Shumë, të përballur me konceptin e "teorisë së probabilitetit", janë të frikësuar, duke menduar se kjo është diçka dërrmuese, shumë komplekse. Por në të vërtetë nuk është gjithçka aq tragjike. Sot do të shqyrtojmë konceptin bazë të teorisë së probabilitetit, do të mësojmë se si të zgjidhim problemet duke përdorur shembuj specifikë.
Shkencë
Çfarë studion një degë e tillë e matematikës si "teoria e probabilitetit"? Ai shënon modele të ngjarjeve dhe sasive të rastësishme. Për herë të parë, shkencëtarët u interesuan për këtë çështje në shekullin e tetëmbëdhjetë, kur ata studiuan lojërat e fatit. Koncepti themelor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Është çdo fakt që konstatohet me përvojë apo vëzhgim. Por çfarë është përvoja? Një tjetër koncept bazë i teorisë së probabilitetit. Do të thotë se kjo përbërje rrethanash nuk është krijuar rastësisht, por për një qëllim të caktuar. Sa i përket vëzhgimit, këtu vetë studiuesi nuk merr pjesë në eksperiment, por është thjesht dëshmitar i këtyre ngjarjeve, ai nuk ndikon në asnjë mënyrë në atë që po ndodh.
Ngjarjet
Mësuam se koncepti bazë i teorisë së probabilitetit është një ngjarje, por nuk e morëm parasysh klasifikimin. Të gjitha ndahen në kategoritë e mëposhtme:
- I besueshëm.
- E pamundur.
- Random.
Nuk ka rëndësiçfarë lloj ngjarjesh vërehen ose krijohen gjatë përvojës, të gjitha i nënshtrohen këtij klasifikimi. Ne ofrojmë të njihemi me secilën nga speciet veç e veç.
Ngjarje e caktuar
Kjo është një rrethanë para së cilës janë marrë masat e nevojshme. Për të kuptuar më mirë thelbin, është më mirë të japim disa shembuj. Fizika, kimia, ekonomia dhe matematika e lartë i nënshtrohen këtij ligji. Teoria e probabilitetit përfshin një koncept kaq të rëndësishëm si një ngjarje e caktuar. Këtu janë disa shembuj:
- Ne punojmë dhe marrim shpërblim në formën e pagave.
- Kemi kaluar mirë provimet, kemi kaluar konkursin, për këtë marrim një shpërblim në formën e pranimit në një institucion arsimor.
- Kemi investuar para në bankë, do t'i kthejmë nëse është e nevojshme.
Ngjarje të tilla janë të besueshme. Nëse i kemi plotësuar të gjitha kushtet e nevojshme, atëherë patjetër do të marrim rezultatin e pritur.
Ngjarjet e pamundura
Tani po shqyrtojmë elementet e teorisë së probabilitetit. Ne propozojmë të kalojmë në një shpjegim të llojit tjetër të ngjarjes, domethënë, të pamundurës. Së pari, le të specifikojmë rregullin më të rëndësishëm - probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero.
Ju nuk mund të devijoni nga ky formulim kur zgjidhni probleme. Për të sqaruar, këtu janë shembuj të ngjarjeve të tilla:
- Uji ngriu në plus dhjetë (kjo është e pamundur).
- Mungesa e energjisë elektrike nuk ndikon në prodhimin në asnjë mënyrë (po aq e pamundur si në shembullin e mëparshëm).
Më shumë shembujNuk ia vlen të përmendet, pasi ato të përshkruara më sipër pasqyrojnë shumë qartë thelbin e kësaj kategorie. Ngjarja e pamundur nuk do të ndodhë kurrë gjatë përvojës në asnjë rrethanë.
Ngjarjet e rastësishme
Duke studiuar elementet e teorisë së probabilitetit, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet këtij lloji të veçantë të ngjarjes. Kjo është ajo që po studion shkenca. Si rezultat i përvojës, diçka mund të ndodhë ose jo. Përveç kësaj, testi mund të përsëritet një numër të pakufizuar herë. Shembuj të gjallë janë:
- Hedhja e një monedhe është një përvojë, ose një provë, kreu është një ngjarje.
