Logaritmet: shembuj dhe zgjidhje

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-02 17:56

Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a^ba^c=a^{b+ c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë treguesish me numra të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku kërkohet thjeshtimi i shumëzimit të rëndë në mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Gjuhë e thjeshtë dhe e arritshme.}

Përkufizim në matematikë

Logaritmi është një shprehje e formës së mëposhtme: log_ab=c c" në të cilën ju duhet të ngrini bazën "a" në mënyrë që më në fund të merrni vlerën " b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log_{28. Si të gjeni përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, duhet të gjesh një shkallë të tillë që nga 2 në shkallën e kërkuar të marrësh 8. Pasi të kemi bërë disa llogaritje në mendjen tënde, marrim numrin 3! Dhe është e vërtetë, sepse2 i ngritur në fuqinë e 3 jep përgjigjen 8.}

Varietetet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt, logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Ekzistojnë tre lloje të veçanta të shprehjeve logaritmike:

Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e=2, 7).
Logaritmi dhjetor lg a, ku baza është numri 10.
Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secili prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe radhën e veprimeve në zgjidhjen e tyre.

Rregullat dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë të negociueshme dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të marrësh një rrënjë çift nga numrat negativë. Logaritmet kanë gjithashtu rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni se si të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

baza e "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero, dhe në të njëjtën kohë të mos jetë e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë e barabartë me vlerat e tyre;
nëse është > 0, atëherë njëb>0,rezulton se "c" duhet gjithashtu të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhim logaritmet?

Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10^x=100. Është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi të tillë, duke ngritur numrin dhjetë, ne merrni 100. Kjo, sigurisht, fuqia kuadratike! 10^2=100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje si një logaritmike. Marrim log_{10100=2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën duhet të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.}

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me tabelën e shkallës. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mentalitet teknik dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, vlerat më të mëdha do të kërkojnë një tabelë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk kuptojnë asgjë në tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c, në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përcaktojnë vlerat e numrave që janë përgjigja (ac=b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa do ta kuptojë edhe humanisti më i vërtetë!

Ekuacione dhe pabarazi

Rezulton se kurNë kushte të caktuara, eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si një ekuacion logaritmik. Për shembull, 3⁴=81 mund të shkruhet si logaritmi i 81 në bazën 3, që është katër (log₃81=4). Për shkallët negative, rregullat janë të njëjta: 2^-5=1/32 e shkruar si logaritëm, marrim log_{2 (1/32)=-5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do t'i shqyrtojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve pak më të ulëta, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani për tani, le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.}

Jepet shprehja e mëposhtme: log_{2(x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën e logaritmi. Shprehja krahason gjithashtu dy vlera: logaritmi bazë dy i numrit të dëshiruar është më i madh se numri tre.}

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (shembull - logaritmi₂x=√9) _{nënkuptojnë në përgjigje një ose më shumë vlera numerike specifike, ndërsa kur zgjidhet një pabarazi, përcaktohen si diapazoni i vlerave të pranueshme ashtu edhe pikat e ndërprerjes së këtij funksioni. Si rezultat, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e ekuacionit, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.}

Teorema themelore mbi logaritmet

Kur zgjidhni detyra primitive për të gjetur vlerat e logaritmit, mund të mos i dini vetitë e tij. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Me shembujt e ekuacioneve do të njihemi më vonë, fillimisht le të analizojmë më hollësisht secilën veti.

Identiteti bazë duket kështu: alogaB=B. Zbatohet vetëm nëse a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.

Logaritmi i produktit mund të përfaqësohet në formulën e mëposhtme: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s}1 _{dhe s}2 _{> 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmesh, me shembuj dhe një zgjidhje. Le të regjistrohet}a_s1 _=f1 _{dhe log}a_s 2_=f2_{, pastaj a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Ne e marrim atë s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(vetitë e shkallës), dhe më tej sipas përkufizimit: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{që duhej vërtetuar.}

Logaritmi i herësit duket kështu: log_a(s_1/s₂)=regjistri _as₁- log_as_2.

Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo ngjan me vetitë e shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika mbështetet në postulate të rregullta. Le të shohim provën.

Let log_ab=t, marrim një^t=b. Nëse i ngrini të dyja anët në fuqinë m: a^tn=b^;

por sepse a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, prandaj log}aq _bn=(nt)/t, më pas log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorema e provuar.

Shembuj të problemeve dhe pabarazive

Llojet më të zakonshme të problemeve të logaritmit janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me problematika, si dhe përfshihen edhe në pjesën e detyrueshme të provimeve në matematikë. Për të hyrë në universitet ose për të kaluar testet e hyrjes në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë problemet e tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në një formë të përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim së shpejti.

Kur zgjidhim ekuacione logaritmike,është e nevojshme të përcaktohet se çfarë logaritmi kemi përpara: një shembull i një shprehjeje mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj të logaritmeve dhjetore: ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ju duhet të përcaktoni shkallën në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, respektivisht. Për zgjidhjet e logaritmeve natyrore, duhet të aplikohen identitetet logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorim formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave kryesore rreth logaritmeve.

Vetësia e logaritmit të produktit mund të përdoret në detyrat ku është e nevojshme të zbërthehet një vlerë e madhe e numrit b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=regjistër_{2512. Përgjigja është 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - siç mund ta shihni, duke zbatuar vetinë e katërt të shkallës së logaritmit, arritëm të zgjidhim në shikim të parë shprehje komplekse dhe e pazgjidhshme. Gjithçka që duhet të bëni është të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni fuqinë nga shenja e logaritmit.}

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve natyrore

Detyra nga provimi

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Zakonisht këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (më së shumtipjesë e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më të vështira dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohje të saktë dhe të përsosur të temës "Logaritmet natyrore".

Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të provimit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Dyhet log₂(2x-1)=4. Zgjidhja:

rishkruaje shprehjen, duke e thjeshtuar pak log_2(2x-1)=22^{, nga përkufizimi i logaritmit marrim se 2x-1=2}4^{, pra 2x=17; x=8, 5.}

Duke ndjekur disa udhëzime, duke ndjekur të cilat mund të zgjidhni lehtësisht të gjitha ekuacionet që përmbajnë shprehje që janë nën shenjën e logaritmit.

Është më mirë të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, kështu që kur shumëzohet eksponenti i shprehjes që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.