Matricat dhe përcaktuesit u zbuluan në shekujt e tetëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë. Fillimisht, zhvillimi i tyre kishte të bënte me transformimin e objekteve gjeometrike dhe zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Historikisht, theksi i hershëm ishte në përcaktuesin. Në metodat moderne të përpunimit të algjebrës lineare, matricat konsiderohen së pari. Ia vlen ta meditoni këtë pyetje për një kohë.
Përgjigje nga kjo fushë e njohurive
Matricat ofrojnë një mënyrë teorikisht dhe praktikisht të dobishme për të zgjidhur shumë probleme, si p.sh.:
- sistemet e ekuacioneve lineare;
- ekuilibri i trupave të ngurtë (në fizikë);
- teoria e grafikut;
- Modeli ekonomik i Leontief;
- pylltari;
- grafikë kompjuterike dhe tomografi;
- gjenetika;
- kriptografi;
- rrjetet elektrike;
- fraktal.
Në fakt, algjebra matricore për "dummies" ka një përkufizim të thjeshtuar. Ai shprehet si më poshtë: kjo është një fushë shkencore e dijes në të cilënvlerat në fjalë studiohen, analizohen dhe eksplorohen plotësisht. Në këtë pjesë të algjebrës, studiohen veprime të ndryshme mbi matricat në studim.
Si të punohet me matricat
Këto vlera konsiderohen të barabarta nëse kanë të njëjtat dimensione dhe secili element i njërit është i barabartë me elementin përkatës të tjetrit. Është e mundur të shumëzohet një matricë me çdo konstante. Kjo e dhënë quhet shumëzim skalar. Shembull: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matricat me të njëjtën madhësi mund të shtohen dhe zbriten me hyrje, dhe vlerat e madhësive të përputhshme mund të shumëzohen. Shembull: shtoni dy A dhe B: A=[21−10]B=[1423]. Kjo është e mundur sepse A dhe B janë të dyja matrica me dy rreshta dhe të njëjtin numër kolonash. Është e nevojshme të shtohet çdo element në A në elementin përkatës në B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matricat zbriten në të njëjtën mënyrë në algjebër.
Shumëzimi i matricës funksionon pak më ndryshe. Për më tepër, mund të ketë shumë raste dhe opsione, si dhe zgjidhje. Nëse e shumëzojmë matricën Apq dhe Bmn, atëherë prodhimi Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Hyrja në rreshtin gth dhe kolonën e h të AB është shuma e prodhimit të hyrjeve përkatëse në g A dhe h B. Është e mundur të shumëzohen vetëm dy matrica nëse numri i kolonave në të parën dhe rreshtave në të dytën janë të barabartë. Shembull: plotësoni kushtin për A dhe B të konsideruara: A=[1−130]B=[2−11214]. Kjo është e mundur sepse matrica e parë përmban 2 kolona dhe e dyta përmban 2 rreshta. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informacion bazë rreth matricave
Vlerat në fjalë organizojnë informacione të tilla si variabla dhe konstante dhe i ruajnë ato në rreshta dhe kolona, të quajtura zakonisht C. Çdo pozicion në matricë quhet element. Shembull: C=[1234]. Përbëhet nga dy rreshta dhe dy kolona. Elementi 4 është në rreshtin 2 dhe kolonën 2. Zakonisht mund të emërtoni një matricë sipas dimensioneve të saj, ajo me emrin Cmk ka m rreshta dhe k kolona.
Matrica të zgjeruara
Konsideratat janë gjëra tepër të dobishme që dalin në shumë fusha të ndryshme aplikimi. Matricat fillimisht bazoheshin në sistemet e ekuacioneve lineare. Duke pasur parasysh strukturën e mëposhtme të pabarazive, matrica e mëposhtme e plotësuar duhet të merret parasysh:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Shkruani koeficientët dhe përgjigjeni vlerat, duke përfshirë të gjitha shenjat minus. Nëse elementi me numër negativ, atëherë ai do të jetë i barabartë me "1". Kjo do të thotë, duke pasur parasysh një sistem ekuacionesh (lineare), është e mundur të lidhet një matricë (rrjeti i numrave brenda kllapave) me të. Është ai që përmban vetëm koeficientët e sistemit linear. Kjo quhet "matrica e zgjeruar". Rrjeti që përmban koeficientët nga ana e majtë e çdo ekuacioni është "mbushur" me përgjigjet nga ana e djathtë e secilit ekuacion.