- Nxjerrja verbërisht e një topi nga çanta është një provë, kapja e një topi të kuq është një ngjarje dhe kështu me radhë.
Mund të ketë një numër të pakufizuar shembujsh të tillë, por, në përgjithësi, thelbi duhet të jetë i qartë. Për të përmbledhur dhe sistemuar njohuritë e marra për ngjarjet, jepet një tabelë. Teoria e probabilitetit studion vetëm llojin e fundit nga të gjitha të paraqitura.
| titull | përkufizim | shembull |
| I besueshëm | Ngjarjet që ndodhin me një garanci 100% në kushte të caktuara. | Pranimi në një institucion arsimor me një provim të mirë pranues. |
| E pamundur | Ngjarjet që nuk do të ndodhin kurrë në asnjë rrethanë. | Po bie borë në një temperaturë prej plus tridhjetë gradë Celsius. |
| Random | Një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë gjatë një eksperimenti/testi. | Godit ose humbisni kur hidhni një top basketbolli në rreth. |
Ligjet
Teoria e probabilitetit është një shkencë që studion mundësinë e ndodhjes së një ngjarjeje. Ashtu si të tjerët, ai ka disa rregulla. Ekzistojnë ligjet e mëposhtme të teorisë së probabilitetit:
- Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit.
- Ligji i numrave të mëdhenj.
Kur llogaritni mundësinë e një kompleksi, mund të përdorni një kompleks ngjarjesh të thjeshta për të arritur rezultatin në një mënyrë më të lehtë dhe më të shpejtë. Vini re se ligjet e teorisë së probabilitetit vërtetohen lehtësisht me ndihmën e disa teoremave. Le të fillojmë me ligjin e parë.
Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit
Vini re se ka disa lloje të konvergjencës:
- Sekuenca e ndryshoreve të rastësishme konvergjon në probabilitet.
- Pothuajse e pamundur.
- konvergjenca RMS.
- Konvergjenca në shpërndarje.
Pra, në fluturim, është shumë e vështirë të arrish deri në fund. Këtu janë disa përkufizime për t'ju ndihmuar të kuptoni këtë temë. Le të fillojmë me vështrimin e parë. Një sekuencë quhet konvergjente në probabilitet nëse plotësohet kushti i mëposhtëm: n tenton në pafundësi, numri drejt të cilit priret sekuenca është më i madh se zero dhe afër një.
Duke shkuar te pamja tjetër, pothuajse me siguri. Ata thonë sesekuenca konvergjon pothuajse me siguri në një ndryshore të rastësishme ku n priret drejt pafundësisë dhe P që tenton në një vlerë afër një.
Lloji tjetër është konvergjenca rrënjë-mesatare-katrore. Kur përdoret konvergjenca SC, studimi i proceseve të rastësishme vektoriale reduktohet në studimin e proceseve të tyre të rastësishme koordinative.
Lloji i fundit mbetet, le t'i hedhim një vështrim të shkurtër për të vazhduar drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemeve. Konvergjenca e shpërndarjes ka një emër tjetër - "i dobët", ne do të shpjegojmë pse më poshtë. Konvergjenca e dobët është konvergjenca e funksioneve të shpërndarjes në të gjitha pikat e vazhdimësisë së funksionit të shpërndarjes kufi.
Sigurohuni që të përmbushni premtimin: konvergjenca e dobët ndryshon nga të gjitha sa më sipër në atë që ndryshorja e rastësishme nuk është e përcaktuar në hapësirën e probabilitetit. Kjo është e mundur sepse kushti është formuar ekskluzivisht duke përdorur funksionet e shpërndarjes.
Ligji i numrave të mëdhenj
Ndihmëtarë të shkëlqyer në vërtetimin e këtij ligji do të jenë teoremat e teorisë së probabilitetit, si p.sh.:
- Pabarazia e Chebyshev.
- teorema e Chebyshev.
- Teorema e përgjithësuar e Chebyshev.
- teorema e Markovit.
