Paradoksi i Bertrandit është një problem në interpretimin klasik të teorisë së probabilitetit. Joseph e prezantoi atë në veprën e tij Calcul des probabilités (1889) si një shembull që probabilitetet nuk mund të përcaktohen mirë nëse një mekanizëm ose metodë prodhon një ndryshore të rastësishme.
Deklaratë problemi
Paradoksi i Bertrandit është si më poshtë.
Së pari, merrni parasysh një trekëndësh barabrinjës të gdhendur në një rreth. Në këtë rast, diametri zgjidhet rastësisht. Sa është probabiliteti që ai të jetë më i gjatë se brinja e trekëndëshit?
Bertrand bëri tre argumente, të cilat duken të gjitha të sakta, por japin rezultate të ndryshme.
Metodë e pikës fundore të rastësishme
Duhet të zgjidhni dy vende në rreth dhe të vizatoni një hark që i lidh ato. Për llogaritjen, merret parasysh paradoksi i probabilitetit të Bertrand-it. Është e nevojshme të imagjinohet që trekëndëshi rrotullohet në mënyrë që kulmi i tij të përputhet me një nga pikat fundore të kordës. ja vlen te paguashvini re se nëse pjesa tjetër është në një hark midis dy vendeve, rrethi është më i gjatë se ana e trekëndëshit. Gjatësia e harkut është një e treta e rrethit, kështu që probabiliteti që një akord i rastësishëm të jetë më i gjatë është 1/3.
Mënyra e përzgjedhjes
Është e nevojshme të zgjidhni rrezen e rrethit dhe një pikë në të. Pas kësaj, ju duhet të ndërtoni një akord përmes këtij vendi, pingul me diametrin. Për të llogaritur paradoksin e konsideruar të Bertrand-it të teorisë së probabilitetit, duhet imagjinuar se trekëndëshi rrotullohet në mënyrë që brinja të jetë pingul me rrezen. Akordi është më i gjatë se këmba nëse pika e zgjedhur është më afër qendrës së rrethit. Dhe në këtë rast, ana e trekëndëshit përgjysmon rrezen. Prandaj, probabiliteti që korda të jetë më e gjatë se ana e figurës së brendashkruar është 1/2.
Akorde të rastësishme
Metoda e pikës së mesit. Është e nevojshme të zgjidhni një vend në rreth dhe të krijoni një akord me një mes të caktuar. Boshti është më i gjatë se buza e trekëndëshit të brendashkruar, nëse vendndodhja e zgjedhur është brenda një rrethi koncentrik me rreze 1/2. Sipërfaqja e rrethit më të vogël është një e katërta e figurës më të madhe. Prandaj, probabiliteti i një korde të rastësishme është më i gjatë se brinja e trekëndëshit të brendashkruar dhe është e barabartë me 1/4.
Siç u paraqit më sipër, metodat e përzgjedhjes ndryshojnë në peshën që u japin akordeve të caktuara, të cilat janë diametra. Në metodën 1, çdo akord mund të zgjidhet saktësisht në një mënyrë, pavarësisht nëse është apo jo një diametër.
Në metodën 2, çdo vijë e drejtë mund të zgjidhet në dy mënyra. Ndërsa çdo akord tjetër do të zgjidhetvetëm një nga mundësitë.
Në metodën 3, çdo përzgjedhje e pikës së mesit ka një parametër të vetëm. Me përjashtim të qendrës së rrethit, e cila është mesi i të gjithë diametrave. Këto probleme mund të shmangen duke "renditur" të gjitha pyetjet për të përjashtuar parametrat pa ndikuar në probabilitetet që rezultojnë.
Metodat e përzgjedhura mund të vizualizohen gjithashtu si më poshtë. Një akord që nuk është një diametër identifikohet në mënyrë unike nga mesi i tij. Secila nga tre metodat e përzgjedhjes të paraqitura më sipër prodhon një shpërndarje të ndryshme të mesit. Dhe opsionet 1 dhe 2 ofrojnë dy ndarje të ndryshme jo uniforme, ndërsa metoda 3 jep një shpërndarje uniforme.
