Zgjidhja e ekuacioneve në matematikë ka një vend të veçantë. Ky proces paraprihet nga shumë orë studimi të teorisë, gjatë të cilave studenti mëson se si të zgjidhë ekuacionet, të përcaktojë formën e tyre dhe ta çojë aftësinë në automatizëm të plotë. Sidoqoftë, kërkimi i rrënjëve nuk ka gjithmonë kuptim, pasi ato thjesht mund të mos ekzistojnë. Ka metoda të veçanta për gjetjen e rrënjëve. Në këtë artikull, ne do të analizojmë funksionet kryesore, shtrirjen e tyre, si dhe rastet kur rrënjët e tyre mungojnë.
Cili ekuacion nuk ka rrënjë?
Një ekuacion nuk ka rrënjë nëse nuk ka argumente të tilla reale x për të cilat ekuacioni është identikisht i vërtetë. Për një jospecialist, ky formulim, si shumica e teoremave dhe formulave matematikore, duket shumë i paqartë dhe abstrakt, por kjo është në teori. Në praktikë, gjithçka bëhet jashtëzakonisht e thjeshtë. Për shembull: ekuacioni 0x=-53 nuk ka zgjidhje, pasi nuk ekziston një numër i tillë x, prodhimi i të cilit me zero do të jepte diçka tjetër përveç zeros.
Tani do të shikojmë llojet më themelore të ekuacioneve.
1. Ekuacioni linear
Një ekuacion quhet linear nëse pjesët e djathta dhe të majta të tij paraqiten si funksione lineare: ax + b=cx + d ose në një formë të përgjithësuar kx + b=0. Ku dihen a, b, c, d numrat, dhe x është një sasi e panjohur. Cili ekuacion nuk ka rrënjë? Shembuj të ekuacioneve lineare tregohen në ilustrimin më poshtë.
Në thelb, ekuacionet lineare zgjidhen thjesht duke lëvizur pjesën numerike në një pjesë dhe përmbajtjen e x në tjetrën. Rezulton një ekuacion i formës mx \u003d n, ku m dhe n janë numra, dhe x është një i panjohur. Për të gjetur x, mjafton që të dy pjesët të ndahen me m. Atëherë x=n/m. Në thelb, ekuacionet lineare kanë vetëm një rrënjë, por ka raste kur ka ose pafundësisht shumë rrënjë ose nuk ka fare. Me m=0 dhe n=0, ekuacioni merr formën 0x=0. Absolutisht çdo numër do të jetë zgjidhja e një ekuacioni të tillë.
Por cili ekuacion nuk ka rrënjë?
Kur m=0 dhe n=0, ekuacioni nuk ka rrënjë nga bashkësia e numrave realë. 0x=-1; 0x=200 - këto ekuacione nuk kanë rrënjë.
2. Ekuacioni kuadratik
Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax2 + bx + c=0 për a=0. Mënyra më e zakonshme për të zgjidhur një ekuacion kuadratik është zgjidhja e tij përmes diskriminuesit. Formula për gjetjen e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik: D=b2 - 4ac. Pastaj ka dy rrënjë x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kur D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë, kur D=0 - një rrënjë. Por cili ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë?Mënyra më e lehtë për të vëzhguar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik është në grafikun e një funksioni, i cili është një parabolë. Në > 0 degët janë të drejtuara lart, në < 0 degët janë ulur poshtë. Nëse diskriminuesi është negativ, një ekuacion i tillë kuadratik nuk ka rrënjë në bashkësinë e numrave realë.
Ju gjithashtu mund të përcaktoni vizualisht numrin e rrënjëve pa llogaritur diskriminuesin. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni majën e parabolës dhe të përcaktoni se në cilin drejtim drejtohen degët. Ju mund të përcaktoni koordinatën x të një kulmi duke përdorur formulën: x0 =-b / 2a. Në këtë rast, koordinata y e kulmit gjendet thjesht duke zëvendësuar vlerën x0 në ekuacionin origjinal.
Ekuacioni kuadratik x2 – 8x + 72=0 nuk ka rrënjë sepse ka një diskriminues negativ D=(–8)2 - 4172=-224. Kjo do të thotë që parabola nuk prek boshtin x dhe funksioni nuk merr kurrë vlerën 0, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë reale.