Nëse marrim parasysh të gjitha këto teorema, atëherë kjo pyetje mund të zvarritet për disa dhjetëra fletë. Detyra jonë kryesore është të zbatojmë teorinë e probabilitetit në praktikë. Ne ju ftojmë ta bëni këtë tani. Por para kësaj, le të shqyrtojmë aksiomat e teorisë së probabilitetit, ata do të jenë asistentët kryesorë në zgjidhjen e problemeve.
Aksioma
Të parën e takuam tashmë kur folëm për ngjarjen e pamundur. Le të kujtojmë: probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Ne dhamë një shembull shumë të gjallë dhe të paharrueshëm: ra borë në një temperaturë ajri prej tridhjetë gradë Celsius.
E dyta tingëllon kështu: një ngjarje e besueshme ndodh me një probabilitet të barabartë me një. Tani le të tregojmë se si ta shkruajmë atë duke përdorur gjuhën matematikore: P(B)=1.
E treta: Një ngjarje e rastësishme mund ose nuk mund të ndodhë, por mundësia shkon gjithmonë nga zero në një. Sa më afër të jetë vlera me një, aq më i madh është shansi; nëse vlera i afrohet zeros, probabiliteti është shumë i ulët. Le ta shkruajmë këtë në gjuhën matematikore: 0<Р(С)<1.
Le të shqyrtojmë aksiomën e fundit, të katërt, e cila tingëllon kështu: probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. Ne shkruajmë në gjuhën matematikore: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksiomat e teorisë së probabilitetit janë rregullat më të thjeshta që janë të lehta për t'u mbajtur mend. Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme, bazuar në njohuritë e marra tashmë.
Biletë Lotarie
Së pari, merrni parasysh shembullin më të thjeshtë - lotarinë. Imagjinoni që keni blerë një biletë lotarie për fat të mirë. Sa është probabiliteti që të fitoni të paktën njëzet rubla? Në total, një mijë bileta marrin pjesë në qarkullim, njëra prej të cilave ka një çmim prej pesëqind rubla, dhjetë nga njëqind rubla, pesëdhjetë nga njëzet rubla dhe njëqind nga pesë. Problemet në teorinë e probabilitetit bazohen në gjetjen e mundësisëpaç fat. Tani së bashku do të analizojmë zgjidhjen e detyrës së paraqitur më sipër.
Nëse shënojmë me shkronjën A një fitore prej pesëqind rubla, atëherë probabiliteti për të marrë A do të jetë 0,001. Si e kemi marrë atë? Thjesht duhet të ndani numrin e biletave "me fat" me numrin e tyre total (në këtë rast: 1/1000).
B është një fitore prej njëqind rubla, probabiliteti do të jetë 0.01. Tani kemi vepruar sipas të njëjtit parim si në veprimin e mëparshëm (10/1000)
C - fitimet janë të barabarta me njëzet rubla. Gjeni probabilitetin, është e barabartë me 0,05.
Pjesa tjetër e biletave nuk na interesojnë, pasi fondi i tyre i çmimeve është më i vogël se ai i përcaktuar në kusht. Le të zbatojmë aksiomën e katërt: Probabiliteti për të fituar të paktën njëzet rubla është P(A)+P(B)+P(C). Shkronja P tregon probabilitetin e ndodhjes së kësaj ngjarjeje, ne i kemi gjetur tashmë në hapat e mëparshëm. Mbetet vetëm për të shtuar të dhënat e nevojshme, në përgjigje marrim 0, 061. Ky numër do të jetë përgjigja e pyetjes së detyrës.
kuvertë me letra
Problemet e teorisë së probabilitetit mund të jenë më komplekse, për shembull, merrni detyrën e mëposhtme. Para jush është një kuvertë me tridhjetë e gjashtë letra. Detyra juaj është të vizatoni dy letra me radhë pa përzier grumbullin, letrat e para dhe të dyta duhet të jenë ace, kostumi nuk ka rëndësi.
Së pari, le të gjejmë probabilitetin që letra e parë të jetë një ACE, për këtë ne ndajmë katër me tridhjetë e gjashtë. E lanë mënjanë. Ne nxjerrim kartën e dytë, do të jetë një ACE me një probabilitet prej tre tridhjetë e pesta. Probabiliteti i ngjarjes së dytë varet nga ajo kartë që kemi tërhequr së pari, ne jemi të interesuarishte asi apo jo. Nga kjo rrjedh se ngjarja B varet nga ngjarja A.
