Një nga seksionet themelore të analizës matematikore është llogaritja integrale. Ai mbulon fushën më të gjerë të objekteve, ku i pari është integrali i pacaktuar. Ia vlen të pozicionohet si një çelës, i cili edhe në shkollën e mesme zbulon një numër në rritje këndvështrimesh dhe mundësish që matematika e lartë përshkruan.
Pamja
Në shikim të parë, integrali duket krejtësisht modern, i rëndësishëm, por në praktikë rezulton se është shfaqur qysh në vitin 1800 para Krishtit. Egjipti konsiderohet zyrtarisht si atdheu, pasi dëshmitë e mëparshme të ekzistencës së tij nuk kanë arritur tek ne. Ai, për mungesë informacioni, gjatë gjithë kësaj kohe u pozicionua thjesht si fenomen. Ai konfirmoi edhe një herë nivelin e zhvillimit të shkencës midis popujve të asaj kohe. Më në fund, u gjetën veprat e matematikanëve të lashtë grekë që datojnë në shekullin e IV para Krishtit. Ata përshkruan një metodë ku u përdor një integral i pacaktuar, thelbi i të cilit ishte gjetja e vëllimit ose zonës së një figure lakor (tre-dimensionalerespektivisht plane dydimensionale). Parimi i llogaritjes bazohej në ndarjen e figurës origjinale në komponentë infinite të vogla, me kusht që vëllimi (sipërfaqja) e tyre të dihet tashmë. Me kalimin e kohës, metoda është rritur, Arkimedi e përdori atë për të gjetur zonën e një parabole. Llogaritje të ngjashme u kryen në të njëjtën kohë nga shkencëtarët në Kinën e lashtë dhe ata ishin plotësisht të pavarur nga homologët e tyre grekë në shkencë.
Zhvillimi
Përparimi tjetër në shekullin e 11 pas Krishtit ishte puna e shkencëtarit arab-"universal" Abu Ali al-Basri, i cili shtyu kufijtë e asaj që ishte tashmë e njohur, duke nxjerrë formula të bazuara në integralin për llogaritjen e shumave. të rreshtave dhe shumave të fuqive nga i pari në të katërtin, duke aplikuar për këtë metodën e induksionit matematik të njohur për ne.
Mendjet e kohëve moderne admirojnë sesi egjiptianët e lashtë krijuan monumente të mahnitshme arkitekturore pa ndonjë pajisje të veçantë, përveç ndoshta duarve të tyre, por a nuk është më pak një mrekulli fuqia e mendjes së shkencëtarëve të asaj kohe? Krahasuar me sot, jeta e tyre duket pothuajse primitive, por zgjidhja e integraleve të pacaktuar është nxjerrë kudo dhe është përdorur në praktikë për zhvillim të mëtejshëm.
Hapi tjetër u zhvillua në shekullin e 16-të, kur matematikani italian Cavalieri zhvilloi metodën e të pandarëve, e cila u zgjodh nga Pierre Fermat. Ishin këto dy personalitete që hodhën themelet për llogaritjen integrale moderne, e cila njihet për momentin. Ata lidhën konceptet e diferencimit dhe integrimit, të cilat ishin më parëtrajtohen si njësi autonome. Në përgjithësi, matematika e atyre kohërave ishte e fragmentuar, grimcat e përfundimeve ekzistonin më vete, duke pasur një shtrirje të kufizuar. Rruga e bashkimit dhe e kërkimit të bazës së përbashkët ishte e vetmja e vërtetë në atë kohë, falë së cilës analiza moderne matematikore mori mundësinë të rritet dhe të zhvillohet.
Gjithçka ka ndryshuar me kalimin e kohës, duke përfshirë shënimin e integralit. Në përgjithësi, shkencëtarët e shënuan atë me çdo kusht, për shembull, Njutoni përdori një ikonë katrore në të cilën vendosi një funksion të integrueshëm ose thjesht e vendosi pranë tij.
Kjo mospërputhje vazhdoi deri në shekullin e 17-të, kur shkencëtari Gottfried Leibniz, një pikë referimi për të gjithë teorinë e analizës matematikore, prezantoi simbolin kaq të njohur për ne. "S" i zgjatur bazohet vërtet në këtë shkronjë të alfabetit latin, pasi tregon shumën e antiderivativëve. Integrali mori emrin e tij falë Jacob Bernoulli 15 vjet më vonë.
Përkufizim formal
Integrali i pacaktuar varet drejtpërdrejt nga përkufizimi i antiderivativit, kështu që le ta shqyrtojmë së pari.
Një antideriv është një funksion që është anasjelltas e një derivati, në praktikë quhet edhe primitiv. Përndryshe: antiderivati i një funksioni d është një funksion D derivati i të cilit është i barabartë me v V'=v. Kërkimi i antiderivativit është llogaritja e integralit të pacaktuar dhe vetë ky proces quhet integrim.