3. Ekuacionet trigonometrike
Funksionet trigonometrike konsiderohen në një rreth trigonometrik, por gjithashtu mund të përfaqësohen në një sistem koordinativ kartezian. Në këtë artikull, ne do të shikojmë dy funksione bazë trigonometrike dhe ekuacionet e tyre: sinx dhe cosx. Meqenëse këto funksione formojnë një rreth trigonometrik me rreze 1, |sinx| dhe |cosx| nuk mund të jetë më i madh se 1. Pra, cili ekuacion sinx nuk ka rrënjë? Merrni parasysh grafikun e funksionit sinx të paraqitur në figurëmë poshtë.
Ne shohim që funksioni është simetrik dhe ka një periudhë përsëritjeje prej 2 pi. Bazuar në këtë, mund të themi se vlera maksimale e këtij funksioni mund të jetë 1, dhe minimumi -1. Për shembull, shprehja cosx=5 nuk do të ketë rrënjë, pasi moduli i saj është më i madh se një.
Ky është shembulli më i thjeshtë i ekuacioneve trigonometrike. Në fakt, zgjidhja e tyre mund të marrë shumë faqe, në fund të të cilave kupton se ke përdorur formulën e gabuar dhe duhet të fillosh nga e para. Ndonjëherë, edhe me gjetjen e saktë të rrënjëve, mund të harroni të merrni parasysh kufizimet në ODZ, kjo është arsyeja pse një rrënjë ose interval shtesë shfaqet në përgjigje dhe e gjithë përgjigja kthehet në një të gabuar. Prandaj, ndiqni me përpikëri të gjitha kufizimet, sepse jo të gjitha rrënjët përshtaten në qëllimin e detyrës.
4. Sistemet e ekuacioneve
Një sistem ekuacionesh është një grup ekuacionesh të kombinuara me kllapa kaçurrela ose katrore. Kllapat kaçurrelë tregojnë ekzekutimin e përbashkët të të gjitha ekuacioneve. Kjo do të thotë, nëse të paktën një nga ekuacionet nuk ka rrënjë ose është në kundërshtim me tjetrin, i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje. Kllapat katrore tregojnë fjalën "ose". Kjo do të thotë se nëse të paktën një nga ekuacionet e sistemit ka një zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi ka një zgjidhje.
Përgjigja e sistemit me kllapa katrore është tërësia e të gjitha rrënjëve të ekuacioneve individuale. Dhe sistemet me mbajtëse kaçurrelë kanë vetëm rrënjë të përbashkëta. Sistemet e ekuacioneve mund të përfshijnë funksione absolutisht të ndryshme, kështu që ky kompleksitet nuk ështëju lejon të tregoni menjëherë se cili ekuacion nuk ka rrënjë.
Përgjithësim dhe këshilla për gjetjen e rrënjëve të ekuacionit
Në librat me probleme dhe tekstet shkollore ekzistojnë lloje të ndryshme ekuacionesh: ato që kanë rrënjë dhe ato që nuk i kanë. Së pari, nëse nuk mund të gjeni rrënjë, mos mendoni se ato nuk ekzistojnë fare. Ju mund të keni bërë një gabim diku, atëherë thjesht kontrolloni dy herë zgjidhjen tuaj.
Kemi mbuluar ekuacionet më themelore dhe llojet e tyre. Tani mund të dalloni cili ekuacion nuk ka rrënjë. Në shumicën e rasteve, kjo nuk është aspak e vështirë për t'u bërë. Për të arritur sukses në zgjidhjen e ekuacioneve, kërkohet vetëm vëmendje dhe përqendrim. Praktikoni më shumë, do t'ju ndihmojë të lundroni materialin shumë më mirë dhe më shpejt.
Pra, ekuacioni nuk ka rrënjë nëse:
- në ekuacionin linear mx=n vlera m=0 dhe n=0;
- në një ekuacion kuadratik nëse diskriminuesi është më i vogël se zero;
- në një ekuacion trigonometrik të formës cosx=m / sinx=n, nëse |m| > 0, |n| > 0;
- në një sistem ekuacionesh me kllapa kaçurrelë nëse të paktën një ekuacion nuk ka rrënjë dhe me kllapa katrore nëse të gjitha ekuacionet nuk kanë rrënjë.
