Në matematikë, funksionet e anasjellta janë shprehje përkatëse reciproke që shndërrohen në njëra-tjetrën. Për të kuptuar se çfarë do të thotë kjo, ia vlen të merret parasysh një shembull specifik. Le të themi se kemi y=cos(x). Nëse marrim kosinusin nga argumenti, atëherë mund të gjejmë vlerën e y. Natyrisht, për këtë ju duhet të keni x. Po sikur lojtari të jepet fillimisht? Këtu hyn në thelbin e çështjes. Për të zgjidhur problemin, kërkohet përdorimi i një funksioni invers. Në rastin tonë, ky është kosinusi i harkut.
Pas të gjitha transformimeve, marrim: x=arccos(y).
Dmth për të gjetur një funksion të anasjelltë me një të dhënë, mjafton vetëm të shprehësh një argument prej tij. Por kjo funksionon vetëm nëse rezultati do të ketë një vlerë të vetme (më shumë për këtë më vonë).
Në terma të përgjithshëm, ky fakt mund të shkruhet si më poshtë: f(x)=y, g(y)=x.
Përkufizim
Le të jetë f një funksion domeni i të cilit është bashkësia X, dhediapazoni i vlerave është grupi Y. Pastaj, nëse ekziston g domenet e të cilit kryejnë detyra të kundërta, atëherë f është i kthyeshëm.
Përveç kësaj, në këtë rast g është unike, që do të thotë se ekziston saktësisht një funksion që e plotëson këtë veti (as më shumë, as më pak). Atëherë quhet funksion i anasjelltë dhe me shkrim shënohet si më poshtë: g(x)=f -1(x).
Me fjalë të tjera, ato mund të shihen si një lidhje binare. Kthyeshmëria ndodh vetëm kur një element i grupit korrespondon me një vlerë nga një tjetër.
Nuk ka gjithmonë një funksion të anasjelltë. Për ta bërë këtë, çdo element y є Y duhet të korrespondojë më së shumti me një x є X. Atëherë f quhet një-me-një ose injeksion. Nëse f -1 i përket Y, atëherë çdo element i këtij grupi duhet të korrespondojë me disa x ∈ X. Funksionet me këtë veti quhen surjeksione. Vlen sipas përkufizimit nëse Y është një imazh f, por nuk është gjithmonë kështu. Për të qenë i anasjelltë, një funksion duhet të jetë njëkohësisht një injeksion dhe një surjeksion. Shprehje të tilla quhen bijeksione.
Shembull: funksionet katrore dhe rrënjësore
Funksioni përcaktohet në [0, ∞) dhe jepet me formulën f (x)=x2.
Atëherë nuk është injektiv, sepse çdo rezultat i mundshëm Y (përveç 0) korrespondon me dy X të ndryshëm - një pozitiv dhe një negativ, kështu që nuk është i kthyeshëm. Në këtë rast, do të jetë e pamundur të merren të dhënat fillestare nga ato të marra, gjë që bie ndeshteoritë. Nuk do të jetë injektiv.
Nëse domeni i përkufizimit kufizohet me kusht në vlera jo negative, atëherë gjithçka do të funksionojë si më parë. Atëherë është bijektiv dhe si rrjedhim i kthyeshëm. Funksioni i anasjelltë këtu quhet pozitiv.
Shënim për hyrjen
Lëreni emërtimin f -1 (x) mund të ngatërrojë një person, por në asnjë rast nuk duhet të përdoret kështu: (f (x)) - 1 . Ai i referohet një koncepti matematikor krejtësisht të ndryshëm dhe nuk ka të bëjë fare me funksionin e anasjelltë.
Si rregull i përgjithshëm, disa autorë përdorin shprehje si sin-1 (x).
Megjithatë, matematikanë të tjerë besojnë se kjo mund të shkaktojë konfuzion. Për të shmangur vështirësi të tilla, funksionet trigonometrike të anasjellta shpesh shënohen me parashtesën "hark" (nga harku latin). Në rastin tonë, ne po flasim për arksinën. Ju gjithashtu mund të shihni herë pas here prefiksin "ar" ose "inv" për disa funksione të tjera.
