe metodat që ai krijoi gjatë punës së tij dhe që prekën vetëm një pjesë të dorëshkrimit. Megjithatë, kjo vepër origjinale, e botuar në 1993, nuk kishte vërtet një provë të Teoremës së Fundit të Fermatit.
Wyles kaloi gati një vit duke u përpjekur të rizbulonte një zgjidhje për teoremën, fillimisht vetëm dhe më pas në bashkëpunim me ish-studentin e tij Richard Taylor, por gjithçka dukej se ishte e kotë. Nga fundi i vitit 1993, kishin qarkulluar thashetheme se prova e Wiles kishte dështuar në testim, por sa serioz ishte ai dështim nuk dihej. Matematicienët filluan të ushtronin presion mbi Wiles për të zbuluar detajet e punës së tij, pavarësisht nëse ishte bërë apo jo, në mënyrë që komuniteti më i gjerë i matematikanëve të mund të eksploronte dhe të përdorte gjithçka që ai ishte në gjendje të arrinte. Në vend që të korrigjonte shpejt gabimin e tij, Wiles zbuloi vetëm aspekte të tjera të vështira në vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit dhe më në fund kuptoi se sa e vështirë ishte.
Wyles deklaron se në mëngjesin e 19 shtatorit 1994, ai ishte në prag të heqjes dorë dhe heqjes dorë, dhe pothuajse ishte dorëhequr për të dështuar. Ai ishte gati të botonte veprën e tij të papërfunduar në mënyrë që të tjerët të mund të ndërtonin mbi të dhe të gjenin se ku kishte gabuar. Matematikani anglez vendosi t'i jepte vetes një shans të fundit dhe analizoi teoremën për herë të fundit në përpjekje për të kuptuar arsyet kryesore pse qasja e tij nuk funksionoi, kur papritmas kuptoi se qasja Kolyvagin-Flac nuk do të funksiononte derisa aido të përfshijë gjithashtu teorinë e Iwasawa në procesin e provës, duke e bërë atë të funksionojë.
Më 6 tetor, Wiles u kërkoi tre kolegëve (përfshirë F altins) të rishikonin punën e tij të re dhe më 24 tetor 1994, ai paraqiti dy dorëshkrime - "Kurbat eliptike modulare dhe teorema e fundit e Fermatit" dhe "Vetitë teorike të unaza e disa algjebrave Hecke", e dyta prej të cilave Wiles shkroi bashkë me Taylor dhe vërtetoi se disa kushte ishin përmbushur për të justifikuar hapin e korrigjuar në artikullin kryesor.
Këto dy punime u rishikuan dhe më në fund u botuan si një botim me tekst të plotë në Annals of Mathematics të majit 1995. Llogaritjet e reja të Andrew u analizuan gjerësisht dhe përfundimisht u pranuan nga komuniteti shkencor. Në këto dokumente, u krijua teorema e modularitetit për kthesat eliptike gjysmë të qëndrueshme - hapi i fundit drejt vërtetimit të Teoremës së Fundit të Fermatit, 358 vjet pasi u krijua.
Historia e Problemit të Madh
Zgjidhja e kësaj teoreme është konsideruar si problemi më i madh në matematikë për shumë shekuj. Në 1816 dhe në 1850 Akademia Franceze e Shkencave ofroi një çmim për një provë të përgjithshme të Teoremës së Fundit të Fermatit. Në 1857, Akademia i dha 3000 franga dhe një medalje ari Kummerit për kërkimin e tij mbi numrat idealë, megjithëse ai nuk aplikoi për çmimin. Një çmim tjetër iu ofrua atij në 1883 nga Akademia e Brukselit.
Çmimi Wolfskell
Në vitin 1908, industrialisti dhe matematikani amator gjerman Paul Wolfskel la trashëgim 100,000 marka ari (një sasi e madhe për atë kohë)Akademia e Shkencave e Göttingen-it, në mënyrë që këto para të bëhen një çmim për vërtetimin e plotë të teoremës së fundit të Fermatit. Më 27 qershor 1908, Akademia botoi nëntë rregulla për çmimet. Ndër të tjera, këto rregulla kërkonin që prova të botohej në një ditar të rishikuar nga kolegët. Çmimi do të jepej vetëm dy vjet pas publikimit. Konkursi duhej të përfundonte më 13 shtator 2007 - rreth një shekull pasi filloi. Më 27 qershor 1997, Wiles mori çmimin e Wolfschel-it dhe më pas 50,000 dollarë të tjera. Në mars 2016, ai mori 600,000 euro nga qeveria norvegjeze si pjesë e çmimit Abel për "një provë mahnitëse të teoremës së fundit të Fermatit me ndihmën e hamendësimit të modularitetit për kthesat eliptike gjysmë të qëndrueshme, duke hapur një epokë të re në teorinë e numrave". Ishte triumfi botëror i anglezit të përulur.
Përpara provës së Wiles, teorema e Fermatit, siç u përmend më herët, konsiderohej absolutisht e pazgjidhshme për shekuj. Mijëra prova të pasakta në periudha të ndryshme iu paraqitën komitetit Wolfskell, që arrinin afërsisht 10 këmbë (3 metra) korrespondencë. Vetëm në vitin e parë të ekzistencës së çmimit (1907-1908) u paraqitën 621 aplikime që pretendonin të zgjidhnin teoremën, megjithëse në vitet 1970 numri i tyre ishte ulur në rreth 3-4 aplikime në muaj. Sipas F. Schlichting, recensues i Wolfschel-it, shumica e provave bazoheshin në metodat elementare të mësuara në shkolla dhe shpesh paraqiteshin si "njerëz me përvojë teknike, por karriera të pasuksesshme". Sipas historianit të matematikës Howard Aves, i funditTeorema e Fermatit ka vendosur një lloj rekord - kjo është teorema me numrin më të madh të provave të pasakta.
Dafina e fermës shkuan për japonezët
Siç u përmend më herët, rreth vitit 1955, matematikanët japonezë Goro Shimura dhe Yutaka Taniyama zbuluan një lidhje të mundshme midis dy degëve në dukje krejtësisht të ndryshme të matematikës - kthesave eliptike dhe formave modulare. Teorema e modularitetit që rezulton (i njohur atëherë si hamendësimi Taniyama-Shimura) thotë se çdo kurbë eliptike është modulare, që do të thotë se mund të shoqërohet me një formë unike modulare.
Teoria fillimisht u hodh poshtë si e pamundur ose shumë spekulative, por u mor më seriozisht kur teoricieni i numrave André Weil gjeti prova për të mbështetur përfundimet japoneze. Si rezultat, hipoteza shpesh është referuar si hipoteza Taniyama-Shimura-Weil. Ajo u bë pjesë e programit Langlands, i cili është një listë me hipoteza të rëndësishme që duhen vërtetuar në të ardhmen.
Edhe pas një shqyrtimi serioz, hamendësimi është njohur nga matematikanët modernë si jashtëzakonisht i vështirë, ose ndoshta i paarritshëm për t'u vërtetuar. Tani kjo teoremë e veçantë është duke pritur për Andrew Wiles-in e saj, i cili mund të befasojë të gjithë botën me zgjidhjen e saj.
Teorema e Fermatit: vërtetimi i Perelman
Pavarësisht mitit popullor, matematikani rus Grigory Perelman, me gjithë gjenialitetin e tij, nuk ka asnjë lidhje me teoremën e Fermatit. E cila, megjithatë, në asnjë mënyrë nuk e ul atë.kontribute të shumta për komunitetin shkencor.