Records, domethënëvlerat B të matricës korrespondojnë me vlerat x-, y- dhe z në sistemin origjinal. Nëse është rregulluar siç duhet, atëherë para së gjithash kontrolloni atë. Ndonjëherë ju duhet të riorganizoni termat ose të futni zero si mbajtëse në matricën që studiohet ose studiohet.
Duke pasur parasysh sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve, ne mund të shkruajmë menjëherë matricën e shtuar:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Së pari, sigurohuni që ta riorganizoni sistemin si:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Atëherë është e mundur të shkruhet matrica e lidhur si: [11000113-1012]. Kur formoni një të zgjeruar, ia vlen të përdorni zero për çdo rekord ku pika përkatëse në sistemin e ekuacioneve lineare është bosh.
Algjebra matricore: Vetitë e operacioneve
Nëse është e nevojshme të formohen elemente vetëm nga vlerat e koeficientit, atëherë vlera e konsideruar do të duket kështu: [110011-101]. Kjo quhet "matrica e koeficientit".
Duke marrë parasysh algjebrën e mëposhtme të matricës së zgjeruar, është e nevojshme ta përmirësoni atë dhe të shtoni sistemin linear të lidhur. Thënë kjo, është e rëndësishme të mbani mend se ato kërkojnë që variablat të jenë të rregulluara mirë dhe të rregullta. Dhe zakonisht kur ka tre ndryshore, përdorni x, y dhe z në atë renditje. Prandaj, sistemi linear i shoqëruar duhet të jetë:
x + 3v=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Madhësia e matricës
Artikujt në fjalë shpesh referohen nga performanca e tyre. Madhësia e një matrice në algjebër jepet simatjet, pasi dhoma mund të quhet ndryshe. Masat e matura të vlerave janë rreshtat dhe kolonat, jo gjerësia dhe gjatësia. Për shembull, matrica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Meqenëse A ka tre rreshta dhe katër kolona, madhësia e A është 3 × 4.
→
↓
Linjat shkojnë anash. Kolonat shkojnë lart e poshtë. "Rreshti" dhe "kolona" janë specifikime dhe nuk janë të këmbyeshme. Madhësitë e matricës specifikohen gjithmonë me numrin e rreshtave dhe më pas numrin e kolonave. Pas kësaj konvente, B-ja e mëposhtme:
[123]
[234] është 2 × 3. Nëse një matricë ka të njëjtin numër rreshtash si kolonat, atëherë quhet "katror". Për shembull, vlerat e koeficientit nga lart:
[110]
[011]
[-101] është një matricë katrore 3×3.
Shënimi dhe formatimi i matricës
Shënim për formatimin: Për shembull, kur duhet të shkruani një matricë, është e rëndësishme të përdorni kllapa . Shiritat e vlerës absolute || nuk përdoren sepse kanë një drejtim tjetër në këtë kontekst. Kllapat ose kllapat kaçurrelë {} nuk përdoren kurrë. Ose ndonjë simbol tjetër grupimi, ose aspak, pasi këto prezantime nuk kanë asnjë kuptim. Në algjebër, një matricë është gjithmonë brenda kllapave katrore. Duhet të përdoret vetëm shënimi i saktë, ose përgjigjet mund të konsiderohen të ngatërruara.
Siç u përmend më herët, vlerat e përfshira në një matricë quhen rekorde. Për çfarëdo arsye, elementet në fjalë zakonisht shkruhenshkronjat e mëdha, si A ose B, dhe hyrjet specifikohen duke përdorur shkronjat e vogla përkatëse, por me nënshkrime. Në matricën A, vlerat zakonisht quhen "ai, j", ku i është rreshti i A dhe j është kolona e A. Për shembull, a3, 2=8. Hyrja për a1, 3 është 3.
