Për fillestarët, ia vlen të kujtoni se çfarë është një diferencial dhe çfarë kuptimi matematikor mbart.
Diferenciali i një funksioni është prodhimi i derivatit të një funksioni nga një argument dhe i diferencialit të vetë argumentit. Matematikisht, ky koncept mund të shkruhet si shprehje: dy=y'dx.
Nga ana e tij, sipas përcaktimit të derivatit të funksionit, barazia y'=lim dx-0(dy/dx) është e vërtetë dhe sipas përcaktimit të kufirit, shprehja dy/dx.=x'+α, ku parametri α është një vlerë matematikore pafundësisht e vogël.
Prandaj, të dyja pjesët e shprehjes duhet të shumëzohen me dx, e cila në fund jep dy=y'dx+αdx, ku dx është një ndryshim infinit i vogël në argument, (αdx) është një vlerë që mund të neglizhohet, atëherë dy është rritja e funksionit dhe (ydx) është pjesa kryesore e rritjes ose diferencialit.
Diferenciali i një funksioni është prodhimi i derivatit të një funksioni dhe i diferencialit të argumentit.
Tani ia vlen të merren parasysh rregullat bazë të diferencimit, të cilat përdoren mjaft shpesh në analizën matematikore.
Teorema. Derivati i shumës është i barabartë me shumën e derivateve të fituar nga termat: (a+c)'=a'+c'.
Në mënyrë të ngjashmeky rregull do të zbatohet edhe për gjetjen e derivatit të diferencës.
Pasoja e këtij rregulli të diferencimit është pohimi se derivati i një numri të caktuar termash është i barabartë me shumën e derivateve të përftuara nga këta terma.
Për shembull, nëse ju duhet të gjeni derivatin e shprehjes (a+c-k)', atëherë rezultati do të jetë shprehja a'+c'-k'.
Teorema. Derivati i produktit të funksioneve matematikore që janë të diferencueshëm në një pikë është i barabartë me shumën që përbëhet nga produkti i faktorit të parë dhe derivati i të dytit dhe produkti i faktorit të dytë dhe derivati i të parit.
Matematikisht, teorema do të shkruhet si më poshtë: (ac)'=ac'+a'c. Një pasojë e teoremës është përfundimi se faktori konstant në derivatin e produktit mund të hiqet nga derivati i funksionit.
Në formën e një shprehjeje algjebrike, ky rregull do të shkruhet si më poshtë: (ac)'=ac', ku a=konst.
Për shembull, nëse ju duhet të gjeni derivatin e shprehjes (2a3)', atëherë rezultati do të jetë përgjigjja: 2(a3)'=23a2=6a2.
Teorema. Derivati i raportit të funksioneve është i barabartë me raportin ndërmjet diferencës ndërmjet derivatit të numëruesit të shumëzuar me emëruesin dhe numëruesit të shumëzuar me derivatin e emëruesit dhe katrorit të emëruesit.
Matematikisht, teorema do të shkruhet si më poshtë: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Si përfundim, është e nevojshme të merren parasysh rregullat për diferencimin e funksioneve komplekse.
Teorema. Le të jetë funksioni y \u003d f (x), ku x \u003d c (t), pastaj funksioni y, në lidhje metek ndryshorja m quhet komplekse.
Kështu, në analizën matematikore, derivati i një funksioni kompleks interpretohet si derivat i vetë funksionit, i shumëzuar me derivatin e nënfunksionit të tij. Për lehtësi, rregullat për diferencimin e funksioneve komplekse janë paraqitur në formën e një tabele.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (as)' | ac(ln a)c' |
| (es)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (log ac)' | 1/(slg a)c' |
| (mëkat c)' | cos ss' |
| (cos c)' | -sin ss' |
Me përdorim të rregullt të kësaj tabele, derivatet janë të lehta për t'u mbajtur mend. Derivatet e mbetur të funksioneve komplekse mund të gjenden duke zbatuar rregullat për diferencimin e funksioneve që u deklaruan në teorema dhe konkluzionet e tyre.
