Ky artikull do të fokusohet në një seksion të veçantë të matematikës të quajtur kombinatorikë. Formula, rregulla, shembuj të zgjidhjes së problemeve - të gjitha këto mund t'i gjeni këtu duke lexuar artikullin deri në fund.
Pra, çfarë është ky seksion? Kombinatorika merret me çështjen e numërimit të çdo objekti. Por në këtë rast objektet nuk janë kumbulla, dardha apo mollë, por diçka tjetër. Kombinatorika na ndihmon të gjejmë probabilitetin e një ngjarjeje. Për shembull, kur luani letra, sa është probabiliteti që kundërshtari të ketë një atu? Ose një shembull i tillë - sa është probabiliteti që të merrni saktësisht të bardhë nga një qese me njëzet topa? Pikërisht për këto lloj detyrash duhet të dimë të paktën bazat e këtij seksioni të matematikës.
Konfigurime kombinuese
Duke marrë parasysh çështjen e koncepteve dhe formulave bazë të kombinatorikës, nuk mund të mos u kushtojmë vëmendje konfigurimeve kombinatorike. Ato përdoren jo vetëm për formulim, por edhe për zgjidhjen e problemeve të ndryshme kombinuese. Shembuj të modeleve të tilla janë:
- vendosje;
- përmutacion;
- kombinim;
- përbërja e numrit;
- numri i ndarë.
Për tre të parat do të flasim më në detaje më vonë, por do t'i kushtojmë vëmendje përbërjes dhe ndarjes në këtë pjesë. Kur flasin për përbërjen e një numri të caktuar (të themi, a), nënkuptojnë paraqitjen e numrit a si një shumë e renditur e disa numrave pozitivë. Dhe një ndarje është një shumë e parregullt.
Seksione
Para se të kalojmë drejtpërdrejt në formulat e kombinatorikës dhe shqyrtimin e problemave, ia vlen t'i kushtohet vëmendje faktit që kombinatorika, si seksionet e tjera të matematikës, ka nënseksionet e veta. Këto përfshijnë:
- numerative;
- strukturor;
- ekstrem;
- Teoria Ramsey;
- probabilistik;
- topologjik;
- infinit.
Në rastin e parë, bëhet fjalë për kombinatorikë numerative, problemet konsiderojnë numërimin ose numërimin e konfigurimeve të ndryshme që formohen nga elementë të bashkësive. Si rregull, në këto grupe vendosen disa kufizime (dallueshmëria, padallueshmëria, mundësia e përsëritjes, etj.). Dhe numri i këtyre konfigurimeve llogaritet duke përdorur rregullin e mbledhjes ose shumëzimit, për të cilin do të flasim pak më vonë. Kombinatorika strukturore përfshin teoritë e grafikëve dhe matroideve. Një shembull i një problemi të kombinatorikës ekstreme është se cili është dimensioni më i madh i një grafi që plotëson vetitë e mëposhtme… Në paragrafin e katërt, përmendëm teorinë Ramsey, e cila studion praninë e strukturave të rregullta në konfigurime të rastësishme. Probabilistekombinatorika është në gjendje t'i përgjigjet pyetjes - sa është probabiliteti që një grup i caktuar të ketë një veti të caktuar. Siç mund ta merrni me mend, kombinatorika topologjike zbaton metoda në topologji. Dhe së fundi, pika e shtatë - kombinatorika infinitare studion zbatimin e metodave të kombinatorikës në grupe të pafundme.
Rregulli i shtimit
Ndër formulat e kombinatorikës mund të gjejmë mjaft të thjeshta, me të cilat jemi njohur prej kohësh. Një shembull është rregulli i shumës. Supozoni se na janë dhënë dy veprime (C dhe E), nëse ato janë reciprokisht ekskluzive, veprimi C mund të bëhet në disa mënyra (për shembull, a), dhe veprimi E mund të bëhet në mënyra b, atëherë ndonjë prej tyre (C ose E) mund të bëhet në mënyrat a + b.
Teorikisht, kjo është mjaft e vështirë për t'u kuptuar, ne do të përpiqemi ta përcjellim të gjithë pikën me një shembull të thjeshtë. Le të marrim numrin mesatar të nxënësve në një klasë - le të themi se është njëzet e pesë. Midis tyre janë pesëmbëdhjetë vajza dhe dhjetë djem. Një shoqërues caktohet në klasë çdo ditë. Sa mënyra ka për të caktuar një shoqërues të klasës sot? Zgjidhja e problemit është mjaft e thjeshtë, ne do t'i drejtohemi rregullit të shtimit. Teksti i detyrës nuk thotë se mund të jenë në detyrë vetëm djemtë ose vetëm vajzat. Prandaj, mund të jetë ndonjë nga pesëmbëdhjetë vajzat ose ndonjë nga dhjetë djemtë. Duke zbatuar rregullin e shumës, marrim një shembull mjaft të thjeshtë që një nxënës i shkollës fillore mund ta përballojë lehtësisht: 15 + 10. Pasi të kemi llogaritur, marrim përgjigjen: njëzet e pesë. Kjo do të thotë, ka vetëm njëzet e pesë mënyracakto një klasë detyre për sot.