Për matricat më të vogla, ato me më pak se dhjetë rreshta dhe kolona, presja e nënshkrimit ndonjëherë hiqet. Për shembull, "a1, 3=3" mund të shkruhet si "a13=3". Natyrisht kjo nuk do të funksionojë për matricat e mëdha pasi a213 do të jetë e errët.
Llojet e matricës
Ndonjëherë klasifikohen sipas konfigurimeve të tyre të rekordit. Për shembull, një matricë e tillë që ka të gjitha hyrjet zero nën "diagonalen" diagonale lart-majtas-poshtë-djathtas quhet trekëndësh i sipërm. Ndër të tjera, mund të ketë lloje dhe lloje të tjera, por ato nuk janë shumë të dobishme. Në përgjithësi, perceptohet kryesisht si trekëndëshi i sipërm. Vlerat me eksponentë jo zero vetëm horizontalisht quhen vlera diagonale. Llojet e ngjashme kanë hyrje jo zero në të cilat të gjitha janë 1, përgjigje të tilla quhen identike (për arsye që do të bëhen të qarta kur të mësohet dhe të kuptohet se si të shumëzohen vlerat në fjalë). Ka shumë tregues të ngjashëm kërkimor. Identiteti 3 × 3 shënohet me I3. Në mënyrë të ngjashme, identiteti 4 × 4 është I4.
Algjebra matricë dhe hapësira lineare
Vini re se matricat trekëndore janë katrore. Por diagonalet janë trekëndore. Në funksion të kësaj, ata janëkatrore. Dhe identitetet konsiderohen diagonale dhe, për rrjedhojë, trekëndore dhe katrore. Kur kërkohet të përshkruhet një matricë, zakonisht thjesht specifikohet klasifikimi më specifik i dikujt, pasi kjo nënkupton të gjithë të tjerët. Klasifikoni opsionet e mëposhtme kërkimore:si 3 × 4. Në këtë rast, ato nuk janë katrore. Prandaj, vlerat nuk mund të jenë asgjë tjetër. Klasifikimi i mëposhtëm:është i mundur si 3 × 3. Por ai konsiderohet katror dhe nuk ka asgjë të veçantë për të. Klasifikimi i të dhënave të mëposhtme:si trekëndëshi i sipërm 3 × 3, por nuk është diagonal. Vërtetë, në vlerat në shqyrtim mund të ketë zero shtesë në ose mbi hapësirën e vendosur dhe të treguar. Klasifikimi në studim është më tej: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], ku përfaqësohet si një diagonale dhe, për më tepër, hyrjet janë të gjitha 1. Atëherë ky është një identitet 3 × 3, I3.
Meqenëse matricat analoge janë sipas përkufizimit katror, ju duhet vetëm të përdorni një indeks të vetëm për të gjetur dimensionet e tyre. Që dy matrica të jenë të barabarta, ato duhet të kenë të njëjtin parametër dhe të kenë të njëjtat hyrje në të njëjtat vende. Për shembull, supozoni se janë dy elementë në shqyrtim: A=[1 3 0] [-2 0 0] dhe B=[1 3] [-2 0]. Këto vlera nuk mund të jenë të njëjta pasi janë të ndryshme në madhësi.
Edhe nëse A dhe B janë: A=[3 6] [2 5] [1 4] dhe B=[1 2 3] [4 5 6] - ato nuk janë ende të njëjta e njejta gje. A dhe B kanë seciligjashtë hyrje dhe gjithashtu kanë të njëjtat numra, por kjo nuk mjafton për matricat. A është 3×2. Dhe B është një matricë 2×3. A për 3×2 nuk është 2×3. Nuk ka rëndësi nëse A dhe B kanë të njëjtën sasi të dhënash apo edhe numra të njëjtë me të dhënat. Nëse A dhe B nuk janë të njëjta madhësi dhe formë, por kanë vlera identike në vende të ngjashme, ato nuk janë të barabarta.