Paradoksi klasik i zgjidhjes së problemit të Bertrand-it varet nga metoda me të cilën zgjidhet akordi "rastësisht". Rezulton se nëse një metodë e përzgjedhjes së rastësishme specifikohet paraprakisht, problemi ka një zgjidhje të mirëpërcaktuar. Kjo është për shkak se çdo metodë individuale ka shpërndarjen e vet të akordeve. Tre vendimet e treguara nga Bertrand korrespondojnë me mënyra të ndryshme përzgjedhjeje dhe, në mungesë të informacionit të mëtejshëm, nuk ka asnjë arsye për të favorizuar njëra mbi tjetrën. Prandaj, problemi i deklaruar nuk ka një zgjidhje të vetme.
Një shembull se si të bëhet unike një përgjigje e përgjithshme është të specifikoni se pikat fundore të kordës janë të ndara në mënyrë të barabartë midis 0 dhe c, ku c është perimetri i rrethit. Kjo shpërndarje është e njëjtë si në argumentin e parë të Bertrandit dhe probabiliteti unik që rezulton do të jetë 1/3.
Ky paradoks i Bertrand Russell dhe unike të tjera të klasikesinterpretimet e mundësisë justifikojnë formulime më rigoroze. Duke përfshirë frekuencën e probabilitetit dhe teorinë subjektiviste Bayesian.
Çfarë qëndron në themel të paradoksit të Bertrand
Në artikullin e tij të vitit 1973 "Problemi i shtruar mirë", Edwin Jaynes ofroi zgjidhjen e tij unike. Ai vuri në dukje se paradoksi i Bertrand-it bazohet në një premisë të bazuar në parimin e "injorancës maksimale". Kjo do të thotë që nuk duhet të përdorni asnjë informacion që nuk është dhënë në deklaratën e problemit. Jaynes vuri në dukje se problemi i Bertrand nuk përcakton pozicionin ose madhësinë e rrethit. Dhe argumentoi se prandaj çdo vendim i caktuar dhe objektiv duhet të jetë "indiferent" ndaj madhësisë dhe pozicionit.
Për qëllime ilustrimi
Duke supozuar se të gjitha akordet janë vendosur rastësisht në një rreth 2 cm, tani ju duhet t'i hidhni kashtë nga larg.
Pastaj ju duhet të merrni një rreth tjetër me një diametër më të vogël (për shembull, 1 centimetër), i cili përshtatet në një figurë më të madhe. Pastaj shpërndarja e akordeve në këtë rreth më të vogël duhet të jetë e njëjtë si në atë maksimal. Nëse shifra e dytë lëviz gjithashtu brenda së parës, probabiliteti, në parim, nuk duhet të ndryshojë. Është shumë e lehtë të shihet se për metodën 3 do të ndodhë ndryshimi i mëposhtëm: shpërndarja e akordeve në rrethin e vogël të kuq do të jetë cilësisht e ndryshme nga shpërndarja në rrethin e madh.
E njëjta gjë ndodh edhe me metodën 1. Edhe pse është më e vështirë të shihet në pamjen grafike.
Metoda 2 është e vetmjaqë rezulton të jetë edhe një shkallë edhe një përkthim i pandryshueshëm.
Metoda numër 3 duket se është thjesht e zgjerueshme.
Metoda 1 nuk është asnjëra.
Megjithatë, Janes nuk përdori lehtësisht invariante për të pranuar ose hedhur poshtë këto metoda. Kjo do të linte mundësinë që të ekzistonte një metodë tjetër e papërshkruar që do t'i përshtatej aspekteve të saj të kuptimit të arsyeshëm. Jaynes aplikoi ekuacione integrale që përshkruan invariancat. Për të përcaktuar drejtpërdrejt shpërndarjen e probabilitetit. Në problemin e tij, ekuacionet integrale kanë vërtet një zgjidhje unike, dhe kjo është pikërisht ajo që u quajt metoda e dytë e rrezes së rastësishme më lart.
