Sistemet e numrave - çfarë është? Edhe pa e ditur përgjigjen e kësaj pyetjeje, secili prej nesh përdor në mënyrë të pavullnetshme sistemet e numrave në jetën tonë dhe nuk dyshon për të. Ashtu është, shumës! Kjo është, jo një, por disa. Përpara se të japim shembuj të sistemeve të numrave jopozicional, le ta kuptojmë këtë çështje, le të flasim edhe për sistemet pozicionale.
Nevojitet faturë
Që nga kohërat e lashta, njerëzit kishin nevojë për numërim, domethënë ata e kuptuan intuitivisht se duhej të shprehnin disi një vizion sasior të gjërave dhe ngjarjeve. Truri sugjeroi se ishte e nevojshme të përdoreshin objekte për numërim. Gishtat kanë qenë gjithmonë më të përshtatshëm, dhe kjo është e kuptueshme, sepse ata janë gjithmonë të disponueshëm (me përjashtime të rralla).
Pra, përfaqësuesit e lashtë të racës njerëzore duhej të përkulnin gishtat në kuptimin e mirëfilltë - për të treguar numrin e mamuthëve të vrarë, për shembull. Elementë të tillë të llogarisë nuk kishin ende emra, por vetëm një pamje vizuale, një krahasim.
Sistemet moderne të numrave pozicional
Sistemi i numrave është një metodë (mënyrë) e paraqitjes së vlerave dhe sasive duke përdorur shenja të caktuara (simbole ose shkronja).
Duhet të kuptojmë se çfarë është pozicionale dhe jopozicionale në numërim përpara se të jepen shembuj të sistemeve të numrave jopozicionalë. Ka shumë sisteme të numrave pozicional. Tani këto janë përdorur në fusha të ndryshme të njohurive: binar (përfshin vetëm dy elementë domethënës: 0 dhe 1), heksadecimal (numri i karaktereve - 6), oktal (karaktere - 8), duodecimal (dymbëdhjetë karaktere), heksadecimal (përfshin gjashtëmbëdhjetë personazhe). Për më tepër, çdo rresht i karaktereve në sisteme fillon nga zero. Teknologjitë moderne kompjuterike bazohen në përdorimin e kodeve binare - sistemi i numrave pozicional binar.
Sistemi i numrave dhjetor
Pozicionaliteti është prania e pozicioneve domethënëse në shkallë të ndryshme, në të cilat ndodhen shenjat e numrit. Kjo mund të demonstrohet më së miri duke përdorur shembullin e sistemit të numrave dhjetorë. Në fund të fundit, ne jemi mësuar ta përdorim që nga fëmijëria. Në këtë sistem ka dhjetë shenja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Merrni numrin 327. Ai ka tre shenja: 3, 2, 7. Secila prej tyre ndodhet në pozicionin (vendin) e vet. Shtatë zënë pozicionin e rezervuar për vlera të vetme (njësi), dy - dhjetëra dhe tre - qindra. Meqenëse numri është treshifror, pra, ka vetëm tre pozicione në të.
Bazuar në sa më sipër, kjonjë numër dhjetor treshifror mund të përshkruhet si më poshtë: treqind, dy dhjetëshe dhe shtatë njësi. Për më tepër, rëndësia (rëndësia) e pozicioneve llogaritet nga e majta në të djathtë, nga një pozicion i dobët (një) në një më të fortë (qindra).
Ndihemi shumë rehat në sistemin e numrave pozicional dhjetor. Ne kemi dhjetë gishta në duart tona, dhe të njëjtën gjë në këmbët tona. Pesë plus pesë - kështu që, falë gishtërinjve, ne imagjinojmë lehtësisht një duzinë nga fëmijëria. Kjo është arsyeja pse është e lehtë për fëmijët të mësojnë tabelat e shumëzimit për pesë dhe dhjetë. Dhe është gjithashtu kaq e lehtë të mësosh se si të numërosh kartëmonedhat, të cilat më së shpeshti janë shumëfish (d.m.th., të ndara pa mbetje) me pesë dhe dhjetë.