Operacione të ngjashme në zonën në shqyrtim
Kjo veti e barazisë së matricës mund të shndërrohet në detyra për kërkime të pavarura. Për shembull, jepen dy matrica dhe tregohet se ato janë të barabarta. Në këtë rast, do t'ju duhet të përdorni këtë barazi për të eksploruar dhe për të marrë përgjigje për vlerat e variablave.
Shembuj dhe zgjidhje të matricave në algjebër mund të ndryshojnë, veçanërisht kur bëhet fjalë për barazitë. Duke qenë se janë marrë parasysh matricat e mëposhtme, është e nevojshme të gjenden vlerat x dhe y. Që A dhe B të jenë të barabarta, duhet të kenë të njëjtën madhësi dhe formë. Në fakt, ato janë të tilla, sepse secila prej tyre është matrica 2 × 2. Dhe ato duhet të kenë të njëjtat vlera në të njëjtat vende. Atëherë a1, 1 duhet të jetë e barabartë me b1, 1, a1, 2 duhet të jetë e barabartë me b1, 2, e kështu me radhë. Por, a1, 1=1 nuk është padyshim e barabartë me b1, 1=x. Që A të jetë identike me B, hyrja duhet të ketë a1, 1=b1, 1, kështu që mund të jetë 1=x. Në mënyrë të ngjashme, indekset a2, 2=b2, 2, pra 4=y. Atëherë zgjidhja është: x=1, y=4. Duke qenë se si vijonmatricat janë të barabarta, ju duhet të gjeni vlerat e x, y dhe z. Për të pasur A=B, koeficientët duhet të kenë të gjitha hyrjet të barabarta. Kjo është, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 e kështu me radhë. Në veçanti, duhet:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Siç mund ta shihni nga matricat e përzgjedhura: me 1, 1-, 2, 2- dhe 3, 1-elemente. Duke zgjidhur këto tre ekuacione, marrim përgjigjen: x=4, y=-6 dhe z=9. Algjebra e matricës dhe operacionet e matricës janë të ndryshme nga ato që janë mësuar të gjithë, por ato nuk janë të riprodhueshme.
Informacione shtesë në këtë fushë
Algjebra e matricës lineare është studimi i grupeve të ngjashme të ekuacioneve dhe vetive të tyre të transformimit. Kjo fushë e njohurive ju lejon të analizoni rrotullimet në hapësirë, të përafroni katrorët më të vegjël, të zgjidhni ekuacionet diferenciale të lidhura, të përcaktoni një rreth që kalon nëpër tre pika të dhëna dhe të zgjidhni shumë probleme të tjera në matematikë, fizikë dhe teknologji. Algjebra lineare e një matrice nuk është në të vërtetë kuptimi teknik i fjalës së përdorur, domethënë një hapësirë vektoriale v mbi një fushë f, etj.
Matrica dhe përcaktorja janë mjete shumë të dobishme algjebër lineare. Një nga detyrat kryesore është zgjidhja e ekuacionit të matricës Ax=b, për x. Edhe pse kjo teorikisht mund të zgjidhej duke përdorur inversin x=A-1 b. Metoda të tjera, si eliminimi Gaussian, janë numerikisht më të besueshme.
Përveç përdorimit për të përshkruar studimin e grupeve lineare të ekuacioneve, të specifikuaratermi i mësipërm përdoret gjithashtu për të përshkruar një lloj të caktuar të algjebrës. Në veçanti, L mbi një fushë F ka strukturën e një unaze me të gjitha aksiomat e zakonshme për mbledhjen dhe shumëzimin e brendshëm, së bashku me ligjet shpërndarëse. Prandaj, i jep më shumë strukturë sesa një unazë. Algjebra e matricës lineare pranon gjithashtu një operacion të jashtëm të shumëzimit me skalarët që janë elementë të fushës bazë F. Për shembull, grupi i të gjitha transformimeve të konsideruara nga një hapësirë vektoriale V në vetvete mbi një fushë F është formuar mbi F. Një shembull tjetër i linjës algjebra është bashkësia e të gjitha matricave katrore reale mbi një fushë R numra realë.
