Ndoshta, koncepti i një derivati është i njohur për secilin prej nesh që në shkollë. Zakonisht nxënësit e kanë të vështirë ta kuptojnë këtë gjë, pa dyshim, shumë të rëndësishme. Përdoret në mënyrë aktive në fusha të ndryshme të jetës së njerëzve, dhe shumë zhvillime inxhinierike u bazuan pikërisht në llogaritjet matematikore të marra duke përdorur derivatin. Por, përpara se të vazhdojmë me analizën se çfarë janë derivatet e numrave, si t'i llogaritim dhe ku janë të dobishëm për ne, le të zhytemi në histori.
Histori
Koncepti i derivatit, i cili është baza e analizës matematikore, u zbulua (më mirë do të ishte "i shpikur", sepse ai nuk ekzistonte në natyrë si i tillë) nga Isak Njutoni, të cilin të gjithë e njohim. nga zbulimi i ligjit të gravitetit universal. Ishte ai që e aplikoi i pari këtë koncept në fizikë për të lidhur natyrën e shpejtësisë dhe nxitimit të trupave. Dhe shumë shkencëtarë ende e lavdërojnë Njutonin për këtë shpikje madhështore, sepse në fakt ai shpiku bazën e llogaritjes diferenciale dhe integrale, në fakt, bazën e një fushe të tërë të matematikës të quajtur "llogaritje". Nëse në atë kohë çmimin Nobel, Njutoni do ta kishte marrë me një probabilitet të lartë disa herë.
Jo pa mendje të tjera të shkëlqyera. Përveç NjutonitGjeni të tillë të shquar matematikorë si Leonhard Euler, Louis Lagrange dhe Gottfried Leibniz punuan në zhvillimin e derivatit dhe integralit. Është falë tyre që ne kemi marrë teorinë e llogaritjes diferenciale në formën në të cilën ekziston deri më sot. Nga rruga, ishte Leibniz ai që zbuloi kuptimin gjeometrik të derivatit, i cili rezultoi të ishte asgjë më shumë se tangjentja e pjerrësisë së tangjentës me grafikun e funksionit.
Cilat janë derivatet e numrave? Le të përsërisim pak atë që kemi kaluar në shkollë.
Çfarë është një derivat?
Ky koncept mund të përkufizohet në disa mënyra të ndryshme. Shpjegimi më i thjeshtë është se derivati është shpejtësia e ndryshimit të funksionit. Imagjinoni një grafik të një funksioni y të x. Nëse nuk është i drejtë, atëherë ka disa kthesa në grafik, periudha të rritjes dhe uljes. Nëse marrim një interval pafundësisht të vogël të këtij grafiku, ai do të jetë një segment i drejtë. Pra, raporti i madhësisë së këtij segmenti pafundësisht të vogël përgjatë koordinatës y me madhësinë përgjatë koordinatës x do të jetë derivati i këtij funksioni në një pikë të caktuar. Nëse e konsiderojmë funksionin si një të tërë, dhe jo në një pikë të caktuar, atëherë do të marrim një funksion derivat, domethënë një varësi të caktuar të y nga x.
Përveç kuptimit fizik të derivatit si shpejtësia e ndryshimit të një funksioni, ekziston edhe një kuptim gjeometrik. Ne do të flasim për të tani.
Ndjenjë gjeometrike
Vetë derivatet e numrave përfaqësojnë një numër të caktuar, i cili, pa kuptuar mirë, nuk mbartasnjë pikë. Rezulton se derivati jo vetëm që tregon shpejtësinë e rritjes ose uljes së funksionit, por edhe tangjentën e pjerrësisë së tangjentës me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar. Jo një përkufizim shumë i qartë. Le ta analizojmë më në detaje. Le të themi se kemi një grafik të një funksioni (për interes, le të marrim një kurbë). Ka një numër të pafund pikësh, por ka zona ku vetëm një pikë e vetme ka një maksimum ose minimal. Përmes çdo pike të tillë është e mundur të vizatohet një vijë që do të ishte pingul me grafikun e funksionit në atë pikë. Një vijë e tillë do të quhet tangjente. Le të themi se e kaluam atë në kryqëzimin me boshtin OX. Pra, këndi i marrë ndërmjet tangjentes dhe boshtit OX do të përcaktohet nga derivati. Më saktë, tangjentja e këtij këndi do të jetë e barabartë me të.
Le të flasim pak për raste të veçanta dhe të analizojmë derivatet e numrave.
Rastet speciale
Siç kemi thënë tashmë, derivatet e numrave janë vlerat e derivatit në një pikë të caktuar. Për shembull, le të marrim funksionin y=x2. Derivati x është një numër, dhe në rastin e përgjithshëm, një funksion i barabartë me 2x. Nëse duhet të llogarisim derivatin, le të themi, në pikën x0=1, atëherë marrim y'(1)=21=2. Gjithçka është shumë e thjeshtë. Një rast interesant është derivati i një numri kompleks. Ne nuk do të hyjmë në një shpjegim të detajuar se çfarë është një numër kompleks. Le të themi vetëm se ky është një numër që përmban të ashtuquajturën njësi imagjinare - një numër katrori i të cilit është -1. Llogaritja e një derivati të tillë është e mundur vetëm nëse vijonkushtet:
1) Duhet të ketë derivate të pjesshëm të rendit të parë të pjesëve reale dhe imagjinare në lidhje me Y dhe X.
2) Kushtet Cauchy-Riemann të lidhura me barazinë e derivateve të pjesshme të përshkruara në paragrafin e parë janë përmbushur.
Një rast tjetër interesant, megjithëse jo aq i ndërlikuar sa ai i mëparshmi, është derivati i një numri negativ. Në fakt, çdo numër negativ mund të përfaqësohet si një numër pozitiv i shumëzuar me -1. Pra, derivati i konstantës dhe i funksionit është i barabartë me konstanten e shumëzuar me derivatin e funksionit.
Do të jetë interesante të mësojmë për rolin e derivatit në jetën e përditshme, dhe kjo është ajo që do të diskutojmë tani.
Aplikacion
Ndoshta, secili prej nesh të paktën një herë në jetën e tij e kap veten duke menduar se matematika nuk ka gjasa të jetë e dobishme për të. Dhe një gjë kaq e ndërlikuar si një derivat, me siguri, nuk ka fare zbatim. Në fakt, matematika është një shkencë themelore dhe të gjitha frytet e saj zhvillohen kryesisht nga fizika, kimia, astronomia dhe madje edhe ekonomia. Derivati ishte fillimi i analizës matematikore, e cila na dha mundësinë për të nxjerrë përfundime nga grafikët e funksioneve dhe ne mësuam të interpretonim ligjet e natyrës dhe t'i kthejmë ato në avantazhin tonë falë tij.
Përfundim
Sigurisht, jo të gjithë mund të kenë nevojë për një derivat në jetën reale. Por matematika zhvillon logjikën, e cila me siguri do të jetë e nevojshme. Jo më kot matematika quhet mbretëresha e shkencave: ajo përbën bazën për të kuptuar fushat e tjera të dijes.
