Këndet dihedrale të piramidës dhe mënyra e llogaritjes së tyre

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Parametrat tipikë linearë të çdo piramide janë gjatësia e anëve të bazës së saj, lartësia, skajet anësore dhe apotemat. Sidoqoftë, ekziston një karakteristikë tjetër që lidhet me parametrat e shënuar - ky është këndi dihedral. Konsideroni në artikull se çfarë është dhe si ta gjeni.

Piramida e figurës hapësinore

Çdo student e ka një ide të mirë se çfarë është në rrezik kur dëgjon fjalën "piramidë". Mund të ndërtohet gjeometrikisht si më poshtë: zgjidhni një shumëkëndësh të caktuar, më pas rregulloni një pikë në hapësirë dhe lidheni atë me çdo cep të shumëkëndëshit. Figura tre-dimensionale që rezulton do të jetë një piramidë e një lloji arbitrar. Shumëkëndëshi që e formon quhet bazë dhe pika me të cilën lidhen të gjithë qoshet e tij është kulmi i figurës. Figura më poshtë tregon në mënyrë skematike një piramidë pesëkëndore.

Mund të shihet se sipërfaqja e saj është formuar jo vetëm nga një pesëkëndësh, por edhe nga pesë trekëndësha. Në përgjithësi, numri i këtyre trekëndëshave do të jetë i barabartë me numrinfaqet e një baze poligonale.

Këndet dihedrale të figurës

Kur merren parasysh problemet gjeometrike në një rrafsh, çdo kënd formohet nga dy drejtëza ose segmente të kryqëzuara. Në hapësirë, këtyre këndeve lineare u shtohen kënde dihedrale, të formuara nga kryqëzimi i dy planeve.

Nëse përkufizimi i shënuar i një këndi në hapësirë zbatohet në figurën në fjalë, atëherë mund të themi se ekzistojnë dy lloje këndesh diedrale:

• Në bazën e piramidës. Formohet nga rrafshi i bazës dhe ndonjë nga faqet anësore (trekëndëshi). Kjo do të thotë se këndet e bazës së piramidës janë n, ku n është numri i brinjëve të shumëkëndëshit.
• Ndërmjet brinjëve (trekëndëshat). Numri i këtyre këndeve dihedrale është gjithashtu n copa.

Vini re se lloji i parë i këndeve të konsideruara ndërtohet në skajet e bazës, lloji i dytë - në skajet anësore.

Si të llogarisim këndet e një piramide?

Këndi linear i një këndi dihedral është masa e këtij të fundit. Nuk është e lehtë për ta llogaritur atë, pasi faqet e piramidës, ndryshe nga faqet e prizmit, nuk kryqëzohen në kënde të drejta në rastin e përgjithshëm. Është më e besueshme të llogariten vlerat e këndeve dihedrale duke përdorur ekuacionet e planit në formë të përgjithshme.

Në hapësirën tredimensionale, një plan jepet me shprehjen e mëposhtme:

Ax + By + Cz + D=0

Ku A, B, C, D janë disa numra realë. Lehtësia e këtij ekuacioni është se tre numrat e parë të shënuar janë koordinatat e vektorit,e cila është pingul me rrafshin e dhënë, d.m.th.:

n¯=[A; B; C]

Nëse dihen koordinatat e tre pikave që i përkasin rrafshit, atëherë duke marrë produktin vektorial të dy vektorëve të ndërtuar në këto pika, mund të merren koordinatat n¯. Vektori n¯ quhet udhëzues për rrafshin.

Sipas përkufizimit, këndi dihedral i formuar nga kryqëzimi i dy planeve është i barabartë me këndin linear midis vektorëve të drejtimit të tyre. Supozoni se kemi dy plane vektorët normalë të të cilëve janë të barabartë:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Për të llogaritur këndin φ ndërmjet tyre, mund të përdorni vetinë e produktit skalar, atëherë formula përkatëse bëhet:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Ose në formë koordinative:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Le të tregojmë se si të përdorim metodën e mësipërme për llogaritjen e këndeve diedrale gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike.

Këndet e një piramide të rregullt katërkëndore

Supozojmë se ekziston një piramidë e rregullt, në bazën e së cilës ka një katror me anë 10 cm. Lartësia e figurës është12 cm Është e nevojshme të llogaritet se cilat janë këndet diedrale në bazën e piramidës dhe për brinjët e saj.

Meqenëse figura e dhënë në kushtin e problemit është e saktë, domethënë ka simetri të lartë, atëherë të gjitha këndet në bazë janë të barabartë me njëri-tjetrin. Këndet e formuara nga faqet anësore janë gjithashtu të njëjta. Për të llogaritur këndet dihedrale të kërkuara, gjejmë vektorët e drejtimit për bazën dhe dy rrafshet anësore. Shënoni gjatësinë e anës së bazës me shkronjën a dhe lartësinë h.

Figura e mësipërme tregon një piramidë të rregullt katërkëndëshe. Le të shkruajmë koordinatat e pikave A, B, C dhe D në përputhje me sistemin koordinativ të futur:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Tani gjejmë vektorët e drejtimit për rrafshet bazë ABC dhe dy anët ABD dhe BCD në përputhje me metodën e përshkruar në paragrafin e mësipërm:

Për ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Për ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Për BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Tani mbetet të aplikojmë formulën e duhur për këndin φ dhe të zëvendësojmë vlerat e anës dhe lartësisë nga deklarata e problemit:

Këndi midis ABC dheABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Këndi midis ABD dhe BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Llogaritëm vlerat e këndeve që duheshin gjetur sipas gjendjes së problemit. Formulat e marra në zgjidhjen e problemit mund të përdoren për të përcaktuar këndet diedrale të piramidave të rregullta katërkëndore me çdo vlerë prej a dhe h.

Këndet e një piramide të rregullt trekëndore

Figura më poshtë tregon një piramidë, baza e së cilës është një trekëndësh i rregullt. Dihet se këndi dihedral ndërmjet anëve është i drejtë. Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e bazës nëse dihet se lartësia e figurës është 15 cm.

Një kënd dihedral i barabartë me 90^o shënohet si ABC në figurë. Ju mund ta zgjidhni problemin duke përdorur metodën e mësipërme, por në këtë rast do ta bëjmë më lehtë. Le të shënojmë brinjën e trekëndëshit a, lartësinë e figurës - h, apotemën - h_b dhe brinjënbrinjë - b. Tani mund të shkruani formulat e mëposhtme:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Meqenëse dy trekëndëshat anësor në piramidë janë të njëjtë, brinjët AB dhe CB janë të barabarta dhe janë këmbët e trekëndëshit ABC. Le ta shënojmë gjatësinë e tyre me x, pastaj:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Duke barazuar sipërfaqet e trekëndëshave anësor dhe duke zëvendësuar apotemën në shprehjen përkatëse, kemi:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës llogaritet si më poshtë:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Zëvendësojmë vlerën e lartësisë nga kushti i problemit, marrim përgjigjen: S=584, 567 cm².