Sisteme të tjera të numrave pozicional
Për habinë e shumë njerëzve, duhet thënë se jo vetëm në sistemin e numërimit dhjetor, truri ynë është mësuar të bëjë disa llogaritje. Deri më tani, njerëzimi ka përdorur sisteme numrash gjashtë dhe duodecimal. Kjo do të thotë, në një sistem të tillë ka vetëm gjashtë karaktere (në heksadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Në duodecimal ka dymbëdhjetë prej tyre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, ku A - tregon numrin 10, B - numrin 11 (pasi shenja duhet të jetë një).
Gjykojeni vetë. Ne e llogarisim kohën në gjashtë, apo jo? Një orë është gjashtëdhjetë minuta (gjashtë dhjetëra), një ditë është njëzet e katër orë (dy herë dymbëdhjetë), një vit është dymbëdhjetë muaj, e kështu me radhë… Të gjitha intervalet kohore përshtaten lehtësisht në seritë gjashtëshe dhe duodecimal. Por ne jemi mësuar aq shumë me të sa nuk e mendojmë as kur numërojmë kohën.
Sistemet e numrave jopozicionalë. unary
Është e nevojshme të përcaktohet se çfarë është - një sistem numrash jopozicional. Ky është një sistem i tillë shenjash në të cilin nuk ka pozicione për shenjat e një numri, ose parimi i "leximit" të një numri nuk varet nga pozicioni. Ai gjithashtu ka rregullat e veta për të shkruar ose llogaritur.
Le të japim shembuj të sistemeve të numrave jopozicionalë. Le të kthehemi në antikitet. Njerëzit kishin nevojë për një llogari dhe dolën me shpikjen më të thjeshtë - nyjet. Sistemi i numrave jopozicional është nodular. Një artikull (një thes me oriz, një dem, një kashtë, etj.) numërohej, për shembull, kur blihej ose shitej, dhe lidhej një nyjë në një fije.
Si rezultat, në litar u bënë aq nyje aq sa u blenë qese me oriz (si shembull). Por mund të jenë edhe pika në një shkop druri, në një pllakë guri, etj. Një sistem i tillë numrash u bë i njohur si nodular. Ajo ka një emër të dytë - unary, ose single ("uno" në latinisht do të thotë "një").
Bëhet e qartë se ky sistem numrash është jopozicional. Në fund të fundit, për çfarë pozicionesh mund të flasim kur ai (pozita) është vetëm një! Mjaft e çuditshme, në disa pjesë të Tokës, sistemi unar i numrave jopozicional është ende në përdorim.
Gjithashtu, sistemet e numrave jopozicional përfshijnë:
- Roman (shkronjat përdoren për të shkruar numra - shkronja latine);
- egjiptian i lashtë (i ngjashëm me romak, përdoreshin edhe simbole);
- alfabetik (shkronjat e alfabetit janë përdorur);
- Babilonisht (kuneiform - përdoret direkt dhe"pykë" e përmbysur);
- Greqisht (e referuar edhe si alfabetike).
Sistemi i numrave romak
Perandoria e lashtë Romake, si dhe shkenca e saj, ishte shumë progresive. Romakët i dhanë botës shumë shpikje të dobishme të shkencës dhe artit, duke përfshirë sistemin e tyre të numërimit. Dyqind vjet më parë, numrat romakë u përdorën për të treguar shumat në dokumentet e biznesit (kështu u shmang falsifikimi).
Numërimi romak është një shembull i një sistemi numrash jopozicional, ne e dimë atë tani. Gjithashtu, sistemi romak përdoret në mënyrë aktive, por jo për llogaritjet matematikore, por për veprime të fokusuara ngushtë. Për shembull, me ndihmën e numrave romakë, është zakon të caktohen datat historike, shekujt, numrat e vëllimeve, seksioneve dhe kapitujve në botimet e librave. Shenjat romake përdoren shpesh për të dekoruar numrin e orëve. Dhe gjithashtu numërimi romak është një shembull i një sistemi numrash jopozicional.