Rregulli i shumëzimit
Rregulli i shumëzimit i përket edhe formulave bazë të kombinatorikës. Le të fillojmë me teorinë. Supozoni se duhet të kryejmë disa veprime (a): veprimi i parë kryhet në 1 mënyra, i dyti - në 2 mënyra, i treti - në 3 mënyra, dhe kështu me radhë derisa veprimi i fundit a të kryhet në mënyra sa. Atëherë të gjitha këto veprime (nga të cilat kemi një total) mund të kryhen në mënyra N. Si të llogaritet N e panjohur? Formula do të na ndihmojë për këtë: N \u003d c1c2c3…ca.
Përsëri, asgjë nuk është e qartë në teori, le të kalojmë në një shembull të thjeshtë të zbatimit të rregullit të shumëzimit. Le të marrim të njëjtën klasë me njëzet e pesë persona, në të cilën studiojnë pesëmbëdhjetë vajza dhe dhjetë djem. Vetëm këtë herë na duhet të zgjedhim dy shoqërues. Ata mund të jenë vetëm djem ose vajza, ose një djalë me një vajzë. Ne i drejtohemi zgjidhjes elementare të problemit. Ne zgjedhim shoqëruesin e parë, siç vendosëm në paragrafin e fundit, marrim njëzet e pesë opsione të mundshme. Personi i dytë në detyrë mund të jetë cilido nga personat e mbetur. Ne kishim njëzet e pesë studentë, zgjodhëm një, që do të thotë se kushdo nga njëzet e katër personat e mbetur mund të jetë i dyti në detyrë. Së fundi, ne zbatojmë rregullin e shumëzimit dhe zbulojmë se dy shoqëruesit mund të zgjidhen në gjashtëqind mënyra. Ne e morëm këtë numër duke shumëzuar njëzet e pesë dhe njëzet e katër.
Ndërrim
Tani do të shqyrtojmë një formulë tjetër kombinatorike. Në këtë pjesë të artikullit, neLe të flasim për permutacionet. Konsideroni problemin menjëherë me një shembull. Le të marrim topa të bilardos, kemi numrin n të tyre. Duhet të llogarisim: sa opsione ka për t'i rregulluar ato në një rresht, domethënë për të bërë një grup të porositur.
Le të fillojmë, nëse nuk kemi topa, atëherë kemi edhe zero opsione vendosjeje. Dhe nëse kemi një top, atëherë rregullimi është gjithashtu i njëjtë (matematikisht, kjo mund të shkruhet si më poshtë: Р1=1). Dy topa mund të renditen në dy mënyra të ndryshme: 1, 2 dhe 2, 1. Prandaj, Р2=2. Tre topa mund të renditen në gjashtë mënyra (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. Dhe nëse nuk ka tre topa të tillë, por dhjetë apo pesëmbëdhjetë? Për të renditur të gjitha opsionet e mundshme është shumë e gjatë, atëherë kombinatorika na vjen në ndihmë. Formula e ndërrimit do të na ndihmojë të gjejmë përgjigjen e pyetjes sonë. Pn=nP(n-1). Nëse përpiqemi të thjeshtojmë formulën, marrim: Pn=n (n - 1) … 21. Dhe ky është prodhimi i numrave të parë natyrorë. Një numër i tillë quhet faktorial dhe shënohet si n!
Le të shqyrtojmë problemin. Udhëheqësi çdo mëngjes ndërton shkëputjen e tij në një rresht (njëzet veta). Ka tre miqtë më të mirë në shkëputje - Kostya, Sasha dhe Lesha. Sa është probabiliteti që ata të jenë pranë njëri-tjetrit? Për të gjetur përgjigjen e pyetjes, duhet të ndani probabilitetin e një rezultati "të mirë" me numrin total të rezultateve. Numri i përgjithshëm i permutacioneve është 20!=2,5 kuintilion. Si të numëroni numrin e rezultateve "të mira"? Supozoni se Kostya, Sasha dhe Lesha janë një supernjeri. Atëherë neKemi vetëm tetëmbëdhjetë lëndë. Numri i permutacioneve në këtë rast është 18=6.5 kuadrilion. Me gjithë këtë, Kostya, Sasha dhe Lesha mund të lëvizin arbitrarisht mes tyre në treshen e tyre të pandarë, dhe kjo është edhe 3!=6 opsione. Pra, ne kemi 18 yjësi "të mira" në total! 3! Thjesht duhet të gjejmë probabilitetin e dëshiruar: (18!3!) / 20! Që është afërsisht 0,016. Nëse konvertohet në përqindje, rezulton të jetë vetëm 1,6%.