Shembull:
Funksioni s(y)=y3, dhe antiderivati i tij S(y)=(y4/4).
Bashkimi i të gjithë antiderivativëve të funksionit në shqyrtim është integrali i pacaktuar, ai shënohet si më poshtë: ∫v(x)dx.
Për shkak të faktit se V(x) është vetëm një antiderivativ i funksionit origjinal, shprehja zhvillohet: ∫v(x)dx=V(x) + C, ku C është një konstante. Një konstante arbitrare është çdo konstante, pasi derivati i saj është i barabartë me zero.
Properties
Vetitë që ka integrali i pacaktuar bazohen në përkufizimin kryesor dhe vetitë e derivateve.
Le të shohim pikat kyçe:
- integrali nga derivati i antiderivativit është vetë antiderivati plus një konstante arbitrare С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivati i integralit të funksionit është funksioni origjinal (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta është nxjerrë nga nën shenjën integrale ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, ku k është arbitrare;
- integrali i marrë nga shuma është identikisht i barabartë me shumën e integraleve ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Nga dy vetitë e fundit, mund të konkludojmë se integrali i pacaktuar është linear. Falë kësaj, ne kemi: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Për ta konsoliduar, merrni parasysh shembuj të zgjidhjes së integraleve të pacaktuar.
Është e nevojshme të gjendet integrali ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx +C
Nga shembulli mund të konkludojmë:nuk dini si të zgjidhni integrale të pacaktuara? Thjesht gjeni të gjithë primitivët! Por parimet e kërkimit do të shqyrtohen më poshtë.
Metoda dhe shembuj
Për të zgjidhur integralin, mund të përdorni metodat e mëposhtme:
- përdor tabelën e përgatitur;
- integro sipas pjesëve;
- integro duke ndryshuar variablin;
- duke sjellë nën shenjën diferenciale.
Tabela
Mënyra më e lehtë dhe më e këndshme. Për momentin, analiza matematikore krenohet me tabela mjaft të gjera në të cilat shkruhen formulat bazë të integraleve të pacaktuara. Me fjalë të tjera, ka shabllone që janë zhvilluar para jush dhe për ju, mbetet vetëm t'i përdorni ato. Këtu është një listë e pozicioneve kryesore të tabelës nga të cilat mund të nxirrni pothuajse çdo shembull që ka një zgjidhje:
- ∫0dy=C, ku C është një konstante;
- ∫dy=y + C, ku C është një konstante;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, ku C është një konstante dhe n - jo një numër;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, ku C është një konstante;
- ∫eydy=ey + C, ku C është një konstante;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, ku C është një konstante;
- ∫cosydy=siny + C, ku C është një konstante;
- ∫sinydy=-cosy + C, ku C është një konstante;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, ku C është një konstante;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, ku C është një konstante;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, ku C është një konstante;
- ∫chydy=i turpshëm + C, ku C -konstante;
- ∫shydy=chy + C, ku C është një konstante.
Nëse është e nevojshme, bëni disa hapa, sillni integranin në një formë tabelare dhe shijoni fitoren. Shembull: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Sipas zgjidhjes shihet qarte se per shembullin tabelor integranit i mungon faktori 5. E mbledhim duke e shumezuar paralelisht me 1/5 qe shprehja e pergjithshme te mos ndryshoje.
Integrimi sipas pjesëve
Konsideroni dy funksione - z(y) dhe x(y). Ato duhet të jenë vazhdimisht të diferencueshme në të gjithë fushën e përkufizimit. Sipas njërës prej vetive të diferencimit kemi: d(xz)=xdz + zdx. Duke integruar të dyja pjesët e ekuacionit, marrim: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Duke rishkruar barazinë që rezulton, marrim një formulë që përshkruan metodën e integrimit sipas pjesëve: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Pse nevojitet? Çështja është se disa shembuj mund të thjeshtohen, duke folur me kusht, të reduktohet ∫zdx në ∫xdz nëse kjo e fundit është afër formës tabelare. Gjithashtu, kjo formulë mund të aplikohet më shumë se një herë, duke arritur rezultate optimale.
Si të zgjidhim integrale të pacaktuar në këtë mënyrë:
duhet të llogaritet ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
duhet të llogaritet ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Zëvendësim i ndryshueshëm
Ky parim i zgjidhjes së integraleve të pacaktuar nuk është më pak i kërkuar se dy të mëparshmet, megjithëse është më i ndërlikuar. Metoda është si më poshtë: le të jetë V(x) integrali i një funksioni v(x). Në rast se vetë integrali në shembull shfaqet si kompleks, ekziston një probabilitet i lartë për t'u ngatërruar dhe për të marrë rrugën e gabuar të zgjidhjes. Për të shmangur këtë, praktikohet kalimi nga ndryshorja x në z, në të cilën shprehja e përgjithshme thjeshtohet vizualisht duke ruajtur varësinë e z nga x.