Në një punim të vitit 2015, Alon Drory argumenton se parimi i Jaynes mund të japë gjithashtu dy zgjidhje të tjera të Bertrand. Autori siguron se zbatimi matematikor i vetive të mësipërme të pandryshueshmërisë nuk është unik, por varet nga procedura bazë e përzgjedhjes së rastësishme që një person vendos të përdorë. Ai tregon se secila nga tre zgjidhjet e Bertrand-it mund të merret duke përdorur pandryshueshmërinë rrotulluese, shkallëzuese dhe përkthimore. Në të njëjtën kohë, duke arritur në përfundimin se parimi Jaynes është po aq subjekt i interpretimit sa vetë mënyra e indiferencës.
Eksperimente fizike
Metoda 2 është e vetmja zgjidhje që plotëson invariantet e transformimit që janë të pranishme në koncepte specifike fiziologjike si mekanika statistikore dhe struktura e gazit. Gjithashtu në të propozuarEksperimenti i Janes për hedhjen e kashtës nga një rreth i vogël.
Megjithatë, mund të projektohen eksperimente të tjera praktike që japin përgjigje sipas metodave të tjera. Për shembull, për të arritur në një zgjidhje për metodën e parë të rastësishme të pikës fundore, mund të bashkëngjitni një numërues në qendër të zonës. Dhe lërini rezultatet e dy rrotullimeve të pavarura të nxjerrin në pah vendet përfundimtare të akordit. Për të arritur në një zgjidhje për metodën e tretë, mund të mbulohet rrethi me melasa, për shembull, dhe të shënohet pika e parë në të cilën ulet miza si korda e mesme. Disa soditës kanë krijuar studime për të nxjerrë përfundime të ndryshme dhe i kanë konfirmuar rezultatet në mënyrë empirike.
Ngjarjet më të fundit
Në artikullin e tij të vitit 2007 "Paradoksi i Bertrand dhe Parimi i Indiferencës", Nicholas Shackel argumenton se më shumë se një shekull më vonë, problemi mbetet ende i pazgjidhur. Ajo vazhdon duke hedhur poshtë parimin e indiferencës. Për më tepër, në punimin e tij të vitit 2013, "Rivizituar paradoksi i Bertrand Russell: Pse të gjitha zgjidhjet nuk janë praktike", Darrell R. Robottom tregon se të gjitha vendimet e propozuara nuk kanë të bëjnë fare me pyetjen e tij. Kështu që doli se paradoksi do të ishte shumë më i vështirë për t'u zgjidhur sesa mendohej më parë.
Shackel thekson se deri më tani shumë shkencëtarë dhe njerëz larg shkencës janë përpjekur të zgjidhin paradoksin e Bertrand-it. Ajo ende kapërcehet me ndihmën e dy qasjeve të ndryshme.
Ato në të cilat është konsideruar dallimi midis problemeve jo ekuivalente dhe ato në të cilat problemi është konsideruar gjithmonë i saktë. Shackel citon Louis në librat e tijMarinoff (si një eksponent tipik i strategjisë së diferencimit) dhe Edwin Jaynes (si autor i një teorie të mirëmenduar).
Megjithatë, në veprën e tyre të fundit Zgjidhja e një problemi kompleks, Diederik Aerts dhe Massimiliano Sassoli de Bianchi besojnë se për të zgjidhur paradoksin Bertrand, premisat duhet të kërkohen në një strategji të përzier. Sipas këtyre autorëve, hapi i parë është zgjidhja e problemit duke deklaruar qartë natyrën e entitetit të rastësishëm. Dhe vetëm pasi të bëhet kjo, çdo problem mund të konsiderohet i saktë. Kështu mendon Janes.
