Aftësia për të llogaritur vëllimin e figurave hapësinore është e rëndësishme në zgjidhjen e një numri problemesh praktike në gjeometri. Një nga format më të zakonshme është piramida. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë formulat për vëllimin e piramidës, të plotë dhe të cunguar.
Piramida si një figurë tredimensionale
Të gjithë e dinë për piramidat egjiptiane, kështu që ata kanë një ide të mirë se çfarë figure do të diskutohet. Megjithatë, strukturat prej guri egjiptian janë vetëm një rast i veçantë i një klase të madhe piramidash.
Objekti gjeometrik i konsideruar në rastin e përgjithshëm është një bazë poligonale, çdo kulm i së cilës është i lidhur me një pikë në hapësirë që nuk i përket rrafshit bazë. Ky përkufizim çon në një figurë të përbërë nga një n-këndësh dhe n trekëndësha.
Çdo piramidë përbëhet nga n+1 faqe, 2n skaje dhe n+1 kulme. Meqenëse figura në shqyrtim është një shumëfaqësh i përsosur, numrat e elementëve të shënuar i binden barazisë së Euler-it:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poligoni në bazë jep emrin e piramidës,për shembull, trekëndëshi, pesëkëndëshi, e kështu me radhë. Një grup piramidash me baza të ndryshme është paraqitur në foton më poshtë.
Pika në të cilën lidhen n trekëndëshat e figurës quhet maja e piramidës. Nëse një pingul ulet prej tij në bazë dhe e kryqëzon atë në qendrën gjeometrike, atëherë një figurë e tillë do të quhet një vijë e drejtë. Nëse ky kusht nuk plotësohet, atëherë ekziston një piramidë e prirur.
Një figurë e drejtë, baza e së cilës formohet nga një kënd barabrinjës (barakëndësh) n quhet i rregullt.
Formula e vëllimit të piramidës
Për të llogaritur vëllimin e piramidës, përdorim llogaritjen integrale. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë figurën me plane sekante paralele me bazën në një numër të pafund shtresash të holla. Figura më poshtë tregon një piramidë katërkëndëshe me lartësi h dhe gjatësi anësore L, në të cilën një shtresë e hollë seksioni është shënuar me një katërkëndësh.
Sipërfaqja e secilës shtresë të tillë mund të llogaritet duke përdorur formulën:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Këtu A0 është zona e bazës, z është vlera e koordinatës vertikale. Mund të shihet se nëse z=0, atëherë formula jep vlerën A0.
Për të marrë formulën për vëllimin e një piramide, duhet të llogarisni integralin në të gjithë lartësinë e figurës, domethënë:
V=∫h0(A(z)dz).
Duke zëvendësuar varësinë A(z) dhe duke llogaritur antiderivativin, arrijmë në shprehjen:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Kemi marrë formulën për vëllimin e piramidës. Për të gjetur vlerën e V, mjafton të shumëzoni lartësinë e figurës me sipërfaqen e bazës, dhe më pas të ndani rezultatin me tre.
Vini re se shprehja që rezulton është e vlefshme për llogaritjen e vëllimit të një piramide të një lloji arbitrar. Kjo do të thotë, ai mund të jetë i prirur dhe baza e tij mund të jetë një n-gon arbitrar.
Piramida e saktë dhe vëllimi i saj
Formula e përgjithshme për vëllimin e marrë në paragrafin e mësipërm mund të rafinohet në rastin e një piramide me bazën e duhur. Sipërfaqja e një baze të tillë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Këtu L është gjatësia anësore e një shumëkëndëshi të rregullt me n kulme. Simboli pi është numri pi.
Duke zëvendësuar shprehjen për A0 në formulën e përgjithshme, marrim vëllimin e një piramide të rregullt:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Për shembull, për një piramidë trekëndore, kjo formulë çon në shprehjen e mëposhtme:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Për një piramidë të rregullt katërkëndëshe, formula e vëllimit bëhet:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Përcaktimi i vëllimit të piramidave të rregullta kërkon njohjen e anës së bazës së tyre dhe lartësisë së figurës.
piramida e cunguar
Supozojmë se kemi marrënjë piramidë arbitrare dhe prerë një pjesë të sipërfaqes së saj anësore që përmban majën. Figura e mbetur quhet një piramidë e cunguar. Ai tashmë përbëhet nga dy baza n-gonale dhe n trapezoide që i lidhin ato. Nëse rrafshi i prerjes ishte paralel me bazën e figurës, atëherë formohet një piramidë e cunguar me baza paralele të ngjashme. Domethënë, gjatësitë e brinjëve të njërës prej tyre mund të merren duke shumëzuar gjatësitë e tjetrës me një koeficient k.
Figura e mësipërme tregon një piramidë të rregullt gjashtëkëndore të cunguar. Mund të shihet se baza e saj e sipërme, si ajo e poshtme, është e formuar nga një gjashtëkëndësh i rregullt.
Formula për vëllimin e një piramide të cunguar, e cila mund të nxirret duke përdorur një llogaritje integrale të ngjashme me atë të dhënë, është:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Ku A0 dhe A1 janë respektivisht zonat e bazave të poshtme (të mëdha) dhe të sipërme (të vogla). Ndryshorja h është lartësia e piramidës së cunguar.
Vëllimi i piramidës së Keopsit
Është interesante të zgjidhet problemi i përcaktimit të vëllimit që përmban brenda piramidës më të madhe egjiptiane.
Në vitin 1984, egjiptologët britanikë Mark Lehner dhe Jon Goodman vendosën përmasat e sakta të piramidës së Keopsit. Lartësia e saj fillestare ishte 146.50 metra (aktualisht rreth 137 metra). Gjatësia mesatare e secilës nga katër anët e strukturës ishte 230.363 metra. Baza e piramidës është katrore me saktësi të lartë.
Le të përdorim figurat e dhëna për të përcaktuar vëllimin e këtij gjiganti prej guri. Meqenëse piramida është katërkëndore e rregullt, atëherë formula është e vlefshme për të:
V4=1/3L2h.
Zëvendësojmë numrat, marrim:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Vëllimi i piramidës së Keopsit është pothuajse 2.6 milionë m3. Për krahasim, vërejmë se pishina olimpike ka një vëllim prej 2.5 mijë m3. Kjo do të thotë, për të mbushur të gjithë piramidën e Keopsit, do të nevojiten më shumë se 1000 nga këto pishina!