Romakët i shënonin numrat me shkronja latine. Për më tepër, ata i shkruanin numrat sipas rregullave të caktuara. Ekziston një listë e simboleve kryesore në sistemin numerik romak, me ndihmën e të cilave janë shkruar të gjithë numrat pa përjashtim.
| Numri (dhjetor) | Numri romak (shkronja e alfabetit latin) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Rregullat për kompozimin e numrave
Numri i kërkuar është marrë duke shtuar shenja (gërma latine) dhe duke llogaritur shumën e tyre. Le të shqyrtojmë se si simbolikisht shkruhen shenjat në sistemin romak dhe si duhet të "lexohen". Le të rendisim ligjet kryesore të formimit të numrave në sistemin romak të numrave jopozicional.
- Numri katër - IV, përbëhet nga dy karaktere (I, V - një dhe pesë). Përftohet duke zbritur shenjën më të vogël nga më e madhja nëse është në të majtë. Kur shenja më e vogël ndodhet në të djathtë, ju duhet të shtoni, atëherë merrni numrin gjashtë - VI.
- Është e nevojshme të shtoni dy shenja identike pranë njëra-tjetrës. Për shembull: SS është 200 (C është 100), ose XX është 20.
- Nëse shenja e parë e një numri është më e vogël se e dyta, atëherë karakteri i tretë në këtë rresht mund të jetë një karakter vlera e të cilit është edhe më e vogël se e para. Për të shmangur konfuzionin, këtu është një shembull: CDX - 410 (në dhjetor).
- Disa numra të mëdhenj mund të përfaqësohen në mënyra të ndryshme, gjë që është një nga disavantazhet e sistemit romak të numërimit. Këtu janë disa shembuj: MVM (romake)=1000 + (1000 - 5)=1995 (dhjetëshe) ose MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Dhe kjo nuk është e gjitha.
Truke aritmetike
Sistemi numrash jopozicional ndonjëherë është një grup rregullash komplekse për formimin e numrave, përpunimin e tyre (veprimet mbi to). Veprimet aritmetike në sistemet e numrave jopozicionalë nuk janë të lehtapër njerëzit modernë. Nuk i kemi zili matematikanët romakë të lashtë!
Shembull i shtimit. Le të përpiqemi të shtojmë dy numra: XIX + XXVI=XXXV, kjo detyrë kryhet në dy hapa:
- Së pari - merrni dhe shtoni thyesat më të vogla të numrave: IX + VI=XV (I pas V dhe I para X "shkatërrojnë" njëri-tjetrin).
- E dyta - shtoni thyesa të mëdha të dy numrave: X + XX=XXX.
Zbritja është disi më e ndërlikuar. Numri që do të reduktohet duhet të ndahet në elementët përbërës të tij, dhe më pas karakteret e dubluara të reduktohen në numrin që do të zvogëlohet dhe do të zbritet. Zbrit 263 nga 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Shumëzimi i numrave romakë. Nga rruga, është e nevojshme të përmendet se romakët nuk kishin shenja të veprimeve aritmetike, ata thjesht i shënuan ato me fjalë.
Numri i shumëfishtë duhej të shumëzohej me çdo simbol individual të shumëzuesit, duke rezultuar në disa produkte që duheshin shtuar. Kështu shumëzohen polinomet.
Për sa i përket ndarjes, ky proces në sistemin numerik romak ishte dhe mbetet më i vështiri. Këtu përdorej numëratori i lashtë romak. Për të punuar me të, njerëzit u trajnuan posaçërisht (dhe jo çdo person arriti të zotëronte një shkencë të tillë).
Mbi disavantazhet e sistemeve jopozicionale
Siç u përmend më lart, sistemet e numrave jopozicionalë kanë të metat e tyre, shqetësimet në përdorim. Unary është mjaft i thjeshtë për një numërim të thjeshtë, por për llogaritjet aritmetike dhe komplekse nuk ështëmjaft mirë.
Në romake nuk ka rregulla uniforme për formimin e numrave të mëdhenj dhe lind konfuzioni, dhe gjithashtu është shumë e vështirë të bëhen llogaritjet në të. Gjithashtu, numri më i madh që romakët e lashtë mund të shkruanin me metodën e tyre ishte 100,000.