Pra, parimi i injorancës maksimale mund të përdoret për ta zgjidhur atë. Për këtë qëllim, dhe duke qenë se problemi nuk specifikon se si duhet zgjedhur një akord, parimi zbatohet jo në nivelin e mundësive të ndryshme, por në një nivel shumë më të thellë.
Zgjedhja e pjesëve
Kjo pjesë e problemit kërkon llogaritjen e një meta-mesatare mbi të gjitha mënyrat e mundshme, të cilën autorët e quajnë mesatare universale. Për t'u marrë me këtë, ata përdorin metodën e diskretimit. Frymëzuar nga ajo që po bëhet në përcaktimin e ligjit të probabilitetit në proceset Wiener. Rezultati i tyre është në përputhje me përfundimin numerik të Jaynes, megjithëse problemi i tyre i shtruar mirë ndryshon nga ai i autorit origjinal.
Në ekonomi dhe tregti, Paradoksi i Bertrand, i quajtur sipas krijuesit të tij Joseph Bertrand, përshkruan një situatë në të cilën dy lojtarë (firma) arrijnë një ekuilibër Nash. Kur të dyja firmat vendosin një çmim të barabartë me koston marxhinale(MS).
Paradoksi i Bertrandit bazohet në një premisë. Ai qëndron në faktin se në modele të tilla si konkurrenca Cournot, një rritje e numrit të firmave shoqërohet me konvergjencën e çmimeve me kostot marxhinale. Në këto modele alternative, paradoksi i Bertrand është në një oligopol të një numri të vogël firmash që fitojnë fitime pozitive duke ngarkuar çmime mbi kosto.
Për të filluar, vlen të supozohet se dy firma A dhe B shesin një produkt homogjen, secila prej të cilave ka të njëjtën kosto prodhimi dhe shpërndarjeje. Nga kjo rrjedh se blerësit zgjedhin një produkt vetëm në bazë të çmimit. Kjo do të thotë që kërkesa është pafundësisht elastike në çmim. As A dhe as B nuk do të vendosin një çmim më të lartë se të tjerët, sepse kjo do të bënte që i gjithë paradoksi Bertrand të shembet. Një nga pjesëmarrësit e tregut do t'i dorëzohet konkurrentit të tij. Nëse vendosin të njëjtin çmim, kompanitë do të ndajnë fitimet.
Nga ana tjetër, nëse ndonjë firmë ul çmimin qoftë edhe pak, ajo do të marrë të gjithë tregun dhe një kthim dukshëm më të lartë. Meqenëse A dhe B e dinë këtë, secili do të përpiqet të zvogëlojë konkurrencën derisa produkti të shitet për zero fitim ekonomik.
Puna e fundit ka treguar se mund të ketë një ekuilibër shtesë në paradoksin e strategjisë së përzier të Bertrand-it, me fitime ekonomike pozitive, me kusht që shuma e monopolit të jetë e pafundme. Për rastin e fitimit përfundimtar, u tregua se një rritje pozitive nën konkurrencën e çmimeve është e pamundur në ekuilibrat e përzier dhe madje edhe në rastin më të përgjithshëm.sisteme të ndërlidhura.
Në fakt, paradoksi i Bertrandit në ekonomi shihet rrallë në praktikë, sepse produktet reale pothuajse gjithmonë diferencohen në një mënyrë tjetër përveç çmimit (për shembull, pagesa e tepërt për një etiketë). Firmat kanë kufizime në aftësinë e tyre për të prodhuar dhe shpërndarë. Kjo është arsyeja pse dy biznese rrallë kanë të njëjtat kosto.
Rezultati i Bertrand është paradoksal sepse nëse numri i firmave rritet nga një në dy, çmimi bie nga monopol në konkurrues dhe mbetet në të njëjtin nivel me numrin e firmave që rriten më pas. Kjo nuk është shumë realiste, sepse në realitet, tregjet me pak firma me fuqi tregu priren të vendosin çmime mbi koston marxhinale. Analiza empirike tregon se shumica e industrive me dy konkurrentë gjenerojnë fitime pozitive.