Hapi tjetër është gjetja e probabilitetit të zbatimit të njëkohshëm, domethënë shumëzojmë A dhe B. Produkti i tyre gjendet si më poshtë: probabiliteti i një ngjarjeje shumëzohet me probabilitetin e kushtëzuar të një tjetre, të cilën e llogarisim, duke supozuar se ka ndodhur ngjarja e parë, pra, me kartonin e parë kemi tërhequr një as.
Për të bërë gjithçka të qartë, le t'i japim një përcaktim një elementi të tillë si probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje. Ajo llogaritet duke supozuar se ngjarja A ka ndodhur. Llogaritur si më poshtë: P(B/A).
Vazhdo zgjidhjen e problemit tonë: P(AB)=P(A)P(B/A) ose P (AB)=P(B)P(A/B). Probabiliteti është (4/36)((3/35)/(4/36). Llogaritni duke rrumbullakosur në të qindtat. Kemi: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Probabiliteti që të vizatojmë dy ace me radhë është nëntëqindta Vlera është shumë e vogël, rrjedh se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është jashtëzakonisht i vogël.
Numri i harruar
Ne propozojmë të analizojmë disa opsione të tjera për detyrat që studiohen nga teoria e probabilitetit. Ju keni parë tashmë shembuj të zgjidhjes së disa prej tyre në këtë artikull, le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: djali harroi shifrën e fundit të numrit të telefonit të shokut të tij, por duke qenë se thirrja ishte shumë e rëndësishme, ai filloi të thërriste gjithçka me radhë. Ne duhet të llogarisim probabilitetin që ai të telefonojë jo më shumë se tre herë. Zgjidhja e problemit është më e thjeshta nëse njihen rregullat, ligjet dhe aksiomat e teorisë së probabilitetit.
Përpara shikimitzgjidhje, përpiquni ta zgjidhni vetë. Ne e dimë që shifra e fundit mund të jetë nga zero në nëntë, domethënë ka dhjetë vlera në total. Probabiliteti për të marrë atë të duhurin është 1/10.
Më pas, duhet të shqyrtojmë opsionet për origjinën e ngjarjes, supozojmë se djali mendoi saktë dhe menjëherë shënoi atë të duhurin, probabiliteti i një ngjarje të tillë është 1/10. Opsioni i dytë: thirrja e parë është një humbje, dhe e dyta është në shënjestër. Ne llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: shumëzojmë 9/10 me 1/9, si rezultat marrim gjithashtu 1/10. Opsioni i tretë: telefonatat e para dhe të dyta doli të ishin në adresën e gabuar, vetëm nga e treta djali arriti atje ku donte. Ne llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: shumëzojmë 9/10 me 8/9 dhe me 1/8, marrim si rezultat 1/10. Sipas gjendjes së problemit nuk na interesojnë opsione të tjera, ndaj na mbetet të mbledhim rezultatet, si rezultat kemi 3/10. Përgjigje: Probabiliteti që djali të thërrasë jo më shumë se tre herë është 0,3.
Kartat me numra
Ka nëntë letra përpara, në secilën prej të cilave është shkruar një numër nga një deri në nëntë, numrat nuk përsëriten. Ata u vendosën në një kuti dhe u përzien plotësisht. Duhet të llogarisni probabilitetin që
- do të dalë një numër çift;
- dyshifror.
Para se të vazhdojmë me zgjidhjen, le të përcaktojmë që m është numri i rasteve të suksesshme dhe n është numri total i opsioneve. Gjeni probabilitetin që numri të jetë çift. Nuk do të jetë e vështirë të llogaritet se ka katër numra çift, ky do të jetë m ynë, gjithsej janë nëntë opsione, domethënë m=9. Pastaj probabilitetiështë e barabartë me 0, 44 ose 4/9.
Konsideroni rastin e dytë: numri i opsioneve është nëntë, dhe nuk mund të ketë fare rezultate të suksesshme, domethënë, m është zero. Probabiliteti që karta e tërhequr të përmbajë një numër dyshifror është gjithashtu zero.