Akomodimi
Tani do të shqyrtojmë një formulë tjetër kombinatorike shumë të rëndësishme dhe të nevojshme. Akomodimi është çështja jonë e radhës, të cilën ju sugjerojmë ta konsideroni në këtë pjesë të artikullit. Ne do të jemi më të ndërlikuar. Le të supozojmë se duam të marrim parasysh permutacionet e mundshme, vetëm jo nga e gjithë bashkësia (n), por nga një më e vogël (m). Kjo do të thotë, ne konsiderojmë ndërrime të n artikujve me m.
Formulat bazë të kombinatorikës nuk duhet thjesht të mësohen përmendësh, por të kuptohen. Edhe përkundër faktit se ato bëhen më të ndërlikuara, pasi nuk kemi një parametër, por dy. Supozoni se m \u003d 1, pastaj A \u003d 1, m \u003d 2, pastaj A \u003d n(n - 1). Nëse thjeshtojmë më tej formulën dhe kalojmë në shënim duke përdorur faktorialë, marrim një formulë mjaft koncize: A \u003d n! / (n - m)!
Kombinim
Ne kemi shqyrtuar pothuajse të gjitha formulat bazë të kombinatorikës me shembuj. Tani le të kalojmë në fazën përfundimtare të shqyrtimit të kursit bazë të kombinatorikës - njohja me kombinimin. Tani do të zgjedhim m artikuj nga n që kemi, ndërsa do t'i zgjedhim të gjitha në të gjitha mënyrat e mundshme. Atëherë, si ndryshon kjo nga akomodimi? Ne nuk do tëkonsideroni rendin. Ky grup i pa renditur do të jetë një kombinim.
Menjëherë prezantoni shënimin: C. Marrim vendosje të m topave nga n. Ne nuk i kushtojmë vëmendje renditjes dhe marrim kombinime të përsëritura. Për të marrë numrin e kombinimeve, duhet të pjesëtojmë numrin e vendosjeve me m! (m faktorial). Kjo është, C \u003d A / m! Kështu, ka disa mënyra për të zgjedhur nga n topa, afërsisht të barabartë me sa për të zgjedhur pothuajse gjithçka. Ekziston një shprehje logjike për këtë: të zgjedhësh pak është njësoj si të hedhësh pothuajse gjithçka. Është gjithashtu e rëndësishme të përmendet në këtë pikë se numri maksimal i kombinimeve mund të arrihet kur përpiqeni të zgjidhni gjysmën e artikujve.
Si të zgjidhni një formulë për të zgjidhur një problem?
Kemi shqyrtuar në detaje formulat bazë të kombinatorikës: vendosja, ndërrimi dhe kombinimi. Tani detyra jonë është të lehtësojmë zgjedhjen e formulës së nevojshme për zgjidhjen e problemit në kombinatorikë. Ju mund të përdorni skemën e mëposhtme mjaft të thjeshtë:
- Pyesni veten: a merret parasysh rendi i elementeve në tekstin e problemit?
- Nëse përgjigjja është jo, atëherë përdorni formulën e kombinimit (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Nëse përgjigjja është jo, atëherë duhet t'i përgjigjeni një pyetjeje tjetër: a përfshihen të gjithë elementët në kombinim?
- Nëse përgjigjja është po, atëherë përdorni formulën e ndërrimit (P=n!).
- Nëse përgjigjja është jo, atëherë përdorni formulën e alokimit (A=n! / (n - m)!).
Shembull
Kemi shqyrtuar elementet e kombinatorikës, formulat dhe disa çështje të tjera. Tani le të kalojmë teduke marrë parasysh një problem real. Imagjinoni sikur keni një kivi, një portokall dhe një banane përpara jush.
Pyetja e parë: në sa mënyra mund të riorganizohen? Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën e ndërrimit: P=3!=6 mënyra.
Pyetja e dytë: në sa mënyra mund të zgjidhet një frut? Kjo është e qartë, ne kemi vetëm tre opsione - zgjidhni kivi, portokalli ose banane, por ne aplikojmë formulën e kombinimit: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
Pyetja e tretë: në sa mënyra mund të zgjidhen dy fruta? Çfarë opsionesh kemi? Kivi dhe portokalli; kivi dhe banane; portokalli dhe banane. Kjo është, tre opsione, por kjo është e lehtë për t'u kontrolluar duke përdorur formulën e kombinimit: C \u003d 3! / (1!2!)=3
Pyetja e katërt: në sa mënyra mund të zgjidhen tre fruta? Siç mund ta shihni, ka vetëm një mënyrë për të zgjedhur tre fruta: merrni një kivi, një portokall dhe një banane. C=3! / (0!3!)=1.
Pyetja e pestë: në sa mënyra mund të zgjidhni të paktën një frut? Kjo gjendje nënkupton që ne mund të marrim një, dy ose të tre frutat. Prandaj, shtojmë C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. Kjo do të thotë, ne kemi shtatë mënyra për të marrë të paktën një copë fruta nga tavolina.