Në botën moderne, shkencëtarët po përpiqen të gjejnë zgjidhje për paradoksin që janë më në përputhje me modelin Cournot të konkurrencës. Kur dy firma në një treg po bëjnë fitime pozitive që janë diku midis niveleve të përkryera konkurruese dhe monopolit.
Disa arsye pse paradoksi i Bertrand-it nuk lidhet drejtpërdrejt me ekonominë:
- Kufijtë e kapacitetit. Ndonjëherë firmat nuk kanë kapacitet të mjaftueshëm për të përmbushur të gjithë kërkesën. Kjo pikë u ngrit për herë të parë nga Francis Edgeworth dhe lindi modelin Bertrand-Edgeworth.
- Çmimet me numër të plotë. Çmimet mbi MC janë të përjashtuara sepse një firmë mund të nënvlerësojë një tjetër në mënyrë të rastësishme.një sasi të vogël. Nëse çmimet janë diskrete (për shembull, ato duhet të marrin vlera të plota), atëherë njëra firmë duhet të zvogëlojë tjetrën me të paktën një rubla. Kjo nënkupton që vlera e monedhës së imët është mbi MC. Nëse një firmë tjetër e vendos çmimin më të lartë, një firmë tjetër mund ta ulë atë dhe të kapë të gjithë tregun, paradoksi i Bertrand-it konsiston pikërisht në këtë. Nuk do t'i sjellë fitim. Ky biznes do të preferojë të ndajë shitjet 50/50 me një firmë tjetër dhe të marrë të ardhura thjesht pozitive.
- Diferencimi i produktit. Nëse produktet e firmave të ndryshme ndryshojnë nga njëra-tjetra, atëherë konsumatorët mund të mos kalojnë plotësisht në produkte me çmim më të ulët.
- Konkurrencë dinamike. Ndërveprimi i përsëritur ose konkurrenca e përsëritur e çmimeve mund të çojë në një ekuilibër të vlerës.
- Më shumë artikuj për një shumë më të lartë. Kjo rrjedh nga ndërveprimi i përsëritur. Nëse një kompani e vendos çmimin e saj pak më të lartë, ajo do të vazhdojë të marrë afërsisht të njëjtin numër blerjesh, por më shumë fitim për artikull. Prandaj, kompania tjetër do të rrisë markup-in e saj, etj. (Vetëm në përsëritje, përndryshe dinamika shkon në drejtimin tjetër).
Oligopol
Nëse dy kompani mund të bien dakord për një çmim, është në interesin e tyre afatgjatë të mbajnë marrëveshjen: të ardhurat nga reduktimi i vlerës janë më pak se dyfishi i të ardhurave nga pajtueshmëria me marrëveshjen dhe zgjasin vetëm derisa firma tjetër të shkurtojë çmimet e veta.
Teoriprobabilitetet (si pjesa tjetër e matematikës) është në fakt një shpikje e kohëve të fundit. Dhe zhvillimi nuk ka qenë i qetë. Përpjekjet e para për të zyrtarizuar llogaritjen e probabilitetit u bënë nga Marquis de Laplace, i cili propozoi të përkufizohej koncepti si raporti i numrit të ngjarjeve që çojnë në një rezultat.
Kjo, natyrisht, ka kuptim vetëm nëse numri i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i kufizuar. Dhe përveç kësaj, të gjitha ngjarjet janë njëlloj të mundshme.
Kështu, në atë kohë, këto koncepte dukej se nuk kishin një bazë solide. Përpjekjet për të zgjeruar përkufizimin në rastin e një numri të pafund ngjarjesh kanë çuar në vështirësi edhe më të mëdha. Paradoksi i Bertrandit është një zbulim i tillë që i ka bërë matematikanët të kujdesshëm ndaj të gjithë konceptit të probabilitetit.