Matematikisht duket kështu: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), ku x=y(z) është një zëvendësim. Dhe, sigurisht, funksioni i anasjelltë z=y-1(x) përshkruan plotësisht varësinë dhe marrëdhënien e variablave. Shënim i rëndësishëm - diferenciali dx zëvendësohet domosdoshmërisht nga një diferencial i ri dz, pasi zëvendësimi i një ndryshore në integralin e pacaktuar nënkupton zëvendësimin e tij kudo, dhe jo vetëm në integrand.
Shembull:
duhet të gjesh ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Zbato zëvendësimin z=(s+1)/(s2+2s-5). Pastaj dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Si rezultat, marrim shprehjen e mëposhtme, e cila është shumë e lehtë për t'u llogaritur:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
duhet të gjejë integralin∫2sesdx
Për të zgjidhur, ne e rishkruajmë shprehjen në formën e mëposhtme:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Shënoni me a=2e (ky hap nuk është një zëvendësim për argumentin, ai është akoma s), ne e sjellim integralin tonë në dukje kompleks në një formë tabelare elementare:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Sjellja nën shenjën diferenciale
Në përgjithësi, kjo metodë e integraleve të pacaktuar është një vëlla binjak i parimit të ndryshimit të ndryshores, por ka dallime në procesin e projektimit. Le të hedhim një vështrim më të afërt.
Nëse ∫v(x)dx=V(x) + C dhe y=z(x), atëherë ∫v(y)dy=V(y) + C.
Në këtë rast, nuk duhen harruar transformimet integrale të parëndësishme, ndër të cilat:
- dx=d(x + a), ku a është çdo konstante;
- dx=(1 / a)d(ax + b), ku a është përsëri një konstante, por jo e barabartë me zero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Nëse marrim parasysh rastin e përgjithshëm kur llogarisim integralin e pacaktuar, shembujt mund të përmblidhen nën formulën e përgjithshme w'(x)dx=dw(x).
Shembuj:
duhet të gjesh ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2d=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Ndihmë në internet
Në disa raste, faji i të cilave mund të jetë përtacia ose nevoja urgjente, mund të përdorni këshilla në internet, ose më mirë, të përdorni kalkulatorin integral të pacaktuar. Pavarësisht gjithë kompleksitetit dhe kontestueshmërisë së dukshme të integraleve, zgjidhja e tyre i nënshtrohet një algoritmi të caktuar, i cili bazohet në parimin "nëse jo …, atëherë …".
Sigurisht, një kalkulator i tillë nuk do të zotërojë shembuj veçanërisht të ndërlikuar, pasi ka raste në të cilat zgjidhja duhet gjetur artificialisht, duke futur "me forcë" disa elementë në proces, sepse rezultati nuk mund të arrihet në mënyrë të dukshme. mënyrat. Pavarësisht nga të gjitha polemikat e kësaj deklarate, është e vërtetë, pasi matematika, në parim, është një shkencë abstrakte dhe e konsideron nevojën për të zgjeruar kufijtë e mundësive si detyrën e saj parësore. Në të vërtetë, është jashtëzakonisht e vështirë të ecësh lart dhe të zhvillohet sipas teorive të lëmuara, të rrjedhura, kështu që nuk duhet të supozoni se shembujt e zgjidhjes së integraleve të pacaktuar që kemi dhënë janë lartësia e mundësive. Por përsëri në anën teknike të gjërave. Të paktën për të kontrolluar llogaritjet, mund të përdorni shërbimet në të cilat gjithçka ishte shkruar para nesh. Nëse ka nevojë për llogaritjen automatike të një shprehjeje komplekse, atëherë ato nuk mund të shpërndahen, do të duhet të drejtoheni në softuer më serioz. Vlen t'i kushtohet vëmendje para së gjithash mjedisit MatLab.
Aplikacion
Zgjidhja e integraleve të pacaktuar në shikim të parë duket krejtësisht jashtë lidhjes me realitetin, pasi është e vështirë të shihen fushat e dukshme të zbatimit. Në të vërtetë, ato nuk mund të përdoren drejtpërdrejt askund, por konsiderohen si një element i domosdoshëm ndërmjetës në procesin e nxjerrjes së zgjidhjeve të përdorura në praktikë. Pra, integrimi është i kundërt ndaj diferencimit, për shkak të të cilit ai merr pjesë aktive në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve.
Nga ana tjetër, këto ekuacione kanë një ndikim të drejtpërdrejtë në zgjidhjen e problemeve mekanike, llogaritjen e trajektoreve dhe përçueshmërinë termike - me pak fjalë, gjithçka që përbën të tashmen dhe formëson të ardhmen. Integrali i pacaktuar, shembujt e të cilit shqyrtuam më lart, është i parëndësishëm vetëm në shikim të parë, pasi është baza për të bërë gjithnjë e më shumë zbulime të reja.